Exercice 2 : une suite d´ efinie par une r´ ecurrence compl` ete

Sup PCSI2 — Contrˆole 2007/04

Rappel : r´edigez chaque partie ou exercice sur une (ou plusieurs) copie(s) s´epar´ee(s). Pas d’encre rouge. Les calculatrices ne sont pas autoris´ees. Toutes les justifications doivent figurer sur votre copie, mais la r´edaction doit rester sobre. Vous pouvez admettre un r´esultat, `a condition de le signaler tr`es clairement. Les copies mal pr´esent´ees encourent une p´enalit´e de deux points sur vingt. Mettez votre nom sur chaque copie. Qu’on se le dise.

Exercice 1 : questions ` a r´ eponse OUI/NON

◮Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, preuve ou contre-exemple `a l’appui !

◮(un) et (vn) sont des suites de r´eels.

Q1 Si la suite de terme g´en´eral sin(un) converge, alors la suite de terme g´en´eral cos(un) converge.

Q2 Si la suite de terme g´en´eral sin(un) converge, alors la suite de terme g´en´eral cos²(un) converge.

Q3 Si la suite de terme g´en´eral sin(un) converge, alors la suite de terme g´en´eral cos(2un) converge.

Q4 Si la suite de terme g´en´eral cos(2un) converge, alors la suite de terme g´en´eral sin(un) converge.

Q5 Si la suite de terme g´en´eral cos(2un) converge, alors la suite de terme g´en´eral sin²(un) converge.

Q6 Si les suites de termes g´en´eraux respectifs sin(un) et cos(un) convergent, alors la suite de terme g´en´eral sin(2un) converge.

Q7 Si la suite de terme g´en´eral sin(un) + cos(un) converge, alors la suite de terme g´en´eral sin(2un) converge.

Q8 Si la suite de terme g´en´eral sin(un)−cos(un) converge, alors la suite de terme g´en´eral sin(2un) converge.

Q9 Si la suite de terme g´en´eral exp(un) + exp(−un) converge, alors la suite (un) converge.

Q10 Si la suite de terme g´en´eral exp(un)−exp(−un) converge, alors la suite (un) converge.

Q11 Si les suites de termes g´en´eraux respectifs sin(un) et exp(un) convergent, alors la suite (un) converge.

Q12 Si la suite de terme g´en´eral exp(un) + sin(un) est born´ee, alors la suite (un) est born´ee.

Q13 ⋆ ⋆ ⋆ Si la suite de terme g´en´eral exp(un)−exp(−2un) converge, alors la suite (un) converge.

Exercice 2 : une suite d´ efinie par une r´ ecurrence compl` ete

◮Les relationsc0= 1 etcn= 2n−1 + 2 n

X

06k<n

ck d´efinissent une suite (cn)n∈Nde rationnels.

Q1 Calculez cn pourn∈[[1,5]] ; les r´esultats seront donn´es sous forme de fractions irr´eductibles. Vous v´erifierez (pas sur la copie) quec6= ¹⁶⁸₅ .

Q2 Simplifiezun= (n+ 1)cn+1−ncn, puisvn= cn+1

n+ 2− cn

n+ 1. Q3 D´eterminez des r´eels aet btels que 4k+ 1

(k+ 1)(k+ 2) = a

k+ 1+ b

k+ 2 pour toutk∈N. Q4 En d´eduire une expression simple decn, faisant intervenirHn= X

16k6n

1 k. Q5 Nous admettons que Hn= lnn+γ+ 1

2n +o³1 n

´o`uγest laconstante d’Euler. Donnez un d´eveloppement asymptotique decn lorsquentend vers l’infini.

Tournez S.V.P.

Exercice 3 : une suite d´ efinie implicitement

◮Pourn>1, notonsfn(x) =xⁿ+x²−1.

Q1 Montrez que l’´equationfn(x) = 0 poss`ede, dansR₊, une et une seule solution, qui sera not´ee xn. Q2 D´eterminez les valeurs dex1 etx2.

Q3 D´eterminez la valeur de x4.

Q4 Exhibez un intervalle d’amplitude 1 qui contienttous les termes de la suite (xn)n>1. Q5 Montrez que la suite (xn)n>1 est monotone.

Q6 En d´eduire que la suite (xn)n>1 converge. Pour l’instant, que pouvez-vous dire de sa limiteℓ? Q7 ⋆ D´eterminez la valeur deℓ.

Q8 Quelle est la limite de la suite de terme g´en´eralvn=fn

³1− 1 n

´? Q9 ⋆ Donnez un ´equivalent simple de 1 +fn

³1 n

´lorsque ntend vers l’infini.

[Contr^ole 2007/04] Compos´e le 12 d´ecembre 2007