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(1)

2010-2011

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1/

1 1 1 1

( ) (1) 2 ² 3 1 ( 1)(2 1)

lim lim lim lim 2 1 1

1 1 1

x x x x

f x f x x x x

x x x x

   

    

    

  

 f est dérivable en 1 et f '(1)=1.

2/

1 1 1 1

2 2 2 2

1 1

( ) ( ) 2( )

2 1 2

2 2

lim lim lim lim

1 1 ( 1) 2 1 2 1

2 2 2

x x x x

f x f x

x

x x x x x

   

   

      

    

    

 f n'est pas dérivable à droite en

¹

2

. Exercice 2:

1/

1 1 1

1 1

( 1)( 3) 3

lim ( ) lim lim 2

( 1)( 1) 1

lim ( ) lim 2 ² 2 2 2 ( 1)

x x x

x x

x x x

f x x x x

f x mx m f

  

  

 

 

  

  

  

     

f continue en -1  2m-2=2  m=2.

2/ Dérivabilité de f en -1:

1 1 1 1

( ) ( 1) 4 ² 2 2 4( 1)( 1)

lim lim lim lim 4( 1) 8 ' ( 1)

1 1 ( 1)

3 2

( ) ( 1) 1 1 1 1

lim lim lim lim ' ( 1)

1 1 ( 1)( 1) 1 2

d

x x x x

g

x x x x

f x f x x x

x f

x x x

x

f x x x x f

x x x x x

   

   

   

   

     

       

  

 

           

    

f'

g

(-1)  f'

d

(-1)  f n'est pas dérivable en -1

f '

_d

(-1)= -8  

_f

admet au point d'abscisse -1 une demie tangente de vecteur directeur

¹

d 8

u  

 

 

. f '

g

(-1)=

¹

2

 

f

admet au point d'abscisse -1 une demie tangente de vecteur directeur

1 1 2 ug

  

  

 

. Dérivabilité de f en 2:

2 2

( ) (2) 4 ² 2 4

lim lim

2 2

x x

f x f x

x x

 

 

     

 

 f n'est pas dérivable à droite

en 2.

(2)

2010-2011

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

f

admet au point d'abscisse 2 une demie tangente verticale dirigée vers le haut.

2 2

2

( ) (2) ² 3 3

lim lim

2 2

² 6

lim

( 2)( ² 3 3)

3 5

lim ' (2)

² 3 3 6

x x

x

d x

f x f x x

x x

x x x

x f

x x

 

 

 

    

 

  

   

   

  

 f est dérivable à gauche en 2 et 

f

admet au point d'abscisse 2 une demie tangente de vecteur directeur

1 5 6 ud

  

  

 

. Exercice 3:

1/ D

f

={x  IR; x²-4  0}=]-  ,-2]  [2,+  [.

2/

lim ( )

lim ( ) lim 4 0

² 4

x

x x

f x

f x x x



 

     

  

 

3/

2 2

2

( ) (2) ² 4 2

lim lim

2 2

² 4

lim 1

2

( 2)( 2) 1 lim

( 2) ² 4

1 lim 2

² 4

x x

x

f x f x x

x x

 

 

 

    

 

  



 

  

 

     



 f n'est pas dérivable à droite en 2 et 

f

admet au point d'abscisse 2

une demie tangente verticale dirigée vers le haut.

(3)

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2 2

2

( ) ( 2) ² 4 2

lim lim

2 2

² 4

lim 1

2

( 2)( 2) 1 lim

( 2) ² 4

1 lim 2

² 4

x x

x

f x f x x

x x

 

 

 

    

  

  



 

  

 

     



 f n'est pas dérivable à gauche en -2 et 

f

admet au point d'abscisse -2 une demie tangente verticale dirigée vers le haut.

Exercice 4

1) a) Pour tout x>0, ( ) (0) 1

1 1

0

f x f x x x

x x x x

      



Puisque

0

lim 0

x _ x ^

  , on en déduit par limite du quotient, que

0 0

( ) (0) 1

lim lim 1

0

x x

f x f

x x

 

 

    



La fonction f n’est donc pas dérivable en 0

b) Dans un repère orthogonal, la courbe représentant f admet en son point d’abscisse 0 une demi-tangente verticale.

2) a) Pour tout x>0, ^{g x}^{( )} ^g⁽⁰⁾ ^x^² ^x x x

x x

  

Puisque

0

lim 0

x _x x

  , on en déduit que

0 0

( ) (0)

lim lim 0

x x

g x g

x x

 x 

 

  

La fonction g est donc dérivable en 0 et g'(0)=0

b) Dans un repère orthogonal, la courbe représentant g admet en son point d’abscisse 0 une demi-tangente horizontale.

Exercice 5:

f (1) est l’ordonnée du point de la courbe ayant pour abscisse 1. On lit f (1) = 3 . De la même manière, on lit f (4) = -1 , f (-1) = 0 , f (-2) = 2 et f (0) = 1

(4)

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f ’(1) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe C d’abscisse 1.

On lit f ’(1)=0 (cette tangente est horizontale donc de coefficient directeur nul) f ’(4) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe C d’abscisse 4.

On lit f ’(4)=0 (cette tangente est horizontale donc de coefficient directeur nul) f ’(-1) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe C d’abscisse -1.

On lit f ’(-1)=0 (cette tangente est horizontale donc de coefficient directeur nul) f ’(-2) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe C d’abscisse -2.

On lit f ’(-2)=-1 (cette tangente passe par les points (-2 ;2) et (-1,5 ;1,5) donc a pour coefficient directeur ^{1, 5 2} ^{0, 5} 1

1, 5 ( 2) 0, 5

   

   )

f ’(0) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe C d’abscisse 0.

On lit f ’(0)=0 (cette tangente passe par les points (0 ;1) et (0,5 ;1,5) donc a pour coefficient directeur ^{1, 5 1} ^{0, 5} 1

0, 5 0 0, 5

  

 )

Une coefficient directeur à la courbe C au point d’abscisse –2 est y = f ' (-2) (x-(-2)) + f(2), c’est-à-dire y = -(x+2)+2 = -x Une équation de la tangente à la courbe C au point d’abscisse 0 est y = f ' (0) (x-0) + f(0) = x + 1

Exercice 6:

Une équation de la tangente à la courbe C au point d’abscisse –1 est y = f ' (-1) (x-(-1)) + f(1)=¹

4 (x+1) + 2, c’est-à-dire ¹ ⁹

4 4

y  x 

Exercice 7:

1) f(x)=x³-3x²+2x-5

f est définie et dérivable sur IR en tant que fonction polynôme

(5)

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Pour tout xIR , f'(x)=3x²-6x+2

2) 1 ⁴ ³ 5

( ) 2 3

f x  x x  x

f est définie et dérivable sur IR en tant que fonction polynôme Pour tout xIR, '( ) ¹.4 ³ 3 ² ⁵.1 2 ³ 3 ² ⁵

2 3 3

f x  x  x   x  x 

3) f x( ) 2 ³

 x

f est définie et dérivable sur



^^,0

 

^ ^0,^



car la fonction u x( ) ¹

x est définie et dérivable sur



^^,0

 

^ ^0,^



Pour tout x



^^,0

 

^ ^0,^



^, ^{' )} ^{0 3.} ¹ ³

² ²

f x x x

 

    

4) ( ) ^{² 3} ¹

5

x x

f x  



f est définie et dérivable sur IR en tant que fonction polynôme, et puisque pour tout xIR, ( ) ¹( ² 3 1)

f x 5 x  x  , on a alors '( ) ¹(2 3) f x 5 x  5) ^{f x}^{( )}



^{4 ² 7}^x



² ⁵

x

 

    



^^,0

 

^ ^0,^



car la fonction k x( ) ¹

 x est définie et dérivable sur



^^,0

 

^ ^0,^



^.

f(x) est de la forme u(x)xv(x) avec u(x)=4x²-7 donc u'(x)=8x et 5 ( ) 2

v x  x donc '( ) 5

v x ²

 x .

Ainsi, pour tout x



^^,0

 

^ ^0,^



, f ' (x) = u'(x)xv(x)+u(x)xv'(x) donc pour tout x



^^,0

 

^ ^0,^



^,

(6)

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5 5 35 35

'( ) 8 (2 ) (4 ² 7)( ) 16 40 20 16 20

² ² ²

f x x x x x

x x x x

           

6) f(x)=x x

f est définie sur



^0,^



Pour la dérivabilité et le calcul de la fonction dérivée, il faut distinguer deux cas : Sur



^0,^



, f(x) est de la forme u(x)xv(x) où u et v sont dérivables sur



^0,



^avec

u(x)=x donc u'(x)=1 et v(x)= x donc '( ) ¹ 2 v x

 x .



^0,^



^{, f ' (x)}⁼^u'(x)^x^v(x)+u(x)^xv'(x) donc

1 3

'( ) 1. .

2 2

2

f x x x x x x

  x   

En 0, puisque u est dérivable mais pas v, il faut revenir à la définition :

0 0 0

( ) (0)

lim lim lim 0

0

x x x

f x f x x

x x x

  

  

   

 , on en conclut que f est dérivable en 0 et

f '(0)=0



^0,^



^, ^{'( )} ³

f x  2 x

7) ( ) ¹

8 5

f x  x

 

f est définie et dérivable sur ,⁵ ⁵,

8 8

   

   

    en tant que fraction rationnelle dont le dénominateur ne s’annule pas sur ,⁵ ⁵,

8 8

   

   

   . Puisque f est de la forme ( ) ¹

f x ( )

u x , avec u(x)=-8x+5 (donc u'(x)=-8), on a : Pour tout x ,⁵ ⁵,

8 8

   

   

   , '( ) ^{'( )} ⁸ ⁸

( ) ( 8 5)² ( 8 5)² f x u x

u x x x

     

   

(7)

2010-2011

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8) ( ) ⁷

f x 6

 x





^^,6

 

^ ^6,^



en tant que fraction rationnelle dont le dénominateur ne s’annule pas sur



^^,6

 

^ ^6,^



^.

Puisque ( ) 7. ¹ f x 6

 x

 f est de la forme7. ¹ ( )

u x , avec u(x)=6-x (donc u'(x)=-1), on a :

Pour tout x



^^,6

 

^ ^6,^



^, ^{'( )} ⁷ ^{'( )} ^7. ¹ ⁷

( ) (6 )² (6 )²

f x u x

u x x x

    

      

9)f x( ) ¹₆

x



^^,0

 

^ ^0,^





^^,0

 

^ ^0,^



^.

Puisque f est de la forme ( ) ¹ f x ( )

u x , avec u(x)=x⁶ (donc u'(x)=6x⁵), on a :

Pour tout x



^^,0

 

^ ^0,^



^, 6 2⁵ 12⁵ 7

'( ) 6 6 6

'( ) ( ) ( )

u x x x

f x

u x x x x

        .

10) ( ) ³ ¹

4 2

f x x x

 



f est définie et dérivable sur , ¹ ¹,

2 2

     

   

    en tant que fraction rationnelle dont le dénominateur ne s’annule pas sur , ¹ ¹,

2 2

     

   

   .

Puisque f est de la forme ( ) ^{( )} ( ) f x u x

v x , avec u(x)=3x-1 (donc u'(x)=3), et v(x)=4x+2 (donc v'(x)=4), on a :

pour tout x , ¹ ¹,

2 2

     

   

   , : '( ) ^{'( ) ( )} ^{( ) '( )}

²( )

u x v x u x v x f x

v x

 

(8)

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donc '( ) ³⁽⁴ ^{2) (3} ^1).4 ¹² ^{6 (12} ⁴ ¹⁰

(4 2)² (4 2)² (4 2)²

x x x x

f x

x x x

     

  

   .

11) ( ) ^{² 7} ¹⁰

2(1 )

x x

f x x

 

 

f est dérivable sur



^{  }^,1

 

^1,





^{  }^,1

 

^1,



^,

et puisque f est de la forme ( ) ^{( )} ( ) f x u x

v x , où u(x)=x² -7x+10(donc u'(x)=2x -7) et v(x)=2(1-x) (donc v'(x)=-2),

on en déduit que pour tout x



^{  }^,1

 

^1,



^,

'( ) ( ) ( ) '( ) (2 7)2(1 ) ( ² 7 10)( 2)

'( ) ²( ) (2(1 ))²

4 4 ² 14 14 2 ² 14 20 2 ² 4 6

4(1 )² 4(1 )²

u x v x u x v x x x x x

f x

v x x

x x x x x x x

x x

      

 



        

 

 

12) f(x)=(3x+2)²

f est définie et dérivable surIR en tant que fonction polynôme, et puisque pour tout xIR, f(x) est de la forme f(x)=(u(x))², où u(x)=3x+2 (donc u'(x)=3) on a alors :

'( ) 2( '( ))( ( ))2 1 2 '( ) ( ) 2.3.(3 2) 18 12 f x  u x u x ^  u x u x  x   x  13) f(x)=(-5x+2)⁷

f est définie et dérivable surIR en tant que fonction polynôme, et puisque pour tout xIR, f(x) est de la forme ^{f x}^{( )}^



^{u x}^{( )}



⁷, où u(x)=-5x+2 donc u'(x)=-5 on a alors :

 

^{7 1}

 

⁶

 

⁶

 

⁶

'( ) 7 '( ) ( ) 7 '( ) ( ) 7( 5) 5 2 35 5 2

f x  u x u x ^  u x u x    x     x 

14)f x( ) 3x 1

f est définie et dérivable sur ¹, 3

 

 

 

(9)

2010-2011

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Comme f(x) est de la formef x( ) u x( ), où u(x)=3x-1 donc u'(x)=3 on a alors '( ) '( )

2 ( ) f x u x

 u x , c’est-à-dire : pour toutx ¹, 3

 

 

 

'( ) 3

2 3 1

f x

x

 

15) f x( )8 3x



^^,3



Comme f(x) est de la formef x( )8 u x( ), où u(x)=3-x donc u'(x)=-1 on a alors

'( ) 1 4

'( ) 8 8

( ) 2 3 3

f x u x

u x x x

 

  

  .

16) ( )

2 1

f x x

 x



f est définie et dérivable sur ¹, 2

 

 

  Comme f(x) est de la forme ( ) ^{( )}

( ) f x u x

v x , où u(x)=x donc u'(x)=1 et v x( ) 2x 1,

donc '( ) ² ¹

2 2 1 2 1

v x

x x

 

  on en déduit que pour tout x ¹, 2

 

 

 , '( ) ( ) ( ) '( )

'( ) ²( )

u x v x u x v x f x

v x

 

donc

2

1 ( 2 1)

2 1

2 1 1

2 1 2 1

'( ) ( 2 1) (2 1) 2 1(2 1) (2 1) 2 1

x x

x x x

x x

f x

x x x x x x

 

      

   

     

17) f(x) = xcosx-2sinx

f est définie et dérivable surIR en tant que somme et produits de fonctions qui le sont.

Pour tout xIR

f'(x)=1.cosx+x(-sinx)-2cosx=cosx-xsinx-2cosx=-cosx-xsinx 18) ( ) ^sinx

f x  x

(10)

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

^^,0

 

^ ^0,^



en tant que quotient de fonctions qui le sont, et dont le dénominateur ne s’annule pas sur



^^,0

 

^ ^0,^



^.

Pour tout x



^^,0

 

^ ^0,^



^{'( )} ^{(cos ).} ^{(sin ).1} ^cos ^sin

² ²

x x x x x x

f x

x x

 

 

Exercice 8:

Fonction f Dérivée f' Intervalle(s)

f(x) = x⁵ - 4x³ + 2x² + 1 f'(x) = 5x⁴ - 12x² + 4x IR

f(x) = 2x + 1 + 1

x f'(x) = 2 - 1

x²

]-;0[ ou ]0;[

f(x) = 2x² - 4

3x + 4 f'(x) = 6x² + 16x + 12

(3x + 4)² 



- ; - 4

3 ou 



- 43 ; 

f(x) = (3 - 2x²) x f'(x) = - 10x² + 3 2 x

]0;[

f(x) = 5x - 3

x f'(x) = 5x + 3

2x x

]0;[

f(x) = sin(1 - 3x) f'(x) = -3 cos(1 - 3x) IR

f(x) = cos





x + 1

x f'(x) = -





1 - 1 x² sin





x + 1

x ]-;0[ ou ]0;[

(11)

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f(x) = 3x² + 2x + 5 f'(x) = 3x + 1 3x² + 2x + 5

IR

f(x) = (8x² - 5x + 4)³ f'(x) = 3(16x - 5)(8x² - 5x + 4)² IR

f(x) = 1

3x - 5 f'(x) = - 3

2(3x - 5) 3x - 5 



53 ; 

f(x) = 1

9x² - 1 f'(x) = - 18x

(9x² - 1)²

]

^{- ; -}¹³

[

^ou

]

^{- 1}³^{; 1}³

[

ou

]

¹³^{; }

[

f(x) = 1 - cos x

3 + sin x f'(x) = 1 + 3 sin x - cos x (3 + sin x)²

IR

f(x) = sin⁵ x f'(x) = 5 cos x sin⁴ x IR

f(x) = 2x

3 - x f'(x) = 3 3 - x

(3 - x)² 2x ] 0 ; 3 [

f(x) = 1

(x² - 1)⁵ f'(x) = - 10x (x² - 1)⁶

] - ; -1 [ ou ] -1 ; 1 [ ou ] 1 ;  [

f(x) = 3 + 2sin² x f'(x) = 2 sin x cos x 3 + 2sin² x

IR

Exercice 9:

Fonction f Dérivée f' Intervalle(s)

f(x) = x⁶ + 3x⁴ - 5x² + 3 f'(x) = 6x⁵ + 12x³ - 10x IR

f(x) = 3x - 5 + 1

x f'(x) = 3 - 1

x²

]-;0[ ou ]0;[

f(x) = 3x² - 5

2x + 3 f'(x) = 6x² + 18x + 10

(2x + 3)² 



- ; - 3

2 ou





- 32 ; 

f(x) = (2 - 3x²) x f'(x) = -15x² + 2 2 x

]0;[

f(x) = 3x - 7

x f'(x) = 3x + 7

2x x

]0;[

f(x) = sin(1 - 2x) f'(x) = -2 cos(1 - 2x) IR

f(x) = sin





x + 1

x f'(x) =





1 - 1 x² cos





x + 1

x ]-;0[ ou ]0;[

(12)

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f(x) = 2x² + 3x + 4 f'(x) = 4x + 3 2 2x² + 3x + 4

IR

f(x) = (6x² + 3x + 7)³ f'(x) = 3(12x + 3)(6x² + 3x + 7)² IR

f(x) = 1

5x - 3 f'(x) = - 5

2(5x - 3) 5x - 3 



3

5 ; 

f(x) = 1

2x² - 1 f'(x) = - 4x

(2x² - 1)²

]

^{- ; -} ²²

[

^ou

]

^{- 2}²^{; 2}²

[

ou

]

²²^{; }

[

f(x) = 1 - sin x

3 + cos x f'(x) = - 3cos x + sin x - 1 (3 + cos x)²

IR

f(x) = cos⁵ x f'(x) = -5 sin x cos⁴ x IR

f(x) = 3x

2 - x f'(x) = 3 2 - x

(2 - x)² 3x

] 0 ; 2 [

f(x) = 1

(x² - 1)⁶ f'(x) = -12x (x² - 1)⁷

] - ; -1 [ ou ] -1 ; 1 [ ou ] 1 ;  [

f(x) = 2 + 3sin² x f'(x) = 3 sin x cos x 2 + 3 sin² x

IR

Exercice 10:

La représentation graphique de f nous renseigne sur son sens de variations : elle semble strictement croissante sur ]0;1] et strictement décroissante sur [1; [.

Sa fonction dérivée doit donc être strictement positive sur ]0;1], puis strictement négative sur [1; [. Seule la figure répond à ce critère

Exercice 11:

1) La division par 1-x implique 1-x  0 donc D=IR\{1}=] ;1[U]1; [

2) f est dérivable sur



^{  }^,1

 

^1,





^{  }^,1

 

^1,



^,

et puisque f est de la forme ( ) ^{( )} ( ) f x u x

v x , où u(x)=x² -7x+10(donc u'(x)=2x -7) et v(x)=2(1-x) (donc v'(x)=-2),

(13)

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on en déduit que pour tout x



^{  }^,1

 

^1,



^,

2

'( ) ( ) ( ) '( ) (2 7)2(1 ) ( ² 7 10)( 2)

'( ) ²( ) (2(1 ))²

4 4 ² 14 14 2 ² 14 20 2 ² 4 6 ² 2 3

4(1 )² 4(1 )² 2(1 )

u x v x u x v x x x x x

f x

v x x

x x x x x x x x x

x x x

      

 



           

  

  

3) Puisque pour tout x] ;1[U]1;[, 2(1-x)²>0, f ' (x) sera du même signe que P(x)=-x² +2x+3.

Le calcul du discriminant de P donne  =(2)²-4x(-1)x3=16>0 donc P admet deux

racines réelles distinctes ' ² ¹⁶ 3 '' ² ¹⁶ 1

2 2

x     et x     

  ,

d’où le tableau de signes de P(x) donc de f ' (x) :

f atteint donc deux extremums locaux en x = -1 et x = 3, qui valent respectivement f(-1) = 4,5 et f(3) = 0,5

Aux points d’abscisses –1 et 3, C admet une tangente horizontale.

La limite en  d’une fraction rationnelle étant celle du quotient simplifié de ses numérateur et dénominateur, on a lim ( ) lim ^² lim

2 2

x x x

x x

f x x

      

 et de

même lim ( ) lim ^² lim

2 2

x x x

x x

f x x

      

 De plus,

1

lim ² 7 10 4

x x x

    .

Comme

1

lim 2(1 ) 0

x

 x



  

on en déduit, parquotient, que

1

lim ( )

x

f x

  . De même, puisque

1

lim 2(1 ) 0

x

 x



   , on en déduit que

1

lim ( )

x

f x

  .

x - 1 +

1-x + 0⁺

- 0^-

(14)

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Résumons cela dans le tableau de variations :

Exercice 12

1.

x – 1

2 0 1

f(x) 11

4 3 2

f’(x) 1 0 –2

2. a) Pour résoudre f(x) = 11

4 , on trace la parallèle à l’axe des abscisses qui coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées (0 ; 11

4), c’est la droite (AD) . Les

solutions de l’équation sont les abscisses des points d’intersection de cette droite et de la courbe C donc S = { – 1

2 ; 1 2}.

b) Les solutions de l’inéquation f(x)  11

4 sont les abscisses de tous les points de la courbe C situés sous la droite (AD) et sur (AD) donc S = [ – 1 ; – 1

2]  [1 2 ; 4].

3. La fonction f est strictement positive sur [ – 1 ; 4] puisque sa représentation graphique est située au-dessus de l’axe des abscisses.

Si la dérivée d’une fonction est strictement positive sur un intervalle alors cette fonction est strictement croissante sur cet intervalle donc la fonction F définie sur l'intervalle [ – 1 ; 4] et admettant f comme fonction dérivée est strictement croissante sur [ – 1 ; 4].

4.a g est la fonction inverse de f donc g est la fonction définie par g(x) =

) ( 1

x

f ^{; f ne}

s’annulant jamais sur [ – 1 ; 4]

g est définie sur cet intervalle.

b. g(0) = 1 f(0) = 1

3 ; g(1) = 1 f(1) = 1

2 ; g( 1 2 ) = 1

f(1 2)

=4 11. x -  -1 1 3 

f(x)

 

4,5

0,5

 

(15)

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c. D’après sa représentation graphique, f est une fonction croissante sur [ -1 ; 0] puis décroissante sur [0 ; 4].

Le sens des variations de 1

f est le sens inverse de celui de f donc g est décroissante sur [ -1 ; 0] puis croissante sur [0 ; 4].

d La dérivée de la fonction 1 f est 

 1

f

’ = – f’

f² donc g’(0) = – f’(0) f ²(0) = 0 et g’(1). = – f’(1)

f ²(1) = 1 2

Exercice 13:

f est définie par f(x) = x² + 2x + 2.

1. f est définie lorsque x² + 2x + 2  0.

On recherche alors les racines du trinôme x² + 2x + 2.

 = 2² – 4  1  2 = 4 – 8 = -4.

 < 0, le trinôme n’a alors pas de racine et pour tout x, x² + 2x + 2 > 0.

Donc f est définie sur .

2. On pose f(x) = u(x) = v o u(x) où u(x) = x² + 2x + 2 et v(x) = x.

3. Comme x² + 2x + 2 > 0 pour tout x, f est dérivable sur .

f ’(x) = u’(x) 2 u(x) f ’(x) = 2x + 2

2 x² + 2x + 2 = x + 1 x² + 2x + 2. 4. Pour tout x, x² + 2x + 2 > 0

f ’(x) est alors du signe de x + 1 : c’est à dire : f ’(x) > 0 pour x > -1 ;

f ’(x) < 0 pour x < -1 ; f ’(x) = 0 pour x = -1.

Donc f est strictement décroissante sur ]- ; -1[ et f est strictement croissante sur ]- 1 ; +[.

5. lim

x  - x² + 2x + 2 = lim

x  - x² = + et lim

x  + x = +

Donc lim

x  - f(x) = +.

lim

x  + x² + 2x + 2 = lim

x  + x² = + et lim

x  + x = +

Donc lim

x  + f(x) = +.

Exercice 14 :

1. f est définie sur or f est une fonction polynôme donc f est dérivable sur .

Pour tout réel x, f’(x) = 12 x³ – 12 x² – 12 x + 12

2. Pour tout réel x, 12 (x – 1)² (x + 1) = 12 (x² – 2 x + 1) (x + 1)

12 (x – 1)² (x + 1) = 12 (x³ + x² – 2 x² – 2 x + x + 1) où u(x) = x² + 2x + 2

u’(x) = 2x + 2

(16)

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12 (x – 1)² (x + 1) = 12 (x³ – x² – x + 1) 12 (x – 1)² (x + 1) = 12 x³ – 12 x² – 12 x + 12 12 (x – 1)² (x + 1) = f’(x)

Donc pour tout réel x, f’(x) = 12 (x – 1)² (x + 1) 3. Pour tout réel x, f’(x) = 12 (x – 1)² (x + 1)

f’(x) = 0  12 (x – 1)² (x + 1) = 0

 (x – 1)² = 0 ou x + 1 = 0

 x = 1 ou x = – 1 de plus, pour tout réel x, 12 (x – 1)² > 0 donc f’(x) est du signe de x + 1

or x + 1 < 0 sur ]–  ; – 1[, donc f’(x) < 0 sur ]–  ; – 1[

et x + 1 > 0 sur ]– 1 ; + [, donc f’(x) > 0 sur ]– 1 ; + [

4. f est définie, continue et strictement décroissante sur ]–  ; – 1]

on a lim_{x –} f(x) = +  et f(– 1) = – 16or 0  [– 16 ; + [

d’après le corollaire des valeurs intermédiaires,

l’équation f(x) = 0 admet une unique solution, notée , dans ]–  ; – 1].

f est définie, continue et strictement croissante sur [– 1 ; + [

on a f(– 1) = – 16 et lim

x + f(x) = +  or 0  [– 16 ; + [

d’après le corollaire des valeurs intermédiaires,

l’équation f(x) = 0 admet une unique solution, notée , dans [– 1 ; + [.

Donc l’équation f(x) = 0 admet deux solutions dans .

Exercice 15:

1/ D_f=[0,+ [

Dérivabilité de f à droite en 0:

0 0 0

( ) (0) 1

lim lim 1 lim

x x x

f x f x x

x x x

  

  

 

    

 f n'est pas dérivable à droite en 0.

Dérivabilité de f sur ]0,+ [:

x  x dérivable sur ]0,+ [ et x x dérivable sur ]0,+ [

 f est dérivable sur ]0,+ [.

En conclusion D_{f '}=]0,+ [ et f'(x)=1 ¹ 2 x



valeurs de x –  – 1 1 + 

signe de f

’(x) – 0 + 0 +

variations de f

+  + 

0 – 16

(17)

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2/ f est dérivable sur ]0,+ [ donc en 1 et f'(1)=1-1 ¹ ¹ 2 2

  . 3/ a) u est dérivable sur IR donc en

4

 et u'(x)= ¹ '( ) 2

cos ² u 4 x

  

b) u est dérivable en 4

 et f est dérivable en u(

4

 )=1

 g =fou est dérivable en 4

 et g'(

4

 )=u'(

4

 ) f'(u(

4

 ))=2f'(1)=1.

Exercice 16:

1/ D_f=[0,1].

x x-x² continue positive sur [0,1]  x x x² est continue sur [0,1]

Par suite f est continue sur [0,1].

2/ a)

0 0

0

( ) (0) ²

lim lim

(1 ) 1 lim

² 1 lim 1

²

x x

x

f x f x x x

x x

x x x x x x

 

 

 

   

  



    



 f n'est pas dérivable à droite en 0 et  _f admet au point d'abscisse 0 une demie tangente verticale dirigée vers le bas.

1 1

1

( ) (1) ² 1

lim lim

1 1

1 lim

²

x x

x

f x f x x x

x x

x

x x

 

 

 

    

 

   



 f n'est pas dérivable à gauche en 1 et  f admet au point d'abscisse 1 une demie tangente verticale dirigée vers le haut.

b) dérivabilité de f sur ]0,1[:

x x-x² dérivable et strictement positive sur ]0,1[  x x x² est dérivable sur ]0,1[  f est dérivable sur ]0,1[

en conclusion Df '=]0,1[.

c) Pour tout x ]0,1[; f'(x)=1 ^{1 2}

2 ²

x x x

 

 . 3/ pour tout x[0,

2

 ]; g(x)=fou(x) avec u(x)=cosx.

 u est dérivable sur IR donc en 2

 et mais f n'est pas dérivable en

u( 2

 )=1 g n'est pas dérivable en 2

 .

 u est dérivable en 3

 et f dérivable en u(

3

 )=¹

2  g est dérivable en 3



(18)

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Et g'(

3

 )=u'(

3

 ) f '(u(

3

 ))= -sin 3

 f '(¹

2)= ³ 2

 Exercice 17 :

1) x[0,] ; f’(x)=

3

2sinx  0.

2) x[0,], on pose g(x)=f(x)-x ; g’(x)=f’(x) –1 < 0.

g est continue et strictement décroissante sur [0,] g(0)=1 et g()=-

3

1 - alors g(0) g() <0

d’après le théorème des valeurs intermédiaires il existe  unique dans ]0,[ tel que g()=0, soit f()=.

On a : g(0)=1 >0 et g(

2

 )=

3 1 -

2

 <0 donc ]0, 2

 [.

3)a) soit P « 0U_n

2

 ; nIN»

on a 0 U₀

2

 car 0<U₀<

2

 d’ou P est vraie pour n=0.

Supposons que P est vraie jusqu’à l’ordre n et prouvons qu’elle vraie a l’ordre n+1.

On a 0 U_n

2

 et f est décroissante

donc f(

2

 ) f(U_n) f(0) d’ou 3

1  U_n+1 1 et par suite 0 U_n+1 2

 . d’ou P est vraie pour tout nIN.

b) x[0,] ; f’(x)=

3

2

sinx  |f’(x)| 3 2 .

c) f continue sur [0,] , dérivable sur ]0,[ et |f’(x)|

3

2 d’après le théorème des accroissements finies :

|f(x)-f()|  3

2|x-| ; x et  dans [0,].

D’ou |f(x)-| 

3

2 |x-| , x[0,].

d/ soit P « |U_n-| ) 3 (2

n

|U₀-1| ; nIN » on a |U₀-| (

3

2 )⁰|U₀-1| d’ou P est vraie pour le premier indice.

Supposons que P est vraie à l’ordre n et montrons que P est vraie à l’ordre n+1.

On a U_n[0, 2

 ] ; d’après 3/c/ |f(U_n)-f()| 3

2|U_n-|  |U_n+1-|

3 2 |U_n-

|

x 0  f’ - 1 f

3 1

(19)

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Or |U_n-| )

3 (2

n

|U₀-1|

Donc |U_n+1-|

3

2 )

3 (2

n

|U₀-1|

D’ou |Un+1-| ) 3 (2

n1

|U₀-1|.

En fin P est vraie pur tout nIN.

On a ) 0

3 (2 lim

n

 

 donc lim Un 0

n



 

  ; soit 



 U lim n n