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Caract´erisation des suites g´eom´etriques

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Academic year: 2022

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(1)

Les suites g´eom´etriques Terminale ES

La suite ( u

n

) est g´eom´etrique si on passe d’un terme au suivant en multipliant par un nombre constant q, appel´e raison de la suite.

Caract´ erisation des suites g´ eom´ etriques

Soit (u

n

) une suite g´eom´etrique de premier terme u

0

et de raison q > 0. Alors :

— La forme r´ecurrente de la suite est u

n+1

= q × u

n

avec u

0

donn´e ;

— La forme explicite de la suite est u

n

= u

0

× q

n

Deux expressions ` a connaˆıtre

Si la forme r´ecurrente est naturelle, on pr´ef`ere utiliser la forme explicite qui permet le calcul de n’importe quel terme de la suite connaissant le premier terme (u

0

) et la raison q.

On consid`ere une suite g´eom´etrique (u

n

) de premier terme u

0

> 0 et de raison q > 0.Alors :

— si q > 1 alors la suite est croissante ;

— si 0 < q < 1 alors la suite est d´ecroissante.

Variations des suites g´ eom´ etriques

Attention ces r´esultats s’inversent si u

0

< 0.

On consid`ere une suite g´eom´etrique (u

n

) de premier terme u

0

> 0 et de raison q > 0.Alors :

— si q > 1 alors la suite tend vers +∞ ;

— si 0 < q < 1 alors la suite tend vers 0.

Limite des suites g´ eom´ etriques

Lorsque une suite tend vers 0, cela veut dire qu’au bout d’un moment tous les termes de la suite seront proches de 0 sans pour autant atteindre cette valeur. Pour l’infini, les valeurs de U

n

ne cessent de grandir.

On consid`ere une suite g´eom´etrique ( u

n

) de premier terme u

0

> 0 et de raison q > 0 et q 6= 1.En posant :

S

n

= u

0

+ u

1

+ ... + u

n−2

+ u

n−1

on a alors :

S

n

= u

n

− u

0

q − 1

Somme des termes cons´ ecutifs d’une suites g´ eom´ etrique

1/1

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