VECTEURS, DROITES ET PLANS DE L ESPACE.

VECTEURS, DROITES ET PLANS DE L ESPACE.

I. Vecteurs de l espace, combinaisons linéaire de vecteurs.

Comme dans le plan, un vecteur u de l’espace est défini par une direction dans l’espace, un sens et une norme notée | | | ^u | ^.

Les règles de calcul et la définition de la colinéarité sont les mêmes que pour les vecteurs du plan (voir fiche de rappels).

Comme dans le plan, lorsque 4 points A, B, C et D ne sont pas alignés : si AB CD , alors ABDC est un parallélogramme.

Combinaison linéaire de vecteurs : n est un entier de *, k 1 , k 2 , ..., k n sont des réels, u 1 , u 2 , ..., u n sont des vecteurs de l espace. Une ... des vecteurs u 1 , u 2 , ..., u n est un vecteur u de la forme u k 1 u 1 k 2 u 2 ... k n u n .

Exemple 1 :

ABCDEFGH est le cube représenté ci-contre.

Exprimer les vecteurs suivants comme combinaisons linéaires des vecteurs BA , BC et BF :

AG

BH

CE

Exemple 2 :

Sur la figure ci-contre, ABCDEFGH et BIJCFMNG sont des cubes.

Exprimer les vecteurs AN et MA comme combinaisons linéaires des vecteurs BA , BC et BF :

AN

MA

II. Droites de l espace.

1. Vecteurs directeurs d une droite.

Définition : Un vecteur u est un vecteur directeur d une droite d signifie qu il existe deux points A et B de d tels que u AB .

Sur la figure ci-contre, u et v sont des vecteurs directeurs de la droite d.

Remarque : une droite a une infinité de vecteurs directeurs, qui sont tous colinéaires entre eux.

Propriété : Soit d une droite passant par un point A et de vecteur directeur u . La droite d est l ensemble des points M tels que AM et u sont colinéaires. Ainsi, d est l ensemble des points M tels qu il existe un réel k tel que AM k u.

2. Positions relatives de deux droites de l espace.

Propriétés (admises) :

Par deux points de l'espace, il passe une unique droite.

Par trois points de l'espace, il passe un unique plan.

Si un plan contient deux points A et B, il contient tous les points de la droite (AB ).

Si d est une droite et A un point n'appartenant pas à d, alors il existe un unique plan contenant A et d.

Deux droites d ₁ et d ₂ de l’espace peuvent être :

soit coplanaires (dans un même plan) soit non coplanaires

d ₁ et d ₂ sont sécantes d ₁ et d ₂ sont parallèles Deux droites non coplanaires leur intersection est alors ( confondues ou strictement parallèles) ne sont ni sécantes ni parallèles ...

3. Alignement et parallélisme.

Propriété : Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs AB et AC sont colinéaires.

Les droites (AB ) et (CD ) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB et CD sont colinéaires.

Application 1 :

ABCD est un tétraèdre. I est le milieu de [ BD], G est le point tel que AG 3 4 AD et E est le point tel que AE 3

2 AB .

1. Exprimer GE et GI en fonction des vecteurs AB et AD . 2. Montrer que les points G, E et I sont alignés.

d 1

d 2

d 1

d 2

d 1

d 2

Application 2 :

ABCDEFGH est le cube représenté ci-contre. I est le centre de la face BCGF , K est le milieu de [HG ] et J est le point tel que BJ 1

4 BA . 1. Exprimer AK et IJ comme combinaisons linéaires des vecteurs

AB , AD et AE .

2. Montrer que les droites (AK ) et ( IJ) sont parallèles.

III. Plans de l espace.

1. Caractérisation par un point et deux vecteurs directeurs.

Un plan est entièrement déterminé par un point et deux vecteurs non colinéaires. On a alors :

Définition : Soit A un point et u et v deux vecteurs de l espace. Le plan passant par A et dirigé par les vecteurs u et v est l ensemble des points M définis par AM u v où et sont des réels.

Propriété admise : A, B et C étant trois points non alignés, le plan (ABC) est l ensemble des points M définis par AM AB AC où et sont des réels.

Propriété admise : Deux plans dirigés par le même couple de vecteurs non colinéaires sont parallèles.

2. Vecteurs coplanaires.

Définition : u , v et w sont trois vecteurs. O, A, B et C sont trois points tels que u OA , v OB et w OC .

u , v et w sont coplanaires si les points A, B et C sont coplanaires (c'est-à-dire appartiennent à un même plan)

Exemples : ABCDEFGH est le cube représenté ci-contre.

AB , AC et GH sont-ils coplanaires ?

FA ,GH, GA sont-ils coplanaires ?

Théorème admis :

 Soient u et v deux vecteurs non nuls et non colinéaires et soit w un vecteur.

u , v et w sont coplanaires si et seulement si il existe des réels et tels que w u v . Remarques :

Trois points sont toujours coplanaires, de même que deux vecteurs !!!

Deux vecteurs colinéaires et un troisième vecteur sont toujours coplanaires.

Quatre points A,B,C et D sont coplanaires si et seulement si AB , AC et AD le sont.

Les droites (AB) et (CD) sont coplanaires si et seulement si AB , AC et AD le sont.

Application :

ABCDEFGH est le parallélépipède rectangle représenté ci-contre.

I est le milieu du segment [ BG] et J est le milieu du segment [BD ].

Montrer que les vecteurs BI , JG et HF sont coplanaires.

3. Positions relatives d'une droite et d'un plan.

Une droite et un plan de l’espace sont :

soit sécants soit parallèles

d d

P d

P P

Leur intersection est alors d et P sont strictement parallèles d est contenue dans P

... leur intersection est ... leur intersection est ...

Propriété : Soit P un plan dirigé par les vecteurs v et w et soit d une droite de vecteur directeur u . d et P sont parallèles si et seulement si u , v et w sont coplanaires.

Application :

ABCDEFGH est le parallélépipède rectangle représenté ci-contre.

I, J et K sont les milieux respectifs des segments [ AD ], [BC ] et [ FG ].

1. Montrer que AK IG .

2. En déduire l écriture de AK comme combinaison linéaire de IJ et IH .

3. Que peut-on en déduire pour la droite ( AK ) et le plan (IJH) ?

4. Positions relatives de deux plans.

Deux plans de l’espace sont :

soit sécants soit parallèles

Leur intersection est alors ...

IV. Repérage dans l espace.

1. Base de l’espace et coordonnées d un vecteur dans une base.

Définition : Une base de l espace est un triplet ( ^{u , v , w} ) de trois vecteurs non coplanaires.

Propriété : ( ^{u , v ,w} ) est une base de l espace. Pour tout vecteur t de l espace, il existe un unique triplet (a ,b, c) de réels tels que t a u b v c w.

(a ,b, c) est le triplet de coordonnées du vecteur t dans la base ( ^{u , v ,w} ) ^.

Exemple :

ABCDEFGH est le parallélépipède rectangle représenté ci-contre.

I est le milieu de [ AB ], O est le centre de la face ADHE et J est le point tel que HJ 1

4 HG.

1. Justifier que ( AB , AD , AE ) est une base de l espace

2. Donner les coordonnées des vecteurs OI et BJ dans cette base.

2. Repère de l espace et coordonnées d un point dans un repère.

Définition : Soient O un point de l espace et ( ^{i , j , k} ) une base de l espace.

( ^{O i j k} ) est un repère de l espace.

Dans la suite, l espace est rapporté au repère ( ^{O i j k} ) ^.

Propriété et définition : Pour tout point M, il existe un unique triplet de réels (x;y;z) tels que

OM x i y j z k . ( x y z) sont les coordonnées de M dans le repère ( O i j k ) . x est l abscisse ; y est l ordonnée et z est la côte de M.

Soit u un vecteur. Les coordonnées de u dans le repère ( ^{O i j k} ) sont les coordonnées du point M tel que OM u . Ce sont aussi les coordonnées de u dans la base ( ^{i , j , k} ) ^.

Les opérations sur les coordonnées de l espace sont les même que celles sur les coordonnées dans le plan, avec une coordonnée de plus.

En particulier, si u (x y z ), alors | | | ^u | ^{x² y ² z² et A B} ( ^{x B x A} ) ² ( ^{y B y A} ) ² ( ^{z B z A} ) ²

Exemple :

ABCD est un tétraèdre. I, J et K sont les milieux respectifs de [ AB], [ AC] et [ AD ]. L est le milieu de [ JK ].

Déterminer les coordonnées des points I, J, K et L dans le repère ( ^{A AB AC AD} ) ^.

Exemple : on donne u (1 2 3) ; v

 

  3

5 17 15

7

15 ; A(2 3 5) et B ( 1 4 0). Montrer que u ; v et AB

sont coplanaires.

3. Représentations paramétriques d’une droite de l’espace.

d est une droite de l’espace passant par le point A( x A y A z A ) et de vecteur directeur u ( a b c).

M (x y z)  d ssi il existe un réel t tel que AM t u ssi il existe un réel t tel que



  x  x A  ta y  y A  tb z  z A  tc .z

Ce système est une représentation paramétrique de la droite d. t est le paramètre de cette représentation.

A chaque valeur de t, correspond un unique point de la droite d et réciproquement.

Exemple 1:

Soient A (2 ; 1 ;  2) et B ( 1 ; 2 ; 1).

1. Déterminer deux représentations paramétriques de la droite ( AB ).

2. Déterminer un autre point de la droite ( AB ).

3. Les points C(0 ; 2 ; 1) et D(8 ;  1 ;  8) appartiennent-ils à la droite ( AB) ?

4. Déterminer l’intersection de la droite ( AB ) et du plan ( ^{O i k} ) ^.

Représentation paramétrique des axes du repère ( ^{O i j k} ) ^:

L axe ( Ox ) des abscisses est dirigé par le vecteur ...

Une représentation paramétrique de (Ox) est ...

L axe ( Oy ) des abscisses est dirigé par le vecteur ...

Une représentation paramétrique de (Oy) est ...

L axe ( Oz ) des abscisses est dirigé par le vecteur ...

Une représentation paramétrique de (Oz ) est ...

Exemple 2: On donne les représentations paramétriques de 4 droites :

d 1 :



  x 1 t y 2 t z 3 t

; t ϵ ; d 2 :



  x 3 2 t y 1 2 t z 4 2t

; t ϵ ; d 3 :

 

 ^x _y ^{3 3t} _{2 12t}

z ³ 2 t

; t ϵ d 4 :



  x 2 t y 3 4 t z 1 2 t

; t ϵ

Déterminer les intersections de d 1 et d 2 ; d 1 et d 3 ; d 1 et d 4 .