Devoir (II,4) du 20 avril 2016 - Corrigé Exercice 1

(1)

LGL Devoir en classe 2015-16 _______________________________________________________________________________________

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AB Beran - 2015-16-1DG-Corrige-II4.doc Bonne Chance et Bon Courage - 1 -

Devoir (II,4) du 20 avril 2016 - Corrigé

Exercice 1 : Un peu de théorie

1) Soit a un réel strictement positif et distinct de 1. Démontrez, en justifiant, les propriétés suivantes :

    ^ ^

       

   

) 0 : log 1 ) : ln 09 / 2014

ln

) 0; 1 , 0 : log log 06 / 2013

log

x x

a

b a

b

i x x ii x a a a CD

x a

iii b x x x CD

a

 

       

       

Il faut commenter les différents passages en indiquant au moins les règles/définitions utilisées (noms) !

2) Si f est une fonction continue sur

 

^{a b}^; , alors :

   

) la fonction : : est dérivable sur ; ) la dérivée de est .

x

a

i F x f t dt a b

ii F f

 



Autrement dit : la fonction F est une primitive de f.

Il faut commenter les différents passages en indiquant au moins les règles/définitions utilisées (noms) ! _______________________________________________________________________________________

Exercice 2 : Géométrie analytique dans ³

1) Dans un repère orthonormé de l’espace, on considère le plan π₁ d’équation cartésienne π1  3x 2y z 4 et le point ^A



^^{1;3; 2}^



^.



^{Examen C}^: ^²⁰¹⁵



a) Le point A appartient-il au plan π₁ ? Justifiez !

b) Déterminez un système d’équations paramétriques et un système d’équations cartésiennes de la droite d passant par A et perpendiculaire au plan π₁.

c) Déterminez une équation cartésienne du plan π₂ passant par A et parallèle au plan π₁. Résolution

 

₁

   

1) ) 1;3; 2 π 3 2 4 3 1 2 3 2 4

11 4 !

a A x y z

faux

                

 

Comme cette égalité est fausse, le point A



1;3; 2 



π1

b) A



1;3; 2  



d π1  3x 2y z 4 

un vecteur normal à π₁ est vecteur directeur à la droite d.

   

     

1 1

3

2 est un vecteur normal à π , donc vecteu

π 3 2 4

1 3 1

1;3; 2

r directeur de 1

système d'équations paramétrique

3 2 2

3 ed

2 s

x y z

x k

A d

n d

k d

y k

z k

     

   

 

 

 



      

  

 

 

 





 

 



(2)

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Résolvons ce système, par exemple par substitution :

 

^{3 :} ^k^{  }^z ² . En remplaçant dans :

   

 

¹ ^{1 3}



²



³ ⁵ ⁰

 

2 sytème d'équations cartésiennes d

3 0 e

2 2 2 1

x z x z

y z

y z d

         

 

        



     

2 1

2 2

2

2 1

π et π ont un même vecteur norm ) π / / π

π 3 2 0

1;3; 2 π 3 1 2 3 2 0 11

π 3 2 11

al

0 c

x y z d

A d d

x y z



      

               

      

2) Dans un r.o.n. de l’espace, soit d la droite passant par le point ^A



^{4; 4;0}^



et de vecteur directeur 4

4 3 u

 

 

 

 

 

. Trouvez une équation du plan πperpendiculaire à d passant par ^M



^1;1;2



^.

Pour que πd , il faut que le vecteur directeur de d soit vecteur normal à π.

 

π 4 4 3 0

1;1; 2 π 4 1 4 1 3 2 0 6

π 4 4 3 6 0

x y z d

M d d

x y z

     

          

     

3) Dans un r.o.n. de l’espace, soient les points donnés^A



^{0; 1;2 ;}^

 

^B ^{1;0;1 ;}

 

^C ^2;5;2



^.

a) Déterminez un système d’équations paramétriques et une équation cartésienne du plan π comprenant les points A, B et C.



^{Examen D}^: ^^{06 / 2014}



b) Déterminez un système d’équations paramétriques de la droite d orthogonale au plan π et passant par le point ^D



^1;1;1



. Déterminez ensuite les coordonnées du point de percée de la droite d avec le plan π.

       

vecteurs directeurs du plan

1 2

) 0; 1; 2 ; 1;0;1 ; 2;5; 2 ; ; 1 1 6

2 1 0

x

a A B C et P x y z AP y AB AC

z

     

     

        

      

     

 

   

 

équation vectorielle de π

système d'équations paramétriques de π 1

1 1

; ; π , :

2 1

1 6 2

2 3

1 2 2

det ; ; 1 1 6 3 2 5

2 0

3 2

1 1

π

P x y z h k AP h AB k AC

x h k

y h k

x y z

z h

x

AP AB AC y x y z

z x y

  



 

    

  

     

  



     

 

    z 5 0 équation cartésienne de π

(3)

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   

     

) π 3 2 5 0

1 3 1

1;1;1 3

1 est un vecteur normal à π, donc vecteur directeur d

1 2

e 2

système d'équations paramétriques de pour tro

1 uver le point

2 de percée,

3

b x y z

x k

D d y k

z n

k k

d

    



  

    

  

  

 

 

  

  

  

   

 

     

il faut résoudre le système suivant:

En remplaçant les tro

1 3 1

1 2

d π

1 2 3

3 2 5 0 4

4 : 3 1 1

is premières équations dans

En remplaçant cette valeur dans

2 5 0 14 1 0

3 2 14

s 1

1

le k k

k x

x

k y

y

k k k k

z

  

  

    

    



            

trois premières équation 17 13 16

: ; ;

14 14

s M 14

 

 

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Répartition des points: 20 (12+8) + 40 (18+11+11)