41 - SUITES ARITHM´ETIQUES, SUITES G´EOM´ETRIQUES. CHANTAL MENINI

41 - SUITES ARITHM ´ ETIQUES, SUITES G ´ EOM ´ ETRIQUES.

CHANTAL MENINI

1. Point programme

Apparition en premi` ere S et ES, la d´ emonstration de la formule donnant la somme des n premiers termes d’une suite g´ eom´ etrique ou arithm´ etique doit ˆ etre connue, glissement de la limite en terminale avec les nouveaux programmes seule doit ˆ etre donn´ ee une approche de la notion de limite par les exemples en premi` ere. Vu aussi en BTS.

2. Un plan possible 2.1. Suites arithm´ etiques.

D´ efinition 2.1. Soit (u _n ) une suite de r´ eels, la suite est dite arithm´ etique s’il existe un r´ eel r tel que pour tout entier n

u n+1 = u n + r r est appel´ e la raison de la suite.

Remarque 2.2. (Justification du nom)

Pour tout entier n sup´ erieur ou ´ egal ` a 1, ^u

^+u ₂

= u n . Proposition 2.3. (Formule explicite)

Soit (u _n ) une suite arithm´ etique de raison r alors – pour tout entier n, u n = u 0 + nr,

– pour tous les entiers n et p, u _n = u _p + (n − p)r.

Remarque 2.4. Si (u _n ) est une suite arithm´ etique alors la variation absolue u _n+1 − u _n est constante.

Th´ eor` eme 2.5. (Variations et limites)

Soient r un r´ eel et (u n ) une suite arithm´ etique de raison r.

– Si r > 0 alors la suite (u n ) est croissante et lim n→+∞ u n = +∞.

– Si r = 0 alors la suite (u _n ) est constante.

– Si r < 0 alors la suite (u n ) est d´ ecroissante et lim n→+∞ u n = −∞.

Commentaire : une suite arithm´ etique de raison non nulle est toujours divergente.

Proposition 2.6. (Somme des n premiers termes) Pour tout entier naturel non nul n

1 + 2 + · · · + n = n(n + 1)

2 .

Corrolaire 2.7. Soit (u _n ) une suite arithm´ etique alors pour tout entier n u ₀ + u ₁ + · · · + u _n = (n + 1) u ₀ + u _n

2 .

Remarque 2.8. On peut ´ echanger les rˆ oles de la proposition et du corollaire.

– Exercices d’application directe du type : v´ erifier si une suite est ou non arithm´ etique, formule explicite, calcul de sommes de termes cons´ ecutifs.

– Reconnaitre la somme des termes d’une suite arithm´ etique : le chˆ ateau de cartes (nombre de cartes de l’´ etage n est u _n = u n−1 + 3 et u ₁ = 2), les nombres polygonaux.

Date: 3 mars 2014.

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2.2. Suites g´ eom´ etriques.

D´ efinition 2.9. Soit (u n ) une suite de r´ eels, la suite est dite g´ eom´ etrique s’il existe un r´ eel q tel que pour tout entier n

u n+1 = qu n

q est appel´ e la raison de la suite.

On supposera dans la suite q 6= 0.

Remarque 2.10. (Justification du nom)

Prenons q > 0 et u 0 > 0, pour tout entier n sup´ erieur ou ´ egal ` a 1, √

u n+1 u n−1 = u n .

Commentaire : savoir en donner une illustration graphique avec la hauteur du triangle rectangle issue de l’angle droit.

Proposition 2.11. (Formule explicite)

Soit (u n ) une suite g´ eom´ etrique de raison q alors – pour tout entier n, u _n = u ₀ × q ⁿ ,

– pour tous les entiers n et p, u n = u p × q ^n−p .

Remarque 2.12. Si (u n ) est une suite g´ eom´ etrique non nulle alors la variation relative ^u

_u ^−u

n

est

constante.

Th´ eor` eme 2.13. (Variations et limites)

Soient q un r´ eel et (u n ) une suite g´ eom´ etrique de raison q.

– Si q > 1 alors la suite (u _n ) est croissante si u ₀ > 0 et d´ ecroissante si u ₀ < 0. De plus lim n→+∞ u _n = +∞

si u 0 > 0 et lim n→+∞ u n = −∞ si u 0 < 0.

– Si q = 1 alors la suite (u _n ) est constante.

– Si 0 < q < 1 alors la suite (u n ) est d´ ecroissante si u 0 > 0 et croissante si u 0 < 0. De plus la suite converge vers 0.

– Si −1 < q < 0 alors la suite (u n ) n’est pas monotone et la suite converge vers 0.

– Si q = −1 alors la suite (u n ) ne prend que les valeurs u 0 et −u ₀ . – Si q < −1 alors la suite (u _n ) n’est pas monotone et n’a pas de limite.

Commentaire : Si on veut s’´ epargner de distinguer les cas en fonction du premier terme, on peut simplement

´

enoncer le r´ esultat pour la suite (q ⁿ ) _n dans la mesure o` u l’on a d´ ej` a ´ etabli que u _n = u ₀ × q ⁿ . Proposition 2.14. (Somme des n + 1 premiers termes)

Pour tout entier naturel n, pour q 6= 1

1 + q + · · · + q ⁿ = 1 − q ⁿ⁺¹ 1 − q .

– Exercices d’application directe du type : v´ erifier si une suite est ou non g´ eom´ etrique, formule explicite, calcul de sommes de termes cons´ ecutifs (par exemple l’´ echiquier et les grains de bl´ e).

– Exercice plus ´ elabor´ e : Flocon de Von Koch, voir Indice 1e S ou ES et L ed. Bordas ou Hyperbole 1eS ed. Nathan ou D´ eclic 1e S ed. Hachette, le triangle de Sierpinski, voir Math’x 1e S ed. Didier ou D´ eclic 1e S ed. Hachette.

– Algorithme possible au niveau premi` ere (cf. n’ont pas encore le logarithme) : Calcul du premier entier n tel que u n d´ epasse (ou soit plus petit dans le cas de la convergence) une valeur donn´ ee, test de doublement de capital dans le cas d’int´ erˆ ets compos´ es, calcul de “demi-vie” d’un corps radioactif, etc

– Utilisation dans d’autres parties du programme de premi` ere : Calcul de l’esp´ erance d’une variable al´ eatoire suivant une loi g´ eom´ etrique tronqu´ ee (outils : d´ erivation et somme des premiers termes d’une suite g´ eom´ etrique). Voir le document ressource “Statistiques et probabilit´ es” de premi` ere.

– Comparaison d’une suite arithm´ etique et d’une suite g´ eom´ etrique : placement avec int´ erˆ et simple ou compos´ es (travail avec les pourcentages), ceci peut ˆ etre illustr´ e sur tableur.

2.3. Suites arithm´ etico-g´ eom´ etriques.

D´ efinition 2.15. Soit (u n ) une suite de r´ eels, la suite est dite arithm´ etico-g´ eom´ etrique s’il existe deux r´ eels a et b tels que pour tout entier n

u n+1 = au n + b.

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Remarque 2.16. Pour a = 1 on retrouve la d´ efinition d’une suite arithm´ etique, pour b = 0 celle d’une suite g´ eom´ etrique.

Proposition 2.17. Soient a 6= 1 et b deux r´ eels, (u n ) la suite aritm´ etico-g´ eom´ etrique d´ efinie par la relation de r´ ecurrence u _n+1 = au _n + b alors pour tout entier n

u n = b

1 − a + a ⁿ (u 0 − b 1 − a ).

Commentaire : cette proposition peut ne pas ˆ etre mise, l’important est de savoir comment on se ram` ene ` a une suite g´ eom´ etrique avec

– recherche de point fixe l solution de l = al + b, soit l = _1−a ^b ,

– introduction d’une suite auxiliaire (v _n ) en posant v _n = u _n − l qui sera g´ eom´ etrique de raison a.

– Illustration graphique : avec par exemple Geogebra, visualiser les droites d’´ equations y = ax + b et y = x, construction des premiers termes d’une suite arithm´ etico-g´ eom´ etrique, curseurs permettant de faire varier premier terme, a et b. Commentaire : Remarquer que l’introduction de la suite auxiliaire (v _n ) revient juste ` a faire un changement d’origine du rep` ere. Peut aussi ˆ etre utilis´ e pour une approche de la notion de limite. Fait dans Transmath 1eS ed. Nathan,

– Exemples conduisant ` a l’´ etude de suites aritm´ etico-g´ eom´ etrique :

– Les tours de Hano¨ı : voir Math’x 1e S ed. Didier ou D´ eclic 1e S ed. Hachette, Math´ ematiques L1 ed. Pearson Education.

– Accroissement de population avec flux migratoire.

– Evolution d’un capital avec int´ erˆ ets compos´ es et versement r´ egulier, remboursement d’un prˆ et avec mensualit´ es fixes.

– Les graphes probabilistes ` a 2 ´ etats, voir Hyperbole Term ES ed. Nathan.

2.4. Comparaison ` a une suite g´ eom´ etrique, applications.

2.4.1. Croissance compar´ ee.

Th´ eor` eme 2.18. Soit la suite (u n ) de terme g´ en´ eral strictement positif, s’il existe q ∈]0, 1[ et un entier N tels que

∀n ≥ N u n+1

u _n ≤ q alors la suite (u n ) converge vers 0.

Corrolaire 2.19. Soit la suite (u n ) de terme g´ en´ eral strictement positif, si

n→+∞ lim u _n+1

u _n = l ∈ [0, 1[

alors a suite (u _n ) converge vers 0.

Application de ce qui pr´ ec` ede :

Th´ eor` eme 2.20. Soit a > 1 un r´ eel et p un entier naturel non nul alors n ^p

+∞ a ⁿ

+∞ n!

2.4.2. Convergence de s´ eries ` a termes positifs.

Proposition 2.21. Soient q un r´ eel, la s´ erie de terme g´ en´ eral q ⁿ converge si et seulement si −1 < q < 1 et alors

+∞

X

n=0

q ⁿ = 1 1 − q . Th´ eor` eme 2.22. (Crit` ere de d’Alembert)

Soit P

u _n la s´ erie de terme g´ en´ eral u _n > 0, si – lim

n→+∞

u

u

= l ∈ [0, 1[ alors P

u n converge.

– lim

n→+∞

u

u

= l ∈]1, +∞[ alors P

u _n diverge.

Remarque 2.23. Si l = 1 on ne peut rien dire, penser aux s´ eries de Riemann (u _n = _n ¹

).

La limite peut ne pas exister par exemple u _n = ₃ ¹

pour n pair et u _n = ₃ ²

pour n impair.

Le corrolaire 2.19 peut aussi se voir comme corrolaire du th´ eor` eme de d’Alembert puisque le terme g´ en´ eral

d’une s´ erie convergente tend vers 0.

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2.5. Encore des exercices possibles. Exercice 1. Achille et la tortue (Paradoxe de Z´ enon, environ -500 av JC)

Achille fait la course avec une tortue (course rectiligne), il lui laisse 100m d’avance. Achille avance ` a la vitesse V m.s ⁻¹ et la tortue v m.s ⁻¹ (bien sˆ ur v < V ). Lorsqu’Achille arrive au point de d´ epart de la tortue not´ e T ₀ , celle-ci aura avanc´ e et sera au point not´ e T ₁ , lorsqu’il arrive au point T ₁ elle aura encore avanc´ e et sera au point T 2 et ainsi de suite. La tortue ne sera jamais rattrap´ ee.

Nous savons que la tortue sera rattrap´ ee (du moins si l’arriv´ ee est suffisamment loin), d´ eterminer ` a quelle distance de D Achille rattrape la tortue et la dur´ ee de la course jusqu’au point de d´ epassement. Voir par exemple Hyperbole TES et L (programmes 2012 p36) ed. Nathan, avec V = 10 m.s <sup>−1</sup> et v = 0.1 m.s <sup>−1</sup> . Les grandes lignes, on note t <sub>n</sub> le temps que met Achille pour arriver en T <sub>n</sub> (position de la tortue ` a la n ^ieme

´

etape), alors

t n − t n−1 = T n−1 T n

V T n−1 T n = v(t n−1 − t n−2 ).

La suite (t n − t n−1 ) est g´ eom´ etrique de raison _V ^v et de premier terme t 1 − t 0 . Ainsi en sommant les termes t _n = t ₀ + (t ₁ − t ₀ ) 1 − (v/V ) ⁿ

1 − v/V t ₁ − t ₀ = v

V t ₀ t ₀ = 100 V

et a pour limite _V ¹⁰⁰ _−v lorsque n tend vers +∞, temps (en secondes) que met Achille pour rattraper la tortue.

Exercice 2.

P +∞

k=1

(−1)

k = ln 2

Trouver la bonne suite g´ eom´ etrique, voir expos´ e “S´ eries num´ eriques”.

Exercice 3. D´ eveloppement d´ ecimal p´ eriodique

0, 999999999 . . . = 1 ou variantes, voir par exemple Terracher Analyse 1e S ed. Hachette (rappel : les rationnels sont les r´ eels qui ont des d´ eveloppement d´ ecimaux p´ eriodiques ` a partir d’un certain rang, voir par exemple Math´ ematiques L1 ed. Pearson Education)

3. D´ eveloppements

Toutes les d´ emonstrations des propositions ou th´ eor` emes, ainsi que toutes les r´ esolutions d’exercices peuvent ˆ

etre demand´ ees.

Les exercices sans r´ ef´ erences pr´ ecises se trouvent dans de nombreux manuels scolaires.

Pour les d´ emonstrations de la partie 2.4 nous renvoyons ` a la le¸ con sur les s´ eries.

Pour les d´ emonstrations de niveau premi` ere ou terminale elles sont faites en g´ en´ eral dans les ouvrages de ce niveau. Juste quelques points cl´ es.

Pour les formules explicites ou sommes des premiers termes, les d´ emonstrations seront faites avec des pointill´ es en premi` ere et pourront ˆ etre l’occasion de premiers exemples de d´ emonstrations par r´ ecurrence en terminale.

Pour la monotonie des suites g´ eom´ etriques on utilisera le rapport ^u _u

n

lorsque les termes de la suite sont strictement positifs.

Pour montrer qu’avec q > 1, lim

n→+∞ q ⁿ = +∞, utilisez que pour tout x > 0 et tout entier naturel n,

(1 + x) ⁿ ≥ 1 + nx (´ etude des fonctions ou r´ ecurrence). Ne pas utiliser la fonction logarithme qui est en

g´ en´ eral vue apr` es l’´ etude de ces suites.