Devoir (II,2b) du 25 février 2016 - LJ Exercice 1

LGL Devoir en classe 2015-16 _______________________________________________________________________________________

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AB Beran - 2015-16-1DG-Corrige-II2b.doc Bonne Chance et Bon Courage - 1 -

Devoir (II,2b) du 25 février 2016 - LJ

Exercice 1 : Equations et inéquations logarithmiques

Résolvez dans les (in-)équations suivantes :

       

   

  ^{ }

       

    

3 1 3

3

3

1 1 3

3 3

3 3 3

3 3

1) log 3 2 log 3 8 log 4

2 3 2 0 3

8 2

) : 3 8 0 ; 4

3 3

4 0

4 log 3 8

) : log 3 8 log 3 8

log 3

) : log 3 2 log 4 log 3 8

log 3 2 log 4 3 8

x x x E

x x

a CE x x D

x x

b Bases x x x

c x D E x x x

x x x base



    

  

  

 

          

   

   

  



     

       

       

2 2

3 1

3 2 12 32 3 8

3 30 0 3 ou 10

3 ) 10

3

bij

x x x x

x x x D x D

d S



     

        

   

 

   

   

 

 

 

1 4

4

4

1 1 4 4

4 4

4 4

2) log 5 1 log 2

3

3 5

5 0

0 0

) : 3

2 0 2

5;

log 5

5 3 5 3

) : log log log

3 log 3 5

) : log 3 log

5

x x IE

x

x x

Q x Q x

a CE x

x x

D

x

x x x x

b Bases

x x x

c x D IE x x

x



     

  

 

 

    

     

 

   

  

  

  

 

   

        

        

     

  

     





  

 

4 4 1

. .

4 4

2 log 4

3 3

log log 4 8 4 8

5 5

base bij str

x x

x x

x x

 



 

 

        

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AB Beran - 2015-16-1DG-Corrige-II2b.doc Bonne Chance et Bon Courage - 2 -

  

   

 

2

1,2

2 1

3 4 8 5

5 0

4 29 37

5 0

29 249 5,59

) : 5

1, 65 6

5

0 0

) 0

0 0

29 249 29 249

) ;5 ;

6 6

29 249

) ;

6

x x x

x

x x

x

i Racines x x

x x x

ii TDS N x

D x Q x

iii E

d S E D

   

 



  

 





   



    

     

   

     

   

   

  

   

 

_______________________________________________________________________________________

Exercice 2 : Calculs de primitives

1) Déterminez les primitives des fonctions suivantes (en ne vous occupant pas des domaines) :

       

   

   

 

         

1 2 1 2

1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2

3 32

2 3 '

) 2 3

' 2 1

2

1 1 1 1

2 3 2 2 3 ( )

2 2 2 2

1 2 4

2

) sin 3 cos 3 sin 3 cos 3 1 2 sin 3

1 2

2

1 3

3 3 5

x x

x

x x x x

x

u x x v x e

a P x e dx ipp

u x v x e

P x e e dx x e e calcul de v

P e x k

b P x x dx x x dx x







   



    

  

   

         

    

            

 

 









   

5 2

2 2

sin 3 sin 3 15

k

P x x k



    

  ^{ }   ^{ }

   

     

1

2 2

2

1 2 2

1

2 2 2 2

ln '

ln )

1 2

' 2 2

2 ln 4 2 ln 4 2 2 ln 4

u x x v x x

x

c P dx ipp

x u x x v x x

x x

P x x x dx x x x k x x k





 



    

 

         







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AB Beran - 2015-16-1DG-Corrige-II2b.doc Bonne Chance et Bon Courage - 3 -

2

2 2

2 2

2 2 2

4arccos ) 2

4

4 1 arccos

4 2

4 1 2

1 4 1

4 arccos 4 2arccos

2 1 2 2 2

2

1 2

2 x x

d P dx

x

x x

P dx dx

x x

x x x

P k x k



   

  



  

             

    

     



    

   



 





 

 

 



2) On considère la fonction f définie sur



^;1



^par

 

₃^{3 2} ₂ ^{2 9}

4 4

x x

f x

x x x

 

    (Examen C/D : 06/13)

a) Déterminez les réels a, b et c tels que pour tout xD_f , on a

 

₂

4 1 ax b c

f x x x

  

  . b) Déterminez la primitive F de f sur l’intervalle telle que : ^F

 

^{0 0 .}

 Vérifions le dénominateur :



^x24

 ^

^{x 1}

^

^{!x3x24x4}

 Réduisons la somme de fractions au DC :

 

₂ ¹ ₂^{2 4}

4 1 1 4

x

ax x

x x

b c

f x x x

 

 



 

  



  ^{   }  ^  ^{    }

2 2 2

2 2

4 4

4 1 4 1

a c x a b x b c

ax ax bx b cx c

x x x x

      

    

 

   

 Par identification des numérateurs :

   

 

   

1 2 par addition

 

puis substitution

3 1

1 2

2 2 1 : 1

4 9 1

3

4 9

a c

b c c

a b dans a

b c b

b c

  

     

      

      

  



 Par conséquent, on trouve :

 

₂ ^{1 2}

4 1 f x x

x x

  

 

 Pour calculer une primitive, il faut encore décomposer la première fraction :

 

_{2 2}^{1 2 1} ₂² ₂^{1 2 1}

1 1

4 4

2 4 4 4 1

x x

f x x x x x x x

      

   

  

  

 

 

 ,

ce qui mène aux primitives :

 

   

2 2

2

1 1

4 2 1

4 1

2

1 1

ln 4 arctan

1

1 2 2

2 2

2ln 1

2 2 2

F x x dx dx dx

x x x

F x x x x k

    

   

   

        





 

  

 



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 Or

         

²

0 0

1 1 1

0 ln 4 arctan 0 2ln 1 0 ln 2 ln 2

2 2 2

F k k

 

         

D’où la primitive cherchée : ^{F x}

 

^1₂^ln



^x24



^1₂^{arctan  }_{ 2}^{x 2ln x 1 ln 2}

_______________________________________________________________________________________

Répartition des points: 20 ( 8+12 ) + 40 ( 28+12 )