2nd10 DS 6 Contrˆole de synth`ese 14 f´evrier 2019 Dur´ee 2 heures. Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif.
Le manque de soin et de clart´e dans la r´edaction sera p´enalis´e.
Exercice 1 : Reconnaˆıtre des solides (5 minutes) (3 points) 1. Donner le nom du solide puis la formule de chaque solide.
Exercice 2 : Des in´equations (15 minutes) (5 points) R´esoudre dans R
1. −2x−5>0 2. (−2x−5)(x−3)>0 3. (x−3)2−2560 Exercice 3 : G´eom´etrie dans le plan (10 minutes) (4 points)
On se donne un rep`ere. Soient A(2; 3) et B(5; 8).
1. Calculer la distanceAB
2. D´eterminer les coordonn´ees du milieuM de [AB]
3. SoientC(7; 8) et D(1;−2).
(a) −−→
CD et −−→
ABsont-ils colin´eaires. (b) Que peut-on en d´eduire ?
Exercice 4 : Algorithme pour (12 minutes) (4 points) Une grande enseigne souhaite ´etudier l’´evolution du chiffre d’affaires des ventes de ses produitsbio. En 2019, le chiffre d’affaires est de 330 milliers d’euros.
On suppose que le chiffre d’affaires augmente de 9 % chaque ann´ee `a partir de 2019 et on construit un algorithme donnant en sortie le terme un pour un entier natureln donn´e par l’utilisateur.
1. Calculer le chiffre d’affaire en 2020 ;
2. Les fonctions ci-dessous retournent le chiffre d’affaires en milliers d’euros en 2019 +n.
Justifier que les fonctions 1 et 3 ne conviennent pas.
def f o n c t i o n 1 ( n ) : u = 330
f o r i in range( n ) : w = u ∗ 1 , 0 9 return w
def f o n c t i o n 2 ( n ) : u = 330
f o r i in range( n ) : u = u ∗ 1 , 0 9 return u
def f o n c t i o n 3 ( n ) : f o r i in range( n ) :
u = 330 u = u ∗ 1 , 0 9 return u
On admet que la fonction 2 convient.
3. Pour la valeur 5 de n saisie dans la fonction 2, recopier puis compl´eter, en le prolongeant avec autant de colonnes que n´ecessaire, le tableau ci- dessous.
valeur dei 0 1 . . .
valeur deU 330 . . .
Exercice 5 : Positions relatives (12 minutes) (4 points) ABF E etDCGH sont des trap`ezes, les autres faces du solideABCDEF GH sont des rectangles.
282
Positions relatives : visualiser
37 Les points M, N et P appartiennent respective ment aux arêtes AB
[ ]
, AC[ ]
et AD
[ ]
d’un tétraèdre.Les points M, N et P sont-ils alignés ?
38 Dans le parallélépipède rectangle représenté ci-dessous, donner (sans démontrer) la position relative : 1. des droites :
a. AB
( )
et DC( )
b. AB
( )
et HG( )
c. AB
( )
et BC( )
d. AB
( )
et CG( )
2. des droites et plans :
a. AG
( )
et EFG( )
b. EG( )
et EFG( )
c. CG
( )
et EFG( )
d. AB( )
et EFG( )
3. des plans :
a. ABC
( )
et EFG( )
b. ABC( )
et CDA( )
c. AEH
( )
et DHG( )
d. AEG( )
et CGH( )
39 Les droites dessinées semblent sécantes.
Le sont-elles dans la réalité ? a. EB
( )
et AC( )
A
D C
G H
E F
B
b. HM
( )
et DB( )
avec M∈[ ]
CDA
D MC
G H
E F
B
40 Même énoncé que l’exercice 39 : a. MN
( )
et AC( )
avecM∈
[ ]
AE et N∈[ ]
CGA B
C G F E
M N
H
D
b. BF
( )
et HM( )
avec M∈
[ ]
ABA B
C G H
F E
D M
N P M
A
D
B C
H
D C
G
E
A B
F
Positions relatives : démontrer
41 Charger le fi chier PYRADR sur le site.
1. Créer les points I, J, K, L milieux respectifs des segments
[ ]
AB, DC[ ]
, DS[ ]
et AS[ ]
.2. a. Cliquer sur l’icône Plan isolé et mettre le plan IJK en plan isolé (seuls les points, segments, droites contenus dans ce plan seront visibles). Quelle conjecture peut-on faire sur les points I, J, K, L ? Et sur IJKL ?
b. Revenir à la vue de départ ( + ) et cliquer à nouveau sur Plan isolé pour sortir de ce mode.
c. Justifi er que LK
( )
est parallèle à(
IJ)
et LK=21IJ.3. Créer le point d’intersection T de la droite ( )JK et du plan SAB
( )
. Comment construire T sur le papier ?42 ABCDE est une pyramide régulière à base carrée. F est le milieu de AC
[ ]
et H est le point de AE[ ]
telque AH=3AE
4 . Démontrer que FH
( )
et CE
( )
sont sécantes.Aide : exercice résolu 3
43 ABFE et DCGH sont des trapèzes, les autres faces du solide ABCDEFGH sont des rectangles.
A B
C F
H G
D E
1. Déterminer la position relative des droites : a. BG
( )
et CF( )
b. CG( )
et BD( )
c. AE
( )
et BF( )
d. AH( )
et CD( )
2. Démontrer que EB
( )
et CH( )
sont parallèles.Aide : exercice résolu 5
44 La fi gure est celle de l’exercice 43.
Déterminer la position relative des droites et plans : a. HG
( )
et ABC( )
b. EC( )
et ABD( )
c. EB
( )
et DCG( )
d. AD( )
et BCF( )
45 La fi gure est celle de l’exercice 43.
1. Déterminer la position relative des plans : a. ABC
( )
et CFG( )
b. EFG( )
et ABC( )
c. ABF
( )
et DCG( )
d. AEF( )
et BCD( )
A
B F
E H
C D
008000_1105_Exo1.indd 282
008000_1105_Exo1.indd 282 7/07/10 11:57:487/07/10 11:57:48
1. Quel est le nom de ce solide ? Jus- tifier.
2. D´eterminer la position relative des droites et des plans :
1. (BG) et (CF) ; 2. (CG) et (BD) ; 3. (AE) et (BF) ; 4. (AH) et (CD) ;
5. (EB) et (CH) ; 6. (HG) et (ABC) ; 7. (EC) et (ABD) ; 8. (EB) et (DCG) ;
9. (ABC) et (CF G) ; 10. (EF G) et (ABC) ; 11. (AEF) et (BCD).
2nd10 DS 6 Page 2 sur 3 Exercice 6 : ´Equation de droite et fonction affine (17 minutes)(6 points)
Soient A(2; 3) et B(3;−2).
1. Donner les coordonn´ees du vecteur −−→ AB.
2. SoitM(x;y).
(a) Que peut-on dire de M si−−→
AM et−−→
AB sont colin´eaires ? (b) Donner une condition sur x et y pour que −−→
AM et −−→
AB soient co- lin´eaires.
(c) Isolery. Que reconnait-on ?
3. Soitf d´efinie surRparf(x) =−5x+ 13 (a) Quelle est la nature de la fonction f?
(b) Montrer que la courbe repr´esentative de f passe parA etB.
(c) Tracer la repr´esentation graphique de f sur [−1; 3]
(d) Donner les variations de f surR. (e) Justifier ces variations.
Exercice 7 : Calcul de volume et d’aire (13 minutes) (4 points) Une pi`ece m´etallique est repr´esent´e par le pav´e droit ABCDEF GH tel que AB = 6 cm, BC = 6cm et AE = 4cm. Dans cette pi`ece, on perce un trou cylindrique de rayon 2cm dont l’axe passe par les centres des faces ABF E et DCGH.
1. (a) D´eterminer le volume du pav´e droit.
(b) D´eterminer le volume du m´etal enlev´e par le per¸cage (le volume du cylindre).
(c) En d´eduire le volume de la pi`ece apr`es le per¸cage.
2. Pour la prot´eger contre la cor- rosion, cette pi`ece est tremp´ee dans un bain galvanique pour la recouvrir d’une couche de zinc.
D´eterminer l’aire de la surface qui doit ˆetre recouverte.
Exercice 8 : Mini probl`eme second degr´e (13 minutes) (4 points) Une entreprise fabrique un produit. Pour une p´eriode donn´ee, le coˆut to- tal de production en euros, est donn´e en fonction du nombre x d’articles fabriqu´es par C(x) = 2x2+ 10x+ 900 avec 0< x <80.
Tous les articles sont vendus.
Chaque produit est vendu 120 euros.
On rappelle que le b´en´efice est la recette moins le coˆut.
1. Quelle est la recette pour 10 produits fabriqu´es ? Pourx produits ? 2. Donner l’expression du b´en´eficeB(x) en fonction de x.
3. Montrer queB(x) =−2(x−10)(x−45)
4. La production est rentable lorsque le b´en´efice est positif. Combien de produits peut-on vendre pour avoir une production rentable ?
Exercice 9 : Section dans l’espace (13 minutes) (4 points) On consid`ere un cube ABCDEFCH donn´e en annexe (`a rendre avec la co- pie). On note M un point du segment [EH], N un point de [FC] et P un point de [HG]
1. On admet que (MP) et (FG) sont s´ecantes en un point L. Construire L.
2. On admet que les droites (LN) et (CG) sont s´ecantes et on note T leur point d’intersection. On admet que les droites (LN) et (BF) sont s´ecantes et on note Q leur point d’intersection.
Construire les points T et Q.
3. En d´eduire une construction de la section du cube par le plan (MNP).
Exercice 10 : Nombre d’or (10 minutes) (3 points) 1. Le nombre d’orϕest l’unique solution po-
sitive de l’´equation du second degr´e sui- vante : x2−x−1 = 0.
Calculer la valeur exacte de ϕ.
2. Le rectangle d’or est un rectangle tel que si, on lui enl`eve un carr´e construit sur une largeur, on obtient un nouveau rectangle de mˆeme forme. Sur la figure ci-dessous,
¸
ca se traduit par BC
BA = DC
ED et ABF E est un carr´e. Montrer que BC
BA =ϕ
A B
E
F F0
E0
2nd10 DS 6 Page 3 sur 3
BaccalauréatS
A. P .M .E .P .
An n ex e 2
Àr en d re av ec la co p ie
EX ER C IC E 3
+
+
+
A B C D E F G H
M
N P
AmériqueduNord
