Corrigé du DS1 du 09/10/18
Exercice 1 : Les questions suivantes sont indépendantes
1) C’est un résultat de cours qu’il faut absolument maîtriser dans les moindres détails !!!!
Soit ࢇ un entier relatif et ࢈ un entier naturel non nul.
Il existe un unique couple de nombres entiers relatifs ( ; ࢘) tel que ࢇ = ࢈ + ࢘ et ≤ ࢘ < ࢈. 2) Dans la division euclidienne de deux entiers naturels, le dividende est 89 et le reste est 13 ce qui se traduit directement par : 89= ܾݍ + 13 avec ܾ > 13 où ܾ est un entier naturel non nul (diviseur) et ݍ un entier relatif (mais on peut affirmer ici que ݍ est positif car le dividende l’est aussi)
On obtient alors ܾݍ = 76 et toujours ܾ > 13
Les valeurs possibles de ܾ sont donc les diviseurs de 76 supérieurs à 13.
Or ܦା(76) = ሼ1; 2; 4; 19; 38; 76ሽ et donc ܾ = 19, 38 ou 76.
Conclusion :
ܾ = 19 et dans ce cas ݍ = 4 ou bien ܾ = 38 et dans ce cas ݍ = 2 ou bien ܾ = 76 et dans ce cas ݍ = 1 3) On cherche donc tous les entiers naturels ݊ tels que ݊ = 7ݍ + ݎ avec 0 ≤ ݎ < 7 et ݍ = 4ݎ.
݊ = 7ݍ + ݎ = 7(4ݎ) + ݎ = 28ݎ + ݎ = 29ݎ mais attention r ne peut prendre que des valeurs entières positives inférieures à 7 : ݎ ∈ ሼ0; 1; 2; 3; 4; 5; 6ሽ et donc ݊ ∈ ሼ0; 29; 58; 87; 116; 145; 174ሽ
4) ܽ et ܾ sont deux entiers naturels non nuls. Dans la division euclidienne de ܽ par ܾ, le reste ݎ est supérieur ou égal au quotient ݍ : ce qui se traduit par ܽ = ܾݍ + ݎ avec ݍ ≤ ݎ < ܾ
Idée : on modifie l’écriture : ܽ = (ܾ + 1)ݍ − ݍ + ݎ = (ܾ + 1)ݍ + (ݎ − ݍ) Or on sait que : ݍ ≤ ݎ < ܾ ce qui donne aussi : 0 ≤ ݎ − ݍ < ܾ − ݍ < ܾ
Si l’on divise ܽ par ܾ + 1, on obtient le même quotient et le reste est égal à ݎ − ݍ.
Exercice 2 :
1) ݔ et ݕ sont des entiers naturels donc 2ݔ + ݕ est aussi un entier naturel et 3ݔ − ݕ est un entier relatif.
Si (2ݔ + ݕ)(3ݔ − ݕ) = 4, alors 3ݔ − ݕ est forcément positif (en effet s’il était négatif, le produit serait négatif) donc 3ݔ − ݕ est lui aussi un entier naturel.
(2ݔ + ݕ)(3ݔ − ݕ) = 4 implique donc que 2ݔ + ݕ et 3ݔ − ݕ sont des diviseurs positifs de 4.
2) ܦା(4) = ሼ1; 2; 4ሽ donc les valeurs possibles sont :
൜2ݔ + ݕ = 13ݔ − ݕ = 4 ou ൜2ݔ + ݕ = 23ݔ − ݕ = 2 ou ൜2ݔ + ݕ = 43ݔ − ݕ = 1
Le premier système donne ݔ = 1 et ݕ = −1 ce qui est impossible car ݕ est un entier naturel Le deuxième système donne ݔ =ସହ et ݕ =ଶହ ce qui est impossible car ݔ et ݕ sont des entiers.
Le troisième système donne ݔ = 1 et ݕ = 2 ce qui est l’unique couple solution ! Conclusion : les seules valeurs possibles sont ݔ = 1 et ݕ = 2
Exercice 3 :
1) 220 = 1 × 220 = 2 × 110 = 4 × 55 = 5 × 44 = 10 × 22 = 11 × 20 donc les diviseurs stricts de 220 sont : 1; 2; 4; 5; 10; 11; 20; 22; 44; 55; 110
2) 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284
De plus les diviseurs stricts de 284 sont : 1; 2; 4; 71; 142 et 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220
Conclusion : 220 et 284 sont des nombres amiables.
3) Sachant qu’on admet que les nombres parfaits sont pairs, on teste 2, 4, 6 et 8.
Les diviseurs stricts de 6 sont 1 , 2 et 3 et 1 + 2 + 3 = 6 donc 6 est un nombre parfait inférieur à 10.
On teste également 22, 24, 26 et 28
Les diviseurs stricts de 28 sont 1 , 2, 4, 7 et 14 et 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 donc 28 est un nombre parfait compris entre 20 et 30.
Exercice 4 :
Pour tout entier naturel ݊ ≥ 1, notons ܲ la propriété : « 22+ 6݊ − 1 est divisible par 9 » Initialisation : 22ଵ + 6 × 1 − 1 = 27 est divisible par 9 : ܲଵ est vraie.
Hérédité : On suppose que pour un certain entier naturel ݊ ≥ 1, 22+ 6݊ − 1 est divisible par 9 et on montre que 22ାଵ+ 6(݊ + 1) − 1 est divisible par 9.
On sait donc que 22+ 6݊ − 1 = 9݇ avec ݇ ∈ ℤ et on doit montrer que 22ାଵ+ 6݊ + 5 = 9݇′ avec ݇′ ∈ ℤ. 22 + 6݊ − 1 = 9݇ ⇒ 22ାଵ+ 132݊ − 22 = 22 × 9݇ ⇒ 22ାଵ+ 6݊ + 126݊ + 5 − 27 = 22 × 9݇
donc 22ାଵ+ 6݊ + 5 = 9(22݇ − 14݊ + 3ᇣᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇥ
′∈ℤ ) ce qui correspond au résultat voulu.
Conclusion : Pour tout entier naturel ݊ ≥ 1, 22 + 6݊ − 1 est divisible par 9
Exercice 5 : (Bonus : seulement s’il reste du temps)
Un entier naturel ݏ est tel que l’équation ݔଶ− ݏݔ + 2018 = 0 admette deux solutions entières.
1. On sait (ou on le démontre) que la somme et le produit des racines d’un trinôme du second degré
ܽݔଶ + ܾݔ + ܿ sont respectivement égaux à − et .
Ici la somme des racines est égale à –ି௦ଵ = ݏ et leur produit à ଶଵ଼
ଵ = 2018
2. Les solutions de l’équation sont entières et leur produit est 2018 (racines de même signe), leur somme est positive (racines positives) : les solutions sont donc des couples de diviseurs positifs de 2018.
Or ࣞା(2018) = ሼ1; 2; 1009; 2018ሽ
On peut regrouper les résultats dans un tableau :
ݔଵ ݔଶ ݏ
1 2018 2019
2 1009 1011
Les valeurs possibles de ݏ sont alors 1011 et 2019.
