PREMIÈRES-EXERCICESCHAP.3:FONCTIONSASSOCIÉESFICHE1
Exercice 1 - fonction racine carrée
Résoudre les inéquations suivantes :
√x >2 √
x63 √
x−4<2 √
1−x>1
Exercice 2
1) Six>4 alors démontrer les résultats suivants : a) x
2 −5>−3 b) 5−3√
x60 c) −3√
x+ 1
2 60
2) Six∈
−∞;−3
alors démontrer que : a) 5−2x>11
b) x2−5>4
c) 3
x−1>0
Exercice 3
Six>1 alors démontrer les résultats suivants :
1) 2 + 5x>7 2) −2x2+ 160 3) 1−4√
x6−3
Exercice 4
Six∈
4 ; +∞
alors démontrer les résultats suivants :
1) −4x+ 20>0 2) 8
x−260 3) 5−√
x63
Exercice 5 - positions relatives
On considère les fonctions polynômesf etg définies surRparf(x) =−2x2+ 3x+ 4 etg(x) =x.
On note Cf et Cg leur courbes représentatives.
1) Montrer que Cf et Cg sont sécantes aux points d’abscisses -1 et 2.
2) Étudier les positions relatives surRde Cf avec Cg .
Exercice 6 - positions relatives
On considère les fonctions polynômesfetgdéfinies surRparf(x) = 2x2+xetg(x) = x2−x+ 8.
On note Cf et Cg leur courbes représentatives.
1) Montrer que Cf et Cg sont sécantes aux points d’abscisses 2 et -4.
2) Étudier les positions relatives surRde Cf avec Cg .
S-EXERCICESCHAP.3:FONCTIONSASSOCIÉESFICHE2
On considère les fonctionsf et gdéfinies surRparf(x) = 4
x etg(x) = −x3 + 5x. On note Cf
et Cg leurs courbes représentatives.
1) Montrer que sur
0 ; +∞
Cf et Cg sont sécantes aux points d’abscisses 1 et 2.
2) Étudier les positions relatives sur
0 ; +∞
de Cf avec Cg .
Exercice 8 - valeur absolue
Exprimer les calculs suivants sans utiliser les barres de valeur absolue : A =
3 4 −
√2 2
B =
√5−1 C =
−√ 3−√
6
D =
−√ 2 + 1
E =
√2 3 −
√3 2
F =|π−1|
G = 2√
3−3 H =
−π2+ 10
I = 2
3 −1 +√ 2
J =
−√ 3−1
Exercice 9 - opérations sur les fonctions
1) On considère les fonctionsf :x7−→2x−1 etg:x7−→x2.
Exprimer (et réduire si possible) :f(x) +g(x),f(x)−g(x),f(x)×g(x),f(g(x)) etg(f(x)).
2) Même question avec f :x7−→x2+ 1 etg:x7−→√ x.
On dit queg(f(x))est lacomposée def suivie deg et on note g◦f cette nouvelle fonction.
Exercice 10
1) Donner l’ensemble de définition de la fonction f(x) = √
2x+ 1.
2) Compléter le tableau des variations successives pour déterminer le sens de variation de f sur l’intervalle
−1 2; 4
.
x 2x+ 1
√2x+ 1
−12 4
Exercice 11
1) Donner l’ensemble de définition de la fonctionf(x) =|2x−1|.
2) Compléter le tableau des variations suc- cessives pour déterminer le sens de va- riation def sur l’intervalle
−4 ; 5 .
x 2x−1
|2x−1|
−4 12 5
Exercice 12
1) Donner l’ensemble de définition de la fonctionf(x) = −2√
−x+ 1.
x
−x+ 1
−8 1
PREMIÈRES-EXERCICESCHAP.3:FONCTIONSASSOCIÉESFICHE3
Exercice 13
1) Donner l’ensemble de définition de la fonction de la fonctionf(x) = −4
x+ 1.
2) Compléter le tableau des variations succes- sives pour déterminer le sens de variation de f sur l’intervalle
0 ; 1 .
x x+ 1
1 x+ 1
−4 x+ 1
0 1
Exercice 14
1) Donner l’ensemble de définition de la fonctionf(x) =
r 1 x2+ 9.
2) Compléter le tableau des variations suc- cessives pour déterminer le sens de va- riation def sur l’intervalle
−4 ; 4 .
x x2+ 9
1 x2+ 9 r 1
x2+ 9
−4 0 4
Exercice 15
Dresser un tableau des variations successives pour déterminer le sens de variation des fonctions : 1) f(x) =√
−4x+ 9 sur
−4 ; 0 . 2) g(x) =|−4x+ 3|sur
−3 ; 3 .
Exercice 16
Dresser un tableau des variations successives pour déterminer le sens de variation des fonctions : 1) f(x) =−3
2
√5x+ 1 sur 0 ; 7
. 2) g(x) = 5
2−x sur 0 ; 1
. 3) h(x) = −8
√x2+ 3 sur
−1 ; 1 .
Exercice 17 - fonction homographique
On considère la fonction homographiquef(x) = 1−3x
1−x définie surR− {1}.
1) Étudier le signe def(x) surR− {1}.
2) a) Déterminer les réelsaet btels quef(x) =a+ b 1−x.
b) En déduire les variations def surR− {1} (faire un tableau des variations successives).
S-EXERCICESCHAP.3:FONCTIONSASSOCIÉESFICHE4
On considère la fonction ration- nellef définie par :
f(x) = x2−2x+ 1 x2−2x+ 2 1) Déterminer l’ensemble de
définition def.
2) Déterminer les réels a et b tels que, pour tout réelx:
f(x) =a+ b x2−2x+ 2 3) Compléter le tableau des
variations successives ci- contre pour déterminer le sens de variation def. 4) Quel est le minimum de f
surR. Pour quelle valeur de xest-il atteint ?
x
x2−2x+ 2
1 x2−2x+ 2
−1 x2−2x+ 2
1 + −1
x2−2x+ 2
−∞ 1 +∞
Exercice 19
1) Déterminer l’ensemble de définitionDf de la fonction : f :x7−→p
−x2−x+ 2 2) Déterminer les variations def surDf.
Exercice 20
On considère la fonctionfdéfinie sur
−1 ; 1
parf(x) =√ 1−x2 et Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
1) Étudier les variations def sur
−1 ; 1 .
2) Préciser les coordonnées du point M d’abscisse x sur la courbe de Cf .
3) Démontrer que la courbe Cf, tracée ci-après, est un demi- cercle de centre O, l’origine du repère.
x y
O
Cf
−1 1
Exercice 21
On a représenté graphiquement dans un repère orthonormé les fonctionsf et gdéfinies sur
0 ; +∞
par : f(x) = 1
x et g(x) = 1
√x
y Cf
PREMIÈRES-EXERCICESCHAP.3:FONCTIONSASSOCIÉESFICHE5
Exercice 22 - avec la calculatrice
On considère la fonctionf définie par :
f(x) = 1
√x−1 1) Déterminer l’ensemble de définition Df def. 2) Démontrer quef est décroissante sur Df.
3) Sur l’écran de la calculatrice, tracer les courbes représentatives def et de la fonction racine carrée. Conjecturer le nombre de solutions de l’équationf(x) =√
xen précisant une valeur approchée de chaque solution.
4) Résoudre l’équationf(x) =√ x.
5) Vérifier les réponses faites à la question 3).
Exercice 23 - Distance d’un point à une courbe
On désigne parC la courbe représentative de la fonction racine carrée dans un repère orthonormal.
Soit A le point de coordonnées (2 ; 0).
1) Démontrer que la distance entre le point A et un point M (x;√
x) de la courbeC (avecx>0) est donnée par :
h(x) = s
x−3
2 2
+7 4 2) Déterminer les variations dehsur
0 ; +∞
.
3) En déduire quel est le point de C le plus proche du point A.
Exercice 24 - aire d’un rectangle
Le point M est situé sur un quart de cercle de centre O, de rayon 4 et d’extrémité A et B. Le point N est le pied de la perpendiculaire à la droite (OA) passant par M. Le point P est le pied de la perpendiculaire à la droite (OB) passant par M.
On posex= ON et on désigne parf(x) l’aire du rectangle ONMP.
x y
O A
B
P M
N 1) Déterminer l’ensemble de définition D de la fonction f.
2) Montrer que, pour toutxde D, f(x) =x√
16−x2. 3) a) Vérifier que, pour toutxde D, on a :
f(x) = q
64−(x2−8)2
b) Étudier les variations def avec un tableau utilisant les variations de fonctions succes- sives. En déduire que le maximum def vaut 8. En quelle valeur est-il atteint ?
S-EXERCICESCHAP.3:FONCTIONSASSOCIÉESFICHE6
On a représenté graphiquement dans un repère or- thonormé les fonctionsf etg définies surRpar :
f(x) =p
x2+ 1 et g(x) =|x|
Arthur pense que la courbe def va passer en dessous de celle deg.
1) Démontrer que pour tout réel x non nul, on peut écrire :
f(x) =|x|
r 1 + 1
x2
2) Montrer que, pour tout réel x, on a f(x)− g(x)>0.
3) En déduire les positions relatives des courbes représentatives de ces deux fonctions.
4) Arthur a-t-il raison ?
x y
O
Cg
Cf
1 1
