Corrigé du DS du 09/03 Partie A
1. L’algorithme affiche le nombre 3 (3<26 donc la boucle n’est pas amorcée).
2. L’algorithme affiche encore le nombre 3.
(55 ≥ 26 donc ܺ = 55 − 26 = 29 puis 29 ≥ 26 donc ܺ = 29 − 26 = 3 puis la boucle est arrêtée)
3. Pour un nombre entier A saisi quelconque, le résultat fourni par cet algorithme correspond au reste de A dans la division euclidienne par 26.
Partie B
On considère l’équation (E) : 15ݔ − 26݇ = ݉ où ݔ et ݇ désignent des nombres entiers relatifs et ݉ est un paramètre entier non nul.
1. 15 et 26 sont premiers entre eux donc, d’après le théorème de Bézout, il existe deux entiers relatifs ݑ′
et ݒ′ tels que 15ݑᇱ+ 26ݒᇱ= 1 ⇔ 15ݑᇱ− 26ሺ−ݒᇱሻ = 1
Pour ݑ = ݑ’ et ݒ = −ݒ’, il existe bien un couple d’entiers relatifs ሺݑ; ݒሻ tel que 15ݑ − 26ݒ = 1. Par tâtonnement ou en utilisant l’algorithme d’Euclide, on obtient ݑ = 7 et ݒ = 4.
2. 15 × 7 − 26 × 4 = 1 ⇔ 15 × 7݉ − 26 × 4݉ = ݉
On en déduit une solution particulière ሺݔ; ݇ሻ = ሺ7݉; 4݉ሻ de l’équation (E) . 3. ሺݔ; ݇ሻ est solution de l’équation (E) ⇔15ݔ − 26݇ = ݉ = 15 × ݔ− 26 × ݇
⇔15ݔ − 15 × ݔ− 26݇ + 26 × ݇ = 0⇔15ሺݔ − ݔሻ − 26ሺ݇ − ݇ሻ = 0 4. 15ሺݔ − ݔሻ − 26ሺ݇ − ݇ሻ = 0 ⇔ 15ሺݔ − ݔሻ = 26ሺ݇ − ݇ሻ (*)
15 divise 26ሺ݇ − ݇ሻ et 15 et 26 sont premiers entre eux donc, d’après le théorème de Gauss, 15 divise
݇ − ݇ : ainsi ݇ − ݇ = 15ݍ où ݍ ∈ ℤ et donc ݇ = ݇+ 15ݍ
On remplace dans l’égalité (*) : 15ሺݔ − ݔሻ = 26 × 15ݍ ⇔ ݔ − ݔ = 26ݍ ⇔ ݔ = ݔ+ 26ݍ
Les solutions de l’équation (E) sont les couples ሺݔ; ݇ሻ d’entiers relatifs tels que : ൜ݔ = 26ݍ + 7݉݇ = 15ݍ + 4݉ où ݍ ∈ ℤ. Partie C
1.
Lettre à coder Entier associé Reste de 15ݔ + 7
modulo 26 Lettre codée
S 18 17 R
P 15 24 Y
E 4 15 P
Le mot SPE est codé par le mot RYP.
2. Soit ݔ le nombre associé à une lettre de l’alphabet à l’aide du tableau initial et ݕ le reste de la division euclidienne de 15ݔ + 7 par 26.
a. 15ݔ + 7 ≡ ݕሾ26ሿ donc 15ݔ + 7 = ݕ + 26݇où ݇ ∈ ℤ, ainsi 15ݔ − 26݇ = ݕ − 7 où ݇ ∈ ℤ. b. D’après la partie A, le couple ሺݔ ; ݇ሻ est solution de l’équation (E) avec ݉ = ݕ − 7. On peut donc déduire que ൜ݔ = 26ݍ + 7ሺݕ − 7ሻ݇ = 15ݍ + 4ሺݕ − 7ሻ
On en déduit que ݔ ≡ 7ሺݕ − 7ሻሾ26ሿ ≡ 7ݕ − 49 + 52ሾ26ሿ ≡ 7ݕ + 3ሾ26ሿ.
c. On définit un système de décodage :
— à chaque lettre du mot codé, on associe l’entier ݕ correspondant,
— on associe ensuite à ݕ l’entier ݔ qui est le reste de la division euclidienne de 7ݕ + 3 par 26,
— on associe à ݔ la lettre correspondante.
3. W est associée au nombre ݕ = 22.
Le reste dans la division euclidienne de 7ݕ + 3 = 157 par 26 est ݔ = 1. 1 est associée à la lettre B donc W se décode donc en B.
Lettre codée Entier associé Reste de 7ݕ + 3
modulo 26 Lettre décodée
W 22 1 B
H 7 0 A
L 11 2 C
Le mot WHL se décode en BAC ce qui est vraiment surprenant !
4. Raisonnons par contraposée : montrons que si deux lettres codées sont égales alors les lettres de départ le sont aussi :
ݕ = ݕᇱ ⇒ ݕ ≡ ݕᇱሾ26ሿ ⇒ 15ݔ + 7 ≡ 15ݔᇱ+ 7ሾ26ሿ ⇒ 15ݔ ≡ 15ݔᇱሾ26ሿ ⇒ 15ሺݔ − ݔᇱሻ ≡ 0ሾ26ሿ Ainsi 26 divise 15ሺݔ − ݔᇱሻ. Comme 26 et 15 sont premiers entre eux, d’après le théorème de Gauss, 26 divise ݔ − ݔᇱ.
Mais ݔ − ݔᇱ∈ ሾ−25; 25ሿ donc ݔ − ݔᇱ= 0 et ݔ = ݔ′. On vient de montrer que ݕ = ݕᇱ⇒ ݔ = ݔ′
Donc par contraposée, ݔ ≠ ݔ′ ⇒ ݕ ≠ ݕᇱ
Conclusion : par ce système de codage, deux lettres différentes sont codées par deux lettres différentes.
