La droite dans le plan

Exercices avec solutions PROF : ATMANI NAJIB Tronc CS

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Exercice1 :

Le plan est rapporté au Repère orthonormé



^{O i j; ;}



Construire les points

^A  ^{ 4; 2} 

^;

^B  ^{ 2;3} 

^;

 ^3;3 

C 

;

^E   ^{0; 4}

^;

^F  ^{ 3;0} 

et les vecteurs ^u

 

^{3; 2}



^{2; 4}



v  

Réponse :

soit M tel que

OM  u

donc

^M   ^{3; 2}

^{et soit}

N tel que

ON  v

donc

^N  ^{  2; 4} 

Exercice2 :

Le plan est rapporté au Repère orthonormé



^{O i j; ;}



et soient

^A   ^{1; 2}

^;

^B  ^{ 5; 4} 

1. Déterminer les coordonnée de

I

le milieu du segment [AB] et calculer AB AB

2. Déterminer les coordonnées du point

C

tel que

OA OB   OC

3. Quelle est la nature du quadrilatère

OACB

4. Déterminer les coordonnées du vecteur

u

tel que

2

u  OA  OB IC 

Réponse :1)

Le milieu

I

du segment [AB] a pour

coordonnées ;

2 2

B A B A

x x y y

I   

 

 

Donc : ;

2 2

A B A B

x x y y

I   

 

  donc ¹

 

⁵ 2 4

2 ; 2 I    

 

 

donc

^I  ^{ 2;3} 



^{5 1}

 

^{2 4 2}



^{2 36 4 40 2 10}

AB AB          2) on a

^A   ^{1; 2}

^;

^B  ^{ 5; 4} 

^;

^O   ^{0; 0}

donc OA x



AxO^;yAyO



donc ^OA



^{1 0; 2 0 }



donc ^OA

 

^{1; 2}



B O^; B O



OB x x y y donc ^OB



^{ 5 0; 4 0}



donc ^OB



^{5; 4}



on a

OC  OA OB 

donc ^OC



^{1 }

 

^{5 ; 2 4}



donc ^OC



^{4; 6}



^donc

^C  ^{ 4;6} 

3) on a

OA OB   OC

donc

OACB

est un parallélogramme

On vérifie : on a ^OA

 

^{1; 2} ①

Et ^BC



^{ 4 5; 6 4}



c a d ^BC

 

^{1; 2 ②}

De ① et ② on a donc

OA  BC

donc

OACB

est un parallélogramme

4) on a

u  OA  2 OB IC 

et ^OA

 

^{1; 2 et}

 

2OB 10;8



^{4 2; 6 3}



IC    donc ^IC



^2;3



on a

u  OA  2 OB IC 

donc ^u



^{1 10 2;1 8 3 }



donc ^u



^11;13



Exercice3 :

Le plan est rapporté au Repère orthonormé



^{O i j; ;}



et Soient les points

^A   ^{1; 2}

^;

^B  ^{  3; 1} 

^et

 ^{3; 2} 

C 

et les vecteurs ^u



^2;3



^{et v}

 

^{2; 4}

1) Déterminer les coordonnées du point

D

tel que

AB  BD

2) Déterminer les coordonnée de

I

le milieu du segment [AB]

3)calculer les distances suivantes : AB et

AC

et

BC Réponse :1)

donc donc

donc donc : 2)

donc donc

3)



_{B A}; _{B A}



AB x x y y



3 1; 1 2



AB     AB



 4; 3





_{D B}; _{D B}



BD x x y y BD x



D^3;yD¹



ABBD 3 4

1 3

D D

x y

  

    

7 4

D D

x y

  

  



2 ; 2

A B A B

x x y y

I   

 

 

1 3 2 1 2 ; 2 I   

 

 

1;1 I 2



_{B A}

 

² _{B A}

 

² 3 1

 

² 1 2



² 16 9 25 5 AB x x  y y          



_{C A}

 

² _{C A}



²

  

3 1² 2 2



² 4 16 20 AC x x  y y        



_{C B}

 

² _{C B}



²

  

3 3² 2 1



² 36 1 37 BC x x  y y        

La droite dans le plan

Exercice4 :

on considére dans la base

 

^{i j; les}

vecteurs



^{3, 2}



u  et ^v



^{6, 4}



Est-ce que les vecteurs

u

et

v

sont colinéaires ?

Solution :

Methode1 :

 

^{3 6}

^{   }

det ; 3 4 6 2 12 12 0

2 4

u v 

         



Donc :

u

et

v

sont colinéaires Methode2 : ^u



^{3, 2}



donc : u 3i 2j



^{6, 4}



v  donc : v  6i 4j

On remarque que : ^{v  6i 4j 2 3}



^i2j



^{ 2u}

Donc :

u

et

v

sont colinéaires

Exercice5 :

Le plan est rapporté au Repère orthonormé



^{O i j; ;}



et Soient les points ¹_;3 A2 

 

  ;

^B  ^{  2; 2} 

^et

  ^{1; 4}

C

et le vecteur ^u

 

^{1; 3}

1)déterminer le réel x pour que les vecteurs

u

et



2, 5



v x soient colinéaires

2)montrer que les pointsA ;

B

et

C

sont alignés

solution : u

et v x



2, 5



sont colinéaires

ssi ^det

 

^{u v; 0 ssi1}₃ ^x₅^{2 0ssi 5 1 3 }

^

^x2

^

^0

ssi 5 3 x 6 0 ssi

11 x  3

2) ₂ ¹_{; 2 3}

AB   2  cad 5 2; 5 AB   1 1; 4 3

AC 2  

 cad ¹;1

AC2 

 

 

 

^{5 1 5 5}

det ; 2 2 0

2 2

5 1

AB AC 

    



Donc :

AB

et AC sont colinéaires Par suite les A ;

B

et

C

sont alignés

Exercice6 :

Le plan est rapporté au Repère orthonormé



^{O i j; ;}



et soit m un paramètre réel

Discuter suivant les valeurs de m la colinéarité de

u

et

v

dans chaque cas :

1) ^u



^{3; 2m}¹



et ^v



^2;m



2) ^{u m}

 

^{;1 et v}

 

^1;m

Réponse :

1) on a :

 

^{3 2}

^{ }

det ; 3 2 2 1 3 4 2 2

2 1

u v m m m m m

m m

          



 

det u v; 0 ssi

   m 2 0

ssi

m   2

Si

m   2

alors ^det

 

^{u v; 0} donc les vecteurs

u

et

v

sont colinéaires

Si

m   2

alors ^det

 

^{u v; 0} donc les vecteurs

u

et

v

sont non colinéaires

2) on a :

 

^{1 2 2 2}

^{  }

det ; 1 1 1 1

1

u v m m m m m

 m       

 

det u v; 0 ssi

 ^{m  1}  ^{m   1}  ⁰

^ssi

m   1

ou

m   1

Si

m  1

alors ^det

 

^{u v; 0} donc les vecteurs

u

et

v

sont colinéaires

Si

m   1

alors ^det

 

^{u v; 0} donc les vecteurs

u

et

v

sont colinéaires

Si

m  1

et

m   1

alors ^det

 

^{u v; 0 donc les}

vecteurs

u

et

v

sont non colinéaires

Exercice7 :

donner une représentation paramétrique de la droite ^{D A u}

 

^; qui passe par

^A  ^{3; 5 } 

^{et u}



^2;3



^un

vecteur directeur

Solution : une représentation paramétrique de la droite

 

^;

D A u est :

Exercice8 :

Soient A(1 ; 2) et B(-3 ; 0)

1)Donner une représentation paramétrique de la droite (AB).

2)Déterminer si chacun des points suivants appartient ou non a la droite (AB) :

^C   ^{0; 2}

^;

^D  ^{ 1;1} 

^;

^E   ^{9; 6}

Réponse :1)

est un vecteur directeur de (AB), ses composantes sont : (-4, -2)

La représentation paramétrique de (AB) est donnée par le système :

①

4 1 2 2

x t

y t

  

    



^avec

^{t }

2)on a

^C   ^{0; 2}

on remplace les coordonnées de C dans le système ①

Donc

0 4 1

2 2 2

t t

  

    



on trouve

1 4 0 t t

 

 



or

1

4  0

don

^{C }   ^AB

on a

^D  ^{ 1;1} 

on remplace les coordonnées de D dans le système ①

 

3 2 ; 5 3

x t

y t t

   

   



Donc

1 4 1

1 2 2

t t

   

    



on trouve

1 2 1 2 t t

  

  



donc

^{D }   ^AB

on a

^E   ^{9; 6}

on remplace les coordonnées de E dans le système ①

Donc

9 4 1

6 2 2

t t

  

    



on trouve

2 2 t t

  

  



donc

^{E }   ^AB

Exercice9 :

Donner un point et un vecteur directeur de la la droiteD de représentation paramétrique

7 1 4 11

x t

y t

  

   



^avec

^{t }

Réponse :

on a

^A  ^{ 1;11}  ^{ D}

^{et u}



^{7; 4}



est un vecteur directeur de la la droiteD

Exercice10 :

Le plan est rapporté au Repère orthonormé



^{O i j; ;}



et Soient les points^A



^2,1



^;

^B   ^{3, 7}

1)Donner une représentation paramétrique de la droite (AB).

2) déterminer les points d’intersections de la droite (AB).

Avec les axes du repère

solution :

1) ^AB



³^{2; 7 1}



cad ^AB

 

^{5; 6}

la droite (AB) passe par

^A   ^{ 2,1}

et de vecteur directeur

 

^{5; 6}

AB donc une représentation paramétrique de la

droite (AB) est :

 

^{2 5}

 

1 6

x t

AB t

y t

  

 

  



2)a) d’intersections de la droite (AB) avec l’axe des abscisses :    y 6t 1 0

Donc

1

t   6

_donc ¹⁷

x  6 par suite le point d’intersections est : ¹⁷_{, 0}

C 6 

b) d’intersections de la droite (AB) avec l’axe des ordonnées :

    x 5 t 2 0

Donc ²

t5 par suite le point d’intersections est : 17

0, 5

D 

 

 

Exercice11 :

Déterminer une équation cartésienne de la droite (D) passant par les point A( 2 ; 4) et B( 5 ; -1)

Réponse :

methode1 :

Soit M un point de coordonnées : M (x ; y)

Les vecteurs ^{AM x}



^2;y4



^{et AB}



^{3; 5}



^sont

colinéaires si, et seulement si ^det



^{AM AB;}



^0

Équivaut à : 2 3 4 5 0 x y

 

  Équivaut à : -5(x - 2) - 3( y -4) = 0

équivaut à :  5x 10 3 y120 Équivaut à : 3 x + y —2 = 0

Une équation cartésienne de la droite (D), est : (D) :  5x 3y220

Methode2 : (D) : ax by c  0



^{3, 5}



AB  un vecteur directeur de (D)



^,



AB b a donc :

a   5

et

b   3

Donc l’équation devient : (D)  5x 3y c 0 Or on sait que :

^{A }   ^AB

Donc :

      5 2 3 4 c 0

donc c22 Par suite : (D)  5x 3y220:

Exercice12 :

Déterminer une équation cartésienne de la droite D) passant par le point A( 1 ; -1) et de vecteur directeur ^u



^1;3



Réponse :

Soit M un point de d de coordonnées : M (x ; y)

Les vecteurs ^{AM x}



^1;y1



^{et u}



^1;3



sont colinéaires si, et seulement si ^det



^{AM u;}



^0

Équivaut à : (x - 1)(3) - ( y + 1)( -1) = 0

Équivaut à :3 x — 3+y + l = 0 équivaut à : 3 x + y —2 = 0 Une équation cartésienne de la droite (D), est :

(D) : 3 x + y —2 = 0

Exercice13 :

Déterminer une équation cartésienne de la droite (D), passant par les points A (5 ; 13) et B (10; 23 ).

Réponse : Les points A et B appartiennent à la droite (D), donc le vecteurAB est un vecteur directeur de cette droite.

On a AB



10 5; 23 13 



donc ^AB



^5;10



en divisant les coordonnées du vecteur AB par 5, nous obtenons le vecteur ^u

 

^{1; 2} est vecteur directeur aussi de la droite (D), Donc b = 1 et a = -2 Une équation cartésienne de la droite d est donc :de la forme : — 2 x + y + c = 0 Comme le point A (5 ; 13) appartient à la droite (D), ses coordonnées vérifient l'équation : —2x5 + 1 3 + c = 0

Donc - 10+ 13 + c = 0 D’où : c = - 3

Une équation cartésienne de la droite (D), est donc : (D) : -2 x + y - 3 = 0

Exercice14 :

Déterminer l'équation cartésienne d'une droite à partir de sa représentation graphique

Soit



^{O i j; ;}



un repère du plan. Déterminer une équation cartésienne de la droite (D), , tracée ci-dessous

Réponse :

Méthode 1 : Le vecteur

u

est un vecteur directeur de la droite (D),

On lit graphiquement ^u

 

^3;1 Donc a =1 et b = -3 Une équation cartésienne de la droite d est de la forme : x - 3y + c = 0 Comme le point A ( 4 ; 1) appartient à la droite (D), ses coordonnées vérifient l'équation : 4 - 3 + c = 0 c =- l

Une équation cartésienne de la droite d est : x -3 y - 1 = 0 Méthode 2 : On prend deux points de la droite, par exemple A ( 4 ; 1) et B (-2 ; -1) et on applique la même méthode

Remarque :

 si m est le coefficient directeur de la droite alors un vecteur directeur de cette droite est ^u

 

^1;m

 si ^u



^{b a;}



est un vecteur directeur de la droite (D) et

0

b 

alors a

m best un coefficient directeur de la droite

Exercice15 :

Soit (D) la droite d'équation cartésienne : 4x + 2 y + 3 = 0

Déterminer l’équation réduite de la droite(D) et son coefficient directeur et un vecteur directeur

Réponse :

• son équation réduite est: y = -2x-3

• -2 est le coefficient directeur de la droite (D)

• Un vecteur directeur de cette droite est ^u



^{2; 4}



^ou

 

^{1; 2}

u 

Exercice16 :

Représenter graphiquemt les droites suivantes :

1)

  D

1 2x + y - 3 = 0 2)

  D

2 : x = 3 3)

  D

2 : y = 2

Réponse :

1)

2)

3)

Exercice17 :

Étudier la position relative des deux droites D) et (D') dans chaque cas suivant :

1)

  ^D

2x – 4 y + 3 = 0

  ^D

: -x +2 y + 5 = 0 2)

  ^D

2x + 5 y -2 = 0

  ^D

: x +3 y -2 = 0

Réponse :

1) on a :

  ^D

2x – 4 y + 3 = 0 donc ^u

 

^{4; 2}

est un vecteur directeur de (D)

Et on a :

  ^D

: -x +2 y + 5 = 0 donc ^v



^{ 2; 1}



^{est un}

vecteur directeur de (D')

 

^{4 2}

det ; 4 4 0

2 1

u v 

    

 Alors les vecteurs

u

et v sont colinéaires donc (D) et (D') sont parallèles Soit

^{A x y}     ^{;  D}

on prend

x  0

Alors 0 – 4 y + 3

= 0 donc

3

y  4

donc

^{0; 3}  

A    4    D

On vérifie si

^{0; 3}  

A    4     D 

^?

on a :

3 3 13

0 2 5 5 0

4 2 2

       

donc

3  

0; 4

A        D 

D'où :

    ^{D D}

strictement x 0 1

y 3 1

O

1 m

i j

u

2) on a :

  ^D

2x + 5 y -2 = 0 donc ^u



^{5; 2}



^{est un}

vecteur directeur de (D)

Et on a :

  ^D

: x +3 y -2 = 0donc ^v



^3;1



^{est un}

vecteur directeur de (D')

 

^{5 3}

det ; 5 6 1 0

2 1

u v  

      Alors les vecteurs

u

et v sont non colinéaires donc (D) et (D') sont sécantes

On détermine le point d’intersection de (D) et (D') Soit

^{E x y}   ^;

ce point d’intersection de (D) et (D') Alors

  ^{x y ;}

vérifie le système : 2 5 2 0

3 2 0 x y x y

  

  





donc 2 5 2

3 2

x y x y

 

 



 ^donc

2 5 2 2 3

x y

x y

 

 

 



donc

^{2 2 3}   ^{5 2}

2 3

y y

x y

   

 

 



donc

4 6 5 2 2 3

y y

x y

  

 

 



donc

4 2

2 3 y

x y

 

 

 



^donc

2 2 3 y

x y



 

 



donc

2 4 y x



 

 



donc

^E  ^{ 4; 2} 

Exercice18 :

Le plan est rapporté au Repère orthonormé



^{O i j; ;}



et Soient les points

A   1 , 2

;

B  3 ,  2 

Et les droites :

  D

1

: 6 x  3 y   2 0

et

  D

2

: 3 x  2 y   1 0

1)montrer que les droites

  D

1 et

  D

2 sont sécantes et déterminer le point d’intersection H (x ; y)

2) Donner une équation cartésienne de la droite (AB) 3) étudier la position relative des droites (AB) et

  D

1

4)Donner une représentation paramétrique de la droite

 

 Qui passe par le point C

 

1,2 et parallèle a

  D

2

Solutions :

1)

   

⁶          ^{2 3 3 12 9 21 0} Donc :

 

D1 et

 

D2 se coupent

Le point d’intersection vérifie le système :

6 3 2 0

3 2 1 0

x y x y

  

   





^{6 3 2}

3 2 1

x y

x y

  

  



6 3

21 0

3 2

    

 Donc solution unique :

2 3

1 2 1

x 21



   

 et

6 2

3 1 12 4

21 7 y



   

 

Donc : le point d’intersection est 1 4 21; 7 H   2)la droite

  AB

a une équation de la forme :

 

AB :axby c 0

Un vecteur directeur est : ^AB



^{2, 4}



^AB



^{b a,}



Donc :

a   4

et

b   2

L’équation devient : 4x2 y  c 0 On a :

^{A }   ^AB

^{donc :}

^{    4 4 c 0}

^cad

c  8

Donc :

 

AB

  4 x 2 y   8 0

Ou :

 

AB :

2 x    y 4 0

3)on a

 

AB :

2 x    y 4 0

_et Et on a :

   

^{6  1     3 2 6 6 0}

Donc :

 

D1 et

  ^AB

sont parallèles

4)

  

est parallèles

  D

2 donc le vecteur directeur de

  D

2 Est un vecteur directeur de

  

Donc :^u

 

^2;3 est un vecteur

  

qui passe par

C   1 , 2

Donc :

  

:

^{1 2}  

2 3

x t

x t t

 

 

 





Exercice19: Le plan est rapporté au Repère orthonormé



^{O i j; ;}



et Soient les points^A

 

^{1, 2 ; B}



^{3, 2}



Et les droites :

 

^{D : 3x5y 6 0 et}

 

^{D :x y 0}

1)Donner une représentation paramétrique des droites

 

^{D Et}

 

^D

2) Donner une équation cartésienne de la droite

 

^{ Qui}

passe par le point ^B

 

^1;0 et parallèle a

 

^{EC avec E}

 

^3;3

et ^C

 

^{4; 0}

3)déterminer les coordonnées du point d’intersection I de

 

^{ et}

 

^D et les coordonnées du point d’intersection Jde

 

 et

 

^D

4)montrer que Jest le milieu de

 

^IB

  D

₁

: 6 x  3 y  2  0

Solution :1)a)un vecteur directeur de

 

^{D : 3x5y 6 0}

Est ^u



^{b a;}



^{donc :}

Déterminons un point de

 

^{D ?}

Si x0 alors :

  ^{D : 3 0 5   y   6 0}

^{donc 6}

y5 Donc : une représentation paramétrique des

droites

 

^{D est}

b)un vecteur directeur de

 

^{D :x y 0}

Est ^u



^{b a;}



^{donc :}

Déterminons un point de

 

^{D ?}

Si x0 alors :

 

^{D : 0 y 0donc y0}

Donc : une représentation paramétrique des droites

 

^{D est}

2)

 

^ passe par le point ^B

 

^1;0 et parallèle a

 

^EC

Donc : un vecteur directeur de

 

 : ^EC



^{1; 3}



Et on sait que: ^u



^{b a;}



donc: Donc :

a   1

et

b   3

Donc :

Et on sait que

 

^{ passe par B}

 

^1;0 on trouve Donc :

 

^

3)a)déterminons les coordonnées du point d’intersection I de

 

^{ et}

 

^{D ?}

On va résoudre le système 3 5 6

3 3

x y x y

  

   

 ⁾¹⁽

On fait la somme des deux équations membre a membre on

trouve : 3

6 9

y y 2

    

Et en remplaçant dans la 2iem équation on trouve :

3 1

3 3 0

2 2

x x

     

Donc le point d’intersection I de

 

 et

 

^{D est 1 3}, I2 2

 

 

b)déterminons les coordonnées du point d’intersection Jde

 

^{ et}

 

^{D ?}

On va résoudre le système 0

3 3

x y x y

  

   

 ⁾¹⁽

0

x   y x y

Et en remplaçant dans la 2iem équation on trouve :

3 3 0 3

x x x 4

     

Donc le point d’intersection Jde

 

^{ et}

 

^{D est 3 3}, J4 4

 

 

4)montrons que Jest le milieu de

 

^IB

Il suffit de montrer que : ?

On a : 1 3

4, 4 IJ   ^et

1 3 4, 4

JB   ^{donc :} Donc : Jest le milieu de

 

^IB

Exercice20: soient A

;

B

; C trois points du plan et

E

et

F

deux points tel que :

5 1

4 2

AF  AC AB

et

^{4 1}

3 3

BE BC BA

1)Montrer que les points C

;

E

; F sont alignés

2)déterminer les coordonnées des points :

A

;

B

; C

;

E

; F dans le repére 

^{C CA CB, ,}



3) montrer par une autre méthode que

les points C

;

E

; F sont alignés

Solution :1) on a : CECB BE

Donc : ^{4 1 4 1}

3 3 3 3

CECB BC BA BC BC BA

 

1 1 1

3 3 3

CE BC BA BCBA

Donc :

^CE1₃



^BCBA

 ^{  1}

D’autre part on a :

CFCA AF

Donc : ^{5 1 1 2}

4 2 4 4

CF CA AC AB AC BA

Donc : ^{1 1 1 1 1}

4 4 4 4 4

CF  AC BA BA BC BA

Donc :^CF1₄



^BCBA

 ^{  2}

De   ^{1 et}   ² en déduit que :

⁴

CE3CF Donc : les points C

;

E

; F sont alignés

2)on considérant le repère : 

^{C CA CB, ,}

 ^{on a C   0; 0}

On a

CA1CA0CB

donc ^A   ^1;0

On a

CB01CA1CB

donc ^B   ^0;1

On a :

CFCA AF

 

5 1 5 1

4 2 4 2

CFCA AC BACA CA BC CA

1 1 1 1 1

4 2 2 4 2

CF  CA BC CA CA CB

 

^5,3

u

  ⁰6 ⁵  

5 3

x t

D t

y t

  

 

  



 

^1,1

u

 

^{0 1}

 

0 1

x k

D k

y k

  

    

EC

3x y c 0

   

3 c 3x y 3 0

   

IJ JB

IJJB

Donc :

^{1 1}

4 2

CF CA CB

par suite : 1 1 4 ; 2 F        Et on a :

CECB BE

 

4 1 4 1

3 3 3 2

CECB BC BACB CB BC CA

1 1 1 2 1

3 3 3 3 3

CE  CB BC CA  CB CA

Donc :

^{1 2}

3 3

CE CA  CB

par suite :

¹; ²

3 3

E  

3) montrons par une autre méthode que

les points C

;

E

; F sont alignés ?

Il suffit de montrer que les vecteurs CE et CF sont coplanaires

 

1 1

2 2

3 4

det ; 0

2 2 12 12

3 4

CE CF     

 

donc: CE et CF sont coplanaires par suite

les points C

;

E

; F sont alignés

C’est en forgeant que l’on devient forgeron » Dit un proverbe.

C’est en s’entraînant régulièrement aux calculs et exercices Que l’on devient un mathématicien

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