Correction Correction DS n◦4A - Seconde - Décembre 2015
Devoir Surveillé n ◦ 4A Correction
Seconde
Fonctions de référence
Durée 1 heure - Coeff. 5 Noté sur 20 points
Exercice 1. Fonctions affines 7 points
1 2 3 4
−1
−2
−3
1 2 3 4
−1
−2
−3
−4
1 2 3 4
−1
−2
−3
1 2 3 4
−1
−2
−3
−4
C
gC
f1. [2 points] Soitfune fonction affine telle quef(2) =−2 et f(−1) = 4. Déterminer l’expression def. f(x) =−2x+ 2
2. [1.5 point] Déterminer alors le tableau de variation defet la tableau de signe def(x).
• Variations def.
Puisque le coefficient directeur est négatif,a=−2<0, la fonctionfest décroissante surR.
x
Variations deh
−∞ 1 +∞
0
• Signe def(x) =−2x+ 2.
On a :
f(x) = 0⇐⇒ −2x+ 2 = 0⇐⇒x= 1 Et puisque la fonctionfest croissante surRon a :
x
signe def(x) = −2x+ 2
−∞ −b
a = 1 +∞
+ 0 -
3. [1 point] Construire la courbe représentative defdans le repère ci-contre.
4. [1.5 point] Déterminer l’expression deg.
On lit l’ordonnée à l’origineb= 1et on calcule facilementa=1
3 soit : g(x) =1 3x+ 1 .
5. [1 point] Déterminer graphiquement, puis par le calcul, les coordonnées du point d’intersection des deux droites.
Les abscisses du points d’intersection des deux droites, si il existe, sont les éventuelles solutions de l’équationf(x) =g(x).
f(x) =g(x)⇐⇒ −2x+ 2 = 1
3x+ 1⇐⇒x= 3 7 On en déduit ainsi l’ordonnée :
f
3
7
= 8 7 =g
3
7
Les coordonnées du point d’intersection sont :
3
7 ; 8 7
.
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Exercice 2. A partir de la fonction carré 7 points
Soit une fonctionhdéfinie surRpar :
h(x) =−3 (x+ 5)2−1 1. [3 points] Étudier les variations dehsur l’intervalle]−∞; −5].
Soit deux réelsaetbde l’intervalle]−∞; −5], alors si :
a < b ≤ −5
a+ 5 < b+ 5 ≤ 0
(a+ 5)2 > (b+ 5)2 ≥ 0 : On a composé par la fonction carrée décroissante sur]−∞; 0]
l’ordre change
−3(a+ 5)2 < −3(b+ 5)2 ≤ 0 : On a multiplié par−3<0, l’ordre change
−3(a+ 5)2−1 < −3(b+ 5)2−1 ≤ −1 :
h(a) < h(b) ≤ −1
On vient de prouver que pouraetbde l’intervalle]−∞; −5]:
a < b≤ −5 =⇒h(a)< h(b)
La fonctionhest donc croissante sur l’intervalle]−∞; −5].
2. [3 points] Étudier les variations dehsur l’intervalle[−5 ; +∞[.
Soit deux réelsaetbde l’intervalle[−5 ; +∞[, alors si :
−5 ≤ a < b
0 ≤ a+ 5 < b+ 5
0 ≤ (a+ 5)2 < (b+ 5)2 : On a composé par la fonction carrée croissante sur[−5 ; +∞[
l’ordre ne change pas
0 ≥ −3(a+ 5)2 > −3(b+ 5)2 : On a multiplié par−3<0, l’ordre change
−1 ≥ −3(a+ 5)2−1 > −3(b+ 5)2−1 :
−1 ≥ h(a) > h(b)
On vient de prouver que pouraetbde l’intervalle[−5 ; +∞[:
−5≤a < b=⇒h(a)> h(b)
La fonctionhest donc décroissante sur l’intervalle[−5 ; +∞[.
3. [1 point] Dresser alors le tableau de variations de la fonctionh
x
Variations deh
−∞ −5 +∞
h(−5) =−1 h(−5) =−1
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Exercice 3. A partir de la fonction inverse 6 points
Soit une fonctionjdéfinie surR\ {−5}par :
j(x) = 1− 2 x+ 5 1. [3 points]Étudier les variations dejsur l’intervalle]−∞; −5[.
Soientaetbdeux réels de l’intervalle]−∞; −5[:
a < b <−5 a+ 5< b+ 5<0
On compose alors par la fonction inverse qui est décroissante sur l’intervalleR∗−, l’ordre change
1
a+ 5 > 1 b+ 5 2
a+ 5 > 2 b+ 5 On multiplie par−1donc l’ordre change et on ajoute 1
1− 2
a+ 5 <1− 2 b+ 5 j(a)< j(b) On vient de prouver que pouraetbde l’intervalle]−∞; −5[:
a < b <−5 =⇒j(a)< j(b)
La fonctionjest donc croissante sur l’intervalle]−∞; −5[.
2. [1 point] On admet que les variations dejsont identiques sur l’intervalle]−5 ; +∞].
Dresser alors le tableau de variations de la fonctionj.
x
Variations de
j
−∞ −5 −4 +∞
j(−4)
0
j(0)
3. [2 points] Si−4< x <0, encadrerj(x).
La fonctionjétant croissante sur l’intervalle]−5 ; +∞], elle l’est a fortiori sur l’intervalle[−4 ; 0]donc :
−4< x <0 =⇒j(−4) =−1< j(x)< j(0) =3 5
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