DS du 26-11-09

Jeudi 26 novembre 2009.

DS de Mathématiques. TS1 et TS2.

Partie II. 3 heures.

Calculatrice autorisée.

EXERCICE 1.

Partie A

La température de refroidissement d’un objet fabriqué industriellement est une fonction f du temps t.

f est définie sur l’ensemble des nombres réels positifs et vérifie l’équation différentielle : f’(t) + 1

2 f(t) = 10. La température est exprimée en degrés Celsius (°C) et le temps t en heures.

1. Déterminer f(t) pour t ≥ 0 sachant que pour t = 0, la température de l’objet est 220°C.

2. On pourra admettre désormais que la fonction f est définie sur IR

par : f(t) = 200 e

+ 20.

On note C sa représentation graphique dans le plan muni d’un repère orthogonal ; les unités graphiques sont 2 cm pour une heure en abscisse et 1 cm pour vingt degrés Celsius en ordonnée.

a. Etudier les variations de f sur IR

.

b. Etudier la limite de la fonction f en +∞. En déduire l’existence d’une asymptote (D) à la courbe C en +∞.

c. Construire (D) et C sur l’intervalle [0 ; 7].

3. a. Utiliser le graphique pour déterminer une valeur approchée, en heures et minutes, du moment où la température de l’objet est 50°C. On laissera apparents les traits de construction.

3. b. Retrouver ce résultat par le calcul.

Partie B

On considère la suite de terme général d

= f(n) – f(n + 1) où n ∈ IN.

d

représente l’abaissement de température de l’objet entre l’heure n et l’heure n + 1.

1. a. Calculer des valeurs approchées au dixième de d

, d

et d

. 1. b. Quelle est la limite de d

quand n tend vers + ∞ ?

2. Déterminer la plus petite valeur de l’entier n à partir de laquelle l’abaissement de température est inférieur à 5°C.

EXERCICE 2. (3 points)

QCM : pour chaque question, une seule des réponses proposées est exacte.

Aucune justification n’est demandée.

Chaque bonne réponse rapporte 0,75 point, chaque erreur enlève 0,25 point, l’absence de réponse vaut 0 point.

1. L’équation e

– 3e

−4 = 0 admet dans IR :

a. 0 solution. b. 1 solution. c. 2 solutions. d. plus de 2 solutions.

2. L’expression – e

a. n’est jamais négative. b. est toujours négative.

c. n’est négative que si x est positif. d. n’est négative que si x est négatif.

3. lim

2e

- 1 e

+ 2 =

a. – ½ b. 1 c. 2 d. +∞

4. La dérivée f’ de la fonction f définie par f(x) = e

e

+ 1 est f’(x) = a. 2 + e

(e

+ 1)² b. e

(e

+ 1)² c. e

e

+ 1 d. autre

EXERCICE 3.

f est la fonction définie sur [0 ; 2] par f(x) = 2x + 1 x + 1 .

1. Etudier les variations de f sur l’intervalle [0 ; 2]. Montrer que : si x ∈ [1 ; 2] alors f(x) ∈ [1 ; 2].

2. (u

) et (v v

) sont les suites définies sur IN par : u

= 1 et pour tout entier n, u

= f(u

) v v

= 2 et pour tout entier n, v v

= f(v v

).

a. le graphique donné en annexe représente f sur l’intervalle [0 ; 2].

Construire sur l’axe des abscisses les trois premiers termes de chacune des suites (u

) et (v v

).

Que peut − on conjecturer concernant le sens de variation et la convergence des suites (u

) et (v v

) ?

b. Montrer à l’aide d’un raisonnement par récurrence que : ∀ n ∈ IN, 1 ≤ v v

≤ 2 et v v

≤ v v

. On admettra que l’on peut, de la même façon, montrer que : pour tout entier n, 1 ≤ u

≤ 2 et u

≤ u

.

3. Montrer que pour tout entier n, v v

− u

= v

- u

(v

+ 1)(u

+ 1) . En déduire que pour tout entier n, v v

− u

≥ 0 et v v

− u

≤ 1

4 (v v

− u

) 4. montrer que pour tout entier n, v v

− u

≤ (1/4)

.

5. Les suites (u

) et (v v

) sont−elles adjacentes ? Justifier. Si oui, déterminer leurs limites.

Annexe. Figure de l’exercice 3. NOM :

à rendre avec votre copie.

1 1,5 2

1 1,5 2

0 0,5

0,5

x

y

Exercice 1.

Partie A

La température de refroidissement d’un objet fabriqué industriellement est une fonction f du temps t.

f est définie sur l’ensemble des nombres réels positifs et vérifie l’équation différentielle : f’(t) + 1

2 f(t) = 10. La température est exprimée en degrés Celsius (°C) et le temps t en heures.

1. Déterminer f(t) pour t ≥ 0 sachant que pour t = 0, la température de l’objet est 220°C.

Cours : les solutions de l’équation différentielle y’ = ay + b sont les fonctions définies sur IR par f(x) = ke^ax – b/a avec k ∈ IR.

or f’(t) + 1

2 f(t) = 10 ⇔ f’(t) = −1

2 f(t) + 10 et on sait que t ≥ 0 (t est un temps …) donc cette équation a pour solutions les fonctions définies sur IR⁺ par f(t) = k e^−t/2 − 10

-1/2 soit f(t) = k e^−t/2 + 20 On nous dit que pour t = 0, f(t) = 220 ; cela va nous permettre de trouver la valeur de k.

f(0) = 220 ⇔ k e⁰ + 20 = 220 ⇔ k = 200 donc f(t) = 200 e^−t/2 + 20.

2. On pourra admettre désormais que la fonction f est définie sur IR⁺ par : f(t) = 200 e^−t/2 + 20.

On note CCCC sa représentation graphique dans le plan muni d’un repère orthogonal ; les unités graphiques sont 2 cm pour une heure en abscisse et 1 cm pour vingt degrés Celsius en ordonnée.

a. Etudier les variations de f sur IR⁺.

f est dérivable sur IR⁺ et f’(t) = 200(−t/2)’ e^−t/2 = − 100 e^−t/2

une exponentielle étant toujours strictement positive : ∀ t ∈ IR⁺, f’(t) < 0 on en déduit que f décroît sur IR⁺. (l’objet refroidit …)

b. Etudier la limite de la fonction f en +∞∞∞∞. En déduire l’existence d’une asymptote (D) à la courbe CCCC en +∞∞∞∞.

quand t → +∞, −t/2 → −∞ donc e^−t/2 → 0. On a alors lim_t→+∞ f(t) = 20°C On en déduit que la droite d’équation y = 20 est asymptote à C en +∞.

c. Construire (D) et CCCC sur l’intervalle [0 ; 7].

3. a. Utiliser le graphique pour déterminer une valeur approchée, en heures et minutes, du moment où la température de l’objet est 50°C. On laissera apparents les traits de construction.

On cherche l’abscisse du point de C dont l’ordonnée est 50. On lit t ≈ 3,75.

d

d

d

2 3 4 5 6 7

40 60 80 100 120 140 160 180 200 220

0 1

20

x y

b. Retrouver ce résultat par le calcul.

On cherche t pour que f(t) = 50.

f(t) = 50 ⇔ 200 e^−t/2 + 20 = 50 ⇔ 200 e^−t/2 = 30 ⇔ e^−t/2 = 3/20 ⇔ −t/2 = ln(3/20) ⇔ t = −2ln(3/20) ≈3,794 Partie B

On considère la suite de terme général d_n = f(n) – f(n + 1) où n ∈∈∈∈ IN.

d_n représente l’abaissement de température de l’objet entre l’heure n et l’heure n + 1.

d_n = f(n) – f(n + 1) = 200 e^−n/2 + 20 – (200 e^−(n+1)/2 + 20) = 200(e^−n/2 − e^−(n+1)/2) 1. a. Calculer des valeurs approchées au dixième de d₀, d₁ et d₂.

d₀ = 200(e^−0/2 − e^−(0+1)/2) = 200(1 – e^−1/2) ≈ 78,7

d₁ = 200(e^−n/2 − e^−(n+1)/2) = 200(e^−1/2 − e^−(1+1)/2) = 200(e^−1/2 − e⁻¹) ≈ 47,7 d₂ = 200(e^−n/2 − e^−(n+1)/2) = 200(e^−2/2 − e^−(2+1)/2) = 200(e⁻¹ − e^−3/2) ≈ 28,9

(on retrouve ces résultats sur le graphique : différence des ordonnées des points d’abscisses 0 et 1puis 1 et 2 puis 2 et 3) b. Quelle est la limite de d_n quand n tend vers +∞∞∞∞ ?

d_n = f(n) – f(n + 1) on sait que lim

x→+∞ f(x) = 20 donc lim

n→+∞ f(n) = 20 et lim

n→+∞ f(n+1) = 20 On a alors lim

n→+∞ d_n = 20 – 20 = 0

2. Déterminer la plus petite valeur de l’entier n à partir de laquelle l’abaissement de température est inférieur à 5°C.

On cherche à partir de quelle valeur de n on a d_n≤ 5.

d5 ≈ 6,46, d6 ≈ 3,92 et (dn) est décroissante donc la plus petite valeur de l’entier n à partir de laquelle dn≤ 5 est n = 6 ou : d_n≤ 5 ⇔ 200(e^−n/2 − e^−(n+1)/2) ≤ 5 ⇔ 200e^−n/2(1− e^−1/2) ≤ 5

⇔ e^−n/2≤ 5 200(1 - e^-1/2)

⇔ −n/2 ≤ ln( 5

200(1 - e^-1/2) ) car la fonction ln est croissante sur ]0 ; +∞[

⇔ n ≥ −2 ln( 5

200(1 - e^-1/2) ) ⇔ n ≥ 5,5

Exercice 2.

QCM :

1. L’équation e^2x – 3e^x −4 = 0 admet dans IR :

a. 0 solution. b. 1 solution. c. 2 solutions. d. plus de 2 solutions.

e^2x – 3e^x −4 = 0 ⇔ X² − 3X – 4 = 0 avec X = e^x

−1 est solution évidente, l’autre est alors 4

on a donc e^x = −1 ce qui est impossible ou e^x = 4 d’où x = ln4 2. L’expression – e^−x

a. n’est jamais négative. b. est toujours négative.

c. n’est négative que si x est positif. d. n’est négative que si x est négatif.

∀ x ∈ IR, e^x > 0 donc –e^x < 0

3. lim_{x→→→→+∞}2e^x - 1 e^x + 2 =

a. – ½ b. 1 c. 2 d. +∞

2e^x - 1

e^x + 2 est composée de la fonction exp suivie de la fonction rationnelle f : x → 2x - 1 x + 2

x→+∞lim e^x = +∞ et lim_x→+∞ f(x) = 2 donc par composition, lim_x→+∞2e^x - 1 e^x + 2 = 2 4. La dérivée f’ de la fonction f définie par f(x) = e^x

e^-x + 1 est f’(x) = a. 2 + e^x

(e^-x + 1)² b. e^x

(e^-x + 1)² c. e^x

e^-x + 1 d. autre f’(x) = (e^x)'(e^-x + 1) - e^x(e^-x + 1)'

(e^-x + 1)² = e^x(e^-x + 1) - e^x(-e^-x)

(e^-x + 1)² = 1 + e^x + 1

(e^-x + 1)² = 2 + e^x (e^-x + 1)²

Exercice 2.

f est la fonction définie sur [0 ; 2] par f(x) = 2x + 1 x + 1 .

1. Etudier les variations de f sur l’intervalle [0 ; 2]. Montrer que : si x ∈∈∈ [1 ; 2] alors f(x) ∈∈ ∈∈∈ [1 ; 2].

f est une fonction rationnelle donc définie, continue et dérivable sur [0 ; 2]

f’(x) = 2(x + 1) - (2x + 1) (x + 1)² = 1

(x + 1)² . f’(x) > 0 donc f est croissante.

f(1) = 3/2, f(2) = 5/3 et f est donc si x ∈ [1 ; 2] alors f(x) ∈ [3/2 ; 5/3]. Or [3/2 ; 5/3]⊂ [1 ; 2] donc f(x) ∈ [1 ; 2]

2. (u_n) et (vv_nn) sont les suites définies sur

IN

v₀₀ = 2 et pour tout entier n, vv_nn++11 = f(vv_nn).

a. le graphique donné représente f sur l’intervalle [0 ; 2].

Construire sur l’axe des abscisses les trois premiers termes de chacune des suites (u_n) et (vv_nn).

Que peut−−−−on conjecturer concernant le sens de variation et la convergence des suites (u_n) et (vv_nn) ? Il semblerait que u soit et converge vers l tel que l = f(l)

Il semblerait que v soit et converge vers le même réel l.

b. Montrer à l’aide d’un raisonnement par récurrence que : pour tout entier n, 1 ≤≤≤≤ vv_nn≤≤≤≤ 2 et vv_nn++11 ≤≤≤≤ vv_nn .

∀ n ∈

IN

initialisation : on vérifie que 1 ≤ vv₀₀ ≤ 2. En effet vv₀₀ = 2.

hérédité : on montre que : si 1 ≤ vv_nn≤ 2 alors 1 ≤ vv_n+n+11 ≤ 2 supposons que :1 ≤ vv_nn ≤ 2

vv_n+n+11 = f(vv_nn) donc d’après 1. 1 ≤ vv_nn++11 ≤ 2 conclusion : v est bornée par 1 et 2

∀ n ∈

IN

initialisation : on vérifie que vv_{1 1}≤ vv_{0 0}. vv_{1 1}= f(vv_{0 0}) = f(2) = 5/3 et 5/3 ≤ 2 hérédité : on montre que : si vv_nn++11 ≤ vv_nn alors vv_n+n+22 ≤ vv_n+n+11

supposons que : vv_nn++11 ≤ vv_nn

f est sur [1 ; 2] donc f(vv_n+n+11)) ≤ f(vv_nn) c’est à dire v) v_nn++22 ≤ vv_nn++11 conclusion : v est

On admettra que l’on peut, de la même façon, montrer que : pour tout entier n, 1 ≤≤≤≤ u_n≤≤≤≤ 2 et u_n≤≤≤≤ u_n+1 . donc u est bornée par 1 et 2 et u est .

3. Montrer que pour tout entier n, vv_nn++11 −−−− u_n+1 = v_n - u_n (v_n + 1)(u_n + 1) . vv_n+n+11 − un+1 = f(vv_nn) − f(un) = 2v_n + 1

v_n + 1 − 2u_n + 1

u_n + 1 = (2v_n + 1)(u_n + 1) - (2u_n + 1)(v_n + 1)

(v_n + 1)(u_n + 1) = v_n - u_n (v_n + 1)(u_n + 1) en déduire que pour tout entier n, vv_nn−−−− u_n≥≥≥≥ 0

initialisation : on vérifie que vv_{0 0}− u0 ≥ 0. En effet vv_{0 0}− u0 = 1 et 1 ≥ 0 hérédité : on montre que si vv_nn − un ≥ 0 alors vv_nn++11 − un+1 ≥ 0

supposons que vv_nn − un ≥ 0. on a aussi vv_nn + 1 ≥ 0 et un + 1 ≥ 0 donc v_n - u_n

(vn + 1)(un + 1)≥ 0 c’est à dire vv_nn++11 − un+1 ≥ 0 conclusion : ∀ n ∈

IN

… et vv_nn++11 −−−− u_n+1≤≤≤≤1

4 (vv_nn−−−− u_n )

vv_nn≥ 1 et u_n≥ 1 donc vv_nn + 1 ≥ 2 et u_n + 1 ≥ 2.

En multipliant membre à membre ces deux inégalités, on obtient (vv_nn + 1)(u_n + 1) ≥ 4 et donc 1

(v_n + 1)(u_n + 1)≤1 4 et comme vv_nn− u_n≥ 0, v_n - u_n

(v_n + 1)(u_n + 1) ≤1

4 (vv_nn− u_n) et donc vv_nn++11 − u_n+1≤1

4 (vv_nn− u_n ) 4. montrer que pour tout entier n, vv_nn−−−− u_n≤≤≤≤ (1/4)ⁿ.

initialisation : on vérifie que v₀ – u₀≤ (1/4)⁰ . En effet v_{0 0}− u0 = 1 et 1 ≤ (1/4)⁰ hérédité : montrons que Si vvn_n − un ≤ (1/4)ⁿ alors vvn+_n+11 − un+1 ≤ (1/4)ⁿ⁺¹

supposons que vv_nn − un ≤ (1/4)ⁿ vv_n+n+11 − un+1 ≤ 1

4 (vv_nn − un ) et vv_nn − un ≤ (1/4)ⁿ donc vv_nn++11 − un+1 ≤ (1/4)(1/4)ⁿ c’est à dire vv_nn++11 − un+1 ≤ (1/4)ⁿ⁺¹. conclusion : ∀ n ∈ IN, vn – u_n≤ (1/4)ⁿ.

5. Les suites (u_n) et (v_n) sont−elles adjacentes ? Justifier. Si oui, déterminer leurs limites.

cours : les suites sont adjacentes si l’une est croissante, l’autre décroissante et si la limite de u_n – v_n est 0.

on a déjà vu que : (u_n) est ,(vv_nn) est

0 ≤ vv_nn − un ≤ (1/4)ⁿ et lim_n→+∞ (1/4)ⁿ = 0 car 0 < ¼ < 1 donc d’après le théorème des gendarmes lim

n→+∞ v_n – u_n = 0 donc u et v sont deux suites adjacentes.

On sait alors qu’elles convergent vers la même limite α.

recherche de α :

x→+∞lim u_n = _α (avec 1 <

α

on sait alors que α = f(α) et d’après 1. α = (1+ ⁵)/2 car α ≥ 0 or f(α) = α ⇔ 2α + 1 = α(α + 1) ⇔ α² − α − 1 = 0

∆ = 5 donc α = (1 + ⁵)/2 ou α = (1 − ⁵)/2 cette dernière valeur, négative, ne convient pas.

donc lim_n→+∞ un = lim_n→+∞ vn = 1 + 5

2 (nombre d’or …)