Ch 11 : Géométrie dans l espace

Année scolaire 2019-2020 Mathématiques, Mme SCHER

Lycée Monge Terminale S 2

Ch 11 : Géométrie dans l’espace

I. Positions relatives de droites et de plans dans l’espace

1. Quelques règles de géométrie dans l’espace

 Règles de base Propriétés :

• Par deux points distincts de l’espace, il passe une unique droite.

• Par trois points non alignés A, B et C de l’espace, il passe un unique plan, noté (ABC).

• Si un plan

P

contient deux points distincts A et B, alors il contient tous les points de la droite (AB).

On dit que la droite (AB) est incluse (ou contenue) dans le plan

P

et on note (AB) ⊂

P

^.

• Dans chaque plan de l’espace, on peut appliquer toutes les propriétés de géométrie plane (théorème de Thalès, théorème de Pythagore…).

 Différentes façons de déterminer un plan Dans l’espace, un plan peut être déterminé par :

• trois points non alignés A, B et C: ce plan est alors noté (ABC),

• une droite

d

et un point extérieur à

d

^,

• deux droites sécantes

d

^et

d ’

^,

• deux droites strictement parallèles

d

^et

d ’

^.

Exemple : le plan (SAB) de la pyramide SABCDE à base pentagonale ci-contre peut être déterminé par :

• les points S, A et B (non alignés)

• la droite (AS) et le point B (B n’appartient pas à (AS))

• les droites sécantes (SA) et (SB)

Définition : des points, des droites sont coplanaires lorsqu’ils sont situés dans un même plan.

(Trois points sont toujours coplanaires, en revanche pour quatre, cela dépend).

Exemple : dans l’exemple précédent, les points A, B, C et D sont coplanaires.

En revanche, S, A, B et C ne sont pas coplanaires (le point C n’appartient pas au plan (SAB)).

2. Positions relatives de deux plans

Deux plans

P

^et

P ’

de l’espace peuvent être

• parallèles :

On note alors

P // P ’

^.

Il y a deux cas :

ils peuvent être strictement parallèles (

P // P ’

^et

P ≠ P ’

⁾

ou confondus (

P = P ’

^).

On dit qu’ils sont strictement parallèles s’ils n’ont aucun point commun

(

P ∩ P ’ = Ø

^).

• sécants :

Leur intersection est alors une droite,

d

^.

On note

P ∩ P ’ = d

^.

Propriété : Si deux plans distincts se coupent alors ils se coupent selon une droite.

3. Positions relatives d’une droite et d’un plan

Une droite

d

et un plan

P

de l’espace peuvent être

• parallèles :

On note alors

d // P

^.

Il y a deux cas :

d

peut être incluse (contenue) dans

P

⁽

d ⊂ P

⁾

ou

d

peut être strictement parallèle à

P

(

on note alors

d // P

et

d ⊄ P

ou

d // P

^et

d ∩ P = Ø ).

Propriété : Si une droite n’est pas parallèle à un plan alors elle coupe ce plan en un et un seul point.

• sécants :

Leur intersection est alors un point

M

^.

On note

d ∩ P = { M }

^.

4. Positions relatives de deux droites

Deux droites

d

^et

d ’

de l’espace peuvent être

• coplanaires :

Dans ce cas, elles sont contenues dans un même plan.

Elles sont alors soit parallèles, soit sécantes.

Si elles sont parallèles, on note alors

d // d ’

. Elles peuvent être soit strictement parallèles : elles n’ont pas de point d’intersection (on note alors

d // d ’

^et

d ≠ d ’

^ou

d // d ’

^et

d ∩ d ’ = Ø

^),

soit confondues (

d = d ’

^).

Si elles sont sécantes, alors elles ont un unique point d’intersection :

M

^{. On note}

d ∩ d ’ = { M }

^.

• non coplanaires :

Dans ce cas, elles ne sont pas contenues dans un même plan.

Attention, elles ne sont alors ni sécantes ni parallèles.

En pratique, lorsqu’on étudie la position relative de deux droites de l’espace, on suivra les étapes suivantes :

1. Les droites sont-elles coplanaires (contenues dans un même plan) ? 2. Si la réponse est NON, on ne peut rien dire de plus.

3. Si la réponse est OUI, on précisera alors en répondant aux questions suivantes : a. sont-elles sécantes ?

b. ou sont-elles parallèles (strictement parallèles ou confondues) ?

Exemple : ABCDEFGH est un cube. I est le milieu de [BF] et J est le milieu de [DH].

Quelles sont les positions relatives (aucune justification n’est demandée) : a) des plans (ABE) et (ABC),

b) des plans (ABE) et (CDH),

c) du plan (ABE) et de la droite (AI), d) du plan (ABE) et de la droite (DC), e) du plan (ABE) et de la droite (AD), f) des droites (AB) et (AI),

g) des droites (AB) et (GI), h) des droites (AB) et (EF).

Rappel : la section d’un solide par un plan est l’ensemble des points communs (points d’intersection) au plan et au solide.

Quelle est la nature de la section du cube ABCDEFGH par le plan (AIJ) ?

Correction de l’exemple : ABCDEFGH est un cube. I est le milieu de [BF] et J est le milieu de [DH].

a) Les plans (ABE) et (ABC) sont sécants et leur intersection est la droite (AB) : (ABE)∩(ABC) = (AB)

b) Les plans (ABE) et (CDH) sont strictement parallèles (parallèles et n’ayant aucun point commun) : (ABE)∩(CDH) = ∅

c) La droite (AI) est incluse dans le plan (ABE) donc elle est parallèle à (ABE) : (AI)⊂ (ABE) donc (AI)∕∕(ABE)

d) Le plan (ABE) et la droite (DC) sont strictement parallèles. Ils sont parallèles mais la droite (DC) n’est pas incluse dans (ABE) :

(ABE)∕∕(DC) mais (DC)⊄(ABE).

e) Le plan (ABE) et la droite (AD) sont sécants et leur point d’intersection est le point A : (ABE)∩(AD) = {A}

f) Les droites (AB) et (AI) sont coplanaires. Plus précisément, elles sont sécantes en A : (AB)∩ (AI) = {A}

g) Les droites (AB) et (GI) ne sont pas coplanaires.

h) Les droites (AB) et (EF) sont coplanaires. Plus précisément, elles sont strictement parallèles (parallèles non confondues) :

(AB)∕∕(EF) et (AB)∩ (EF) =∅ La section du cube ABCDEFGH par le plan (AIJ) est le carré AIGJ.

Pour vous aider à mieux visualiser les intersections dans l’espace, je vous recommande très fortement le site suivant :

https://lycee-valin.fr/maths/exercices_en_ligne/espace.html

Vous trouverez plus de 40 « petits » exercices de construction d’intersections et de sections :

 intersection de deux droites,

 intersection d’une droite et d’un plan,

 intersection de deux plans,

 section d’un cube par un plan,

 etc…

Vous travaillerez avec des figures « classiques » de géométrie dans l’espace :

 cube,

 pyramide,

 pavé droit,

 etc…

Vous proposez une réponse

et on vous dit si elle est correcte ou non.

L’intérêt est que vous pouvez faire tourner les figures, faire apparaître les plans…

Même si vous ne faites pas les exercices, cela peut vous permettre de mieux visualiser dans l’espace. Vous ouvrez un exercice et vous faites juste tourner la figure.

Vous avez une vidéo de présentation sur le site.

J’ai également réalisé une vidéo dans laquelle vous trouverez

 une brève présentation du fonctionnement,

 la correction de deux exercices sélectionnés parmi tous ceux qui sont proposés

 et quelques astuces.

Le visionnage de cette vidéo est obligatoire. Elle se trouve sur le site https://edpuzzle.com. Vous y aurez accès avec le mot de passe de la classe indiqué dans le planning. Vous trouverez dans ce planning plus d’informations sur cette nouvelle plateforme utilisée pour les vidéos.

Les liens de l’adresse de ce site et de la vidéo de démonstration se trouvent également sur le site.

II. Parallélisme dans l’espace

1. Définitions

Définitions (droites sécantes / droites parallèles) :

• Deux droites sont sécantes si elles sont coplanaires et ont un unique point commun. Ce point commun s’appelle le point d’intersection des droites.

• Deux droites sont parallèles si elles sont coplanaires et non sécantes.

Attention, dans l’espace, deux droites non sécantes ne sont pas forcément parallèles ! En effet elles peuvent aussi être non coplanaires.

Définitions (plans sécants / plans parallèles) :

• Deux plans de l’espace sont sécants s’ils ont une unique droite en commun. Cette droite commune s’appelle la droite d’intersection des plans.

• Deux plans de l’espace sont parallèles s’ils ne sont pas sécants. Ainsi, si deux plans

P

^et

P ’

^sont

parallèles

( P // P ’)

alors ils sont soit confondus

( P = P ’)

, soit disjoints

( P ∩ P ’ = Ø)

^.

Définitions (droite et plan sécants / droite et plan parallèles) :

• Une droite et un plan de l’espace sont sécants s’ils ont un unique point commun.

• Une droite et un plan de l’espace sont parallèles s’ils ne sont pas sécants.

2. Propriétés Propriété a) :

Par un point A de l’espace, il ne passe qu’une et une seule droite

d ’

parallèle à une droite d donnée.

Propriété b) :

Par un point A de l’espace, il ne passe qu’un et un seul plan

P ’

parallèle à un plan

P

^donné.

Propriété c) :

• Si deux droites sont parallèles à une même droite alors elles sont parallèles entre elles.

• Si deux plans sont parallèles à un même plan alors ils sont parallèles entre eux.

Propriété d) :

Si deux droites sont parallèles alors tout plan contenant l’une des droites est parallèle à l’autre droite.

Propriété e) :

Si deux droitessécantes d’un plan

P

sont parallèles à deux droites sécantes d’un plan

P ’

alors les plans

P

^et

P ‘

sont parallèles.

Si

•

d

1

⊂ P

^et

d

2

⊂ P, d

1et

d

2sécantes

•

d

1

’ ⊂ P ‘

^et

d

2

’ ⊂ P ’, d

1

’

^et

d

2

’

^sécantes

•

d

1

// d

1

’

^et

d

2

// d

2

’

Alors

P // P ‘

Propriété f) :

Si deux plans sont parallèles alors tout plan qui coupe l’un coupe l’autre et les droites d’intersection sont parallèles.

Si

•

P // P ‘

•

Q

^∩

P = d

^et

Q

^∩

P ‘ = d ’

Alors

d // d ‘

Propriété g) :

Si deux plans sont parallèles alors toute droite qui coupe l’un coupe l’autre et toute droite parallèle à l’un est parallèle à l’autre.

Théorème du toit :

Si deux droites

d

^et

d ’

sont parallèles et respectivement incluses dans deux plans

P

^et

P ’

sécants selon une droite Δ alors la droite Δ est parallèle à

d

^{et à}

d ’

^.

Remarque : on parle de théorème du toit car la configuration ressemble à celle du toit d’une maison.

III. Orthogonalité dans l’espace

1. Droites orthogonales Définition :

Deux droites

d

^et

d ’

sont perpendiculaires si et seulement si elles sont sécantes (donc coplanaires) et se coupent à angle droit.

On note

d ⊥ d ‘ .

Définition :

Deux droites

d

^et

d ’

sont orthogonales si et seulement si elles sont respectivement parallèles à deux droites perpendiculaires.

On note

d ⊥ d ‘ .

Sur le dessin ci-contre,

•

d //

^Δ

• Δ et

d ’

sont coplanaires et perpendiculaires (elles se coupent à angle droit).

Donc, par définition,

d

^et

d ’

^sont orthogonales

Sur le dessin ci-contre,

•

d //

^{Δ et}

d ’ //

^Δ’

• Δ et Δ’ sont coplanaires et perpendiculaires (elles se coupent à angle droit).

Donc, par définition,

d

^et

d’

^sont orthogonales

Remarques :

• Si

d

^et

d ’

sont perpendiculaires alors elles sont nécessairement coplanaires.

• Alors que si

d

^et

d ’

sont orthogonales alors ellesne sont pas nécessairement coplanaires.

• Si deux droites sont perpendiculaires alors elles sont orthogonales mais la réciproque est fausse.

Propriétés :

• Si deux droites sont parallèles alors toute droite orthogonale à l'une est orthogonale à l'autre.

• Si deux droites sont orthogonales alors toute droite parallèle à l'une est orthogonale à l'autre.

2. Orthogonalité d’une droite et d’un plan

Définition :

Une droite

d

est orthogonale à un plan

P

si et seulement si

d

est orthogonale à deux droites sécantes du plan

P

^{. On note}

d

^⊥

P

Sur le dessin ci-contre,

• Δ et Δ' sont deux droites sécantes du plan

P

^.

•

d

est orthogonale à Δ et Δ' (car

d

^//

d ’

et

d ’

est perpendiculaire à Δ et Δ').

Donc, par définition, la droite

d

^est

orthogonale au plan

P

^.

Propriété a) :

Si une droite

d

est orthogonale à un plan

P

^alors

d

est orthogonale à toute droite du plan

P

^.

Propriété b) :

Si deux plans

P

^et

P ’

sont parallèles alors toute droite

d

orthogonale à P est orthogonale à

P ’

^.

Propriété c) :

Si deux plans

P

^et

P ’

sont orthogonaux à une même droite

d

^alors

P

^et

P ’

sont parallèles.

Propriété d) :

Si deux droites

d

^et

d ’

sont parallèles alors tout plan

P

orthogonal à

d

est orthogonal à

d ’

^.

Propriété e) :

Si deux droites

d

^et

d ’

sont orthogonales à un même plan

P

^alors

d

^et

d ’

sont parallèles.

3. Projetés orthogonaux

• Projeté orthogonal sur un plan :

P

est un plan et M est un point.

Il existe une unique droite ∆M passant par M et orthogonale à

P.

On note M’ le point d’intersection de∆M et

P.

Définition : On dit que M’ est le projeté orthogonal du point M sur le plan

P.

• Projeté orthogonal sur une droite :

d

est une droite et M est un point.

Il existe un unique plan

P

^M passant par M et orthogonal à

d.

On note M’ le point d’intersection de

d

^et

P

^M

.

Définition : On dit que M’ est le projeté orthogonal du point M sur la droite

d.