Devoir (II,1) du 21 février 2018 Exercice 1: Déterminez les primitives des fonctions suivantes, définies sur les domaines indiqués

1C1 Devoir en classe 2017-18 _______________________________________________________________________________________

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AB Beran - 2017-18-1C1-Verbesserung-II1.doc Bonne Chance et Bon Courage - 1 -

Devoir (II,1) du 21 février 2018

Exercice 1: Déterminez les primitives des fonctions suivantes, définies sur les domaines indiqués

   

     

 

 

2 3

3 5

2 2 2 2

2 2 2

2

2

2 2

2

1) 2 1 3 3 5

2 1 3 3 5 1 2 3 3 5

3 5

2 3 3 5 3 3 5 ,

15

2) 2 2; 2

4

1 1 2

2 4 2 arcsin

2 1 2

4 2 1

2 4 2 arcsin

1 3

3

1 2

2

x x x dx I

x x x dx x x k

x x x x k k

x dx I

x

x x

dx dx x k

x x

x

    

          

      

  



    

 

        

     







  

   











 

 

 

2 ,

x k k

   

  

 

 

^{ }

 

   

       

       

   

2

; 3

2 2

2

2

5 5

3) ; 3

2 3

1 5 5

5 ln 2 3 ln 2 3 ,

2 2

2 3

4) sin 4 cos 5

1 1 1

9 sin 9 1 1 sin

2 9 2

1 1 1 1

cos 9 cos cos 9 cos ,

18 2 18 2

5) 4 2 l

1 2

n

2 ^I

x dx I

x x

x

dx x x k x x k k

x x

x x dx I

x dx x dx

x x k x x k k

x x x dx I

  

   

 

           

 

 

        

         

   

 











 



    ^{ }  

0

2 2

2

2 1

4 2 ln 2 1 ln 2

par Ipp x

x x x dx x x x x

x x



        



 ^



^x2x



    ^{ }

     

     

   

2

2 2

2

2 2

2

2 1 ln 2

2 1 ln

ln ' 4 2

2 1

2

,

' 2

1

2

Ipp u x x x v x x

u x x v x x x x x

x x

dx

x x x x x x k

x x x x k k

   

     

      

 

    



 

 





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     

 

2 2

2

2 2

ln

2 2 1 ln 2

2

ln ,

x x

x x x dx k

x x k k

       

   



 

   

     

     

   

2 1

2

2

2

2

1 2

2 2

1 4

6) arctan 2

arctan 2 arctan 2 2

1 4

arctan 2 1ln 1 4 , 4

7

1

arctan 2 ' 1

' 2 1

2 2

2 4

)

par

par Ipp

x

x x x x x x

par p

Ipp Ip

Ipp u x x v

x dx I

x dx x x x dx

x

x x x k k

x e dx I

x e dx x e x e dx x e x e e

x

u x v x x

x

Ipp

dx



  



 



 

   

 

 

      

 

 

 



 











  

       

       

 

2

2 2

2

2

' '

'

,

2 1

'

2 2 2

x x x

x

x

x

x

u x x v x ex

u x x v

x

Ipp u x x

e xe e k x x

v x e

u x v x e

x

k e

e k

 

 

 

 

        

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Je vous voue mon amour

intégral !

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Exercice 2 :

1) Déterminez la primitive de la fonction f qui prend la valeur ^{ln 2}

 

^{pour x0}, sachant que :

 

³ ₂^{6 2 2}

  

^{, , ,}



2 1

2

x x x c d

f x sachant que f x ax b a b c d

x x

x x

  

     

 

  ,

Par division euclidienne on trouve :

 

³ ₂^{6 2 2 5} ₂^{2 8 1 5}

2 2

x x x x

f x x donc a et b

x x x x

    

     

   

  

   

2

2 2

2 1 2

2 2

2 1 2 2

comme x x x x

c d x c d

c d cx c dx d

et x x x x x x

    

   

  

  

     

par identification des parties entières et des numérateurs, on trouve le système à résoudre :

   

¹

     

2 1 2 : 3 6 2 1 : 4

2

2 8

c d

d d dans c

c d

   

      

  



Les nombres réels cherchés sont donc : a1 ,b5 ,c 4 etd2

D’où :

 

^{5 4 2}

2 1

f x x

x x

    

 

et

   

^{1 2 5 4ln 2 2ln 1 ,}

F x 



f x dx2x  x x  x k k

pour x0 :

   

0

0 ln 2 4ln 2 2ln1

F



     k ln 2  k5ln 2

D’où la primitive cherchée :

 

^{1 2 5 4ln 2 2ln 1 5ln 2}

F x 2x  x x  x  2) Démontrez que :

 

¹

 

²

 

¹

 

: sin 2 cos 2 sin 2

6 3

x g x x x x

     est une primitive de f x

 

cos³

 

2x .

g est une primitive de f ssi ^{ x : g x'}

 

^{ f x}

 

. Calculons donc ^{g x'}

 

^:

             

       

     

 

     

2

2

3 2

en factorisant cette somme

3 2 3 3 3

cos 2

1 1

' 2cos 2 cos 2 sin 2 2cos 2 sin 2 2 cos 2 2

6 3

1 2 2

cos 2 cos 2 sin 2 cos 2

3 3 3

1 2 1 2

cos 2 cos 2 1 sin 2 cos 2 cos 2 cos 2

3 3 3 3

x

g x x x x x x x

x x x x

x x x x x x

 

          

  

 

       

_______________________________________________________________________________________

Répartition des points: 40 (4+7+6+4+5+5+9) + 20 (12+8)