Corrigé du DS du 09/11/18
Partie 1 :
1) 2018 = 183 × 11 + 5 donc 2018 ≡ 5[11]
Le reste dans la division euclidienne de 2018 par 11 est 5.
2) 2 = 1024 = 93 × 11 + 1 ≡ 1[11]
Le reste dans la division euclidienne de 2 par 11 est 1.
3) 2 = 2 × 2 = 2× 2 ≡ 1 × 256[11] ≡ 256[11]
Or 256 = 11 × 23 + 3 ≡ 3[11]
Ainsi 2+ 2018 ≡ 3 + 5[11] ≡ 8[11]
Le reste dans la division euclidienne de 2+ 2018 par 11 est 8.
Partie 2 :
1) a) 2 = 8 ≡ 1[7] donc 2 = 2 ≡ 1[7] ≡ 1[7] pour tout entier naturel . b) 2018 = 3 × 672 + 2 donc 2 = 2× = 2× × 2 ≡ 1 × 4[7] ≡ 4[7]
Le reste dans la division euclidienne de 2 par 7 est 4.
2) a) 10 ≡ 3[7] donc 10 ≡ 3[7] ≡ 27[7] ≡ −1[7]
b) divisible par 7 signifie que × 10+ ≡ 0[7] ⇔ − + ≡ 0[7] ⇔ ≡ [7]
prend toutes les valeurs entières de 1 à 9 et ∈ ⟦0; 9⟧ :
Si = 1, ≡ 1[7] donc = 1 ou = 8 : les deux nombres sont 1 001 et 1 008 Si = 2, ≡ 2[7] donc = 2 ou = 9 : les deux nombres sont 2 002 et 2 009 Si = 3, ≡ 3[7] donc = 3 : le nombre est 3 003.
Si = 4 ou 5 ou 6, on obtient de même 4 004, 5 005 et 6 006
Si = 7, ≡ 7[7] donc = 0 ou = 7 : les deux nombres sont 7 000 et 7 007 Si = 8, ≡ 8[7] donc = 1 ou = 8 : les deux nombres sont 8 001 et 8 008 Si = 9, ≡ 9[7] donc = 2 ou = 9 : les deux nombres sont 9 002 et 9 009 Les nombres cherchés sont 1 001, 1 008, 2 002, 2 009, 3 003, 4 004, 5 005, 6 006, 7 000, 7 007, 8 001, 8 008, 9 002, 9 009.
Partie 3 :
81) = *+ 17 ⇔ 81)− * = 17 ⇔ 9) − *9) + * = 17 Les seuls diviseurs positifs de 17 sont 1 et 17.
On obtient comme unique solution : + 9) − * = 19) + * = 17 ce qui donne +) = 1* = 8
Conclusion : Il existe un unique couple d’entiers naturels 1; 8 solution de (F).
