Cours de math´ematiques
Suites arithm´etiques et g´eom´etriques
1 Suites arithm´ etiques
D´efinition 1. On appelle suite arithm´etiquede raisonr et de premier termeu0, la suite d´efinie par la relation de r´ecurrence un+1 =un+r .
Propri´et´e 1. Si (un) est une suite arithm´etique de raison r et de premier terme u0 alors elle admet pour forme explicite un=u0+n×r .
Propri´et´e 2. On a 1 + 2 + 3 +· · ·+n= n(n+ 1)
2 .
Propri´et´e 3. Une suite arithm´etique de raison r est :
• constante si r= 0.
• croissante si r>0.
• d´ecroissante si r60.
Propri´et´e 4. On consid`ere une suite arithm´etique de raison r, alors :
• lim
n→+∞
un=u0 si r= 0.
• lim
n→+∞
un= +∞ si r >0.
• lim
n→+∞
un=−∞ si r <0.
2 Suites g´ eom´ etriques
D´efinition 2. On appelle suite g´eom´etriquede raisonr et de premier terme u0, la suite d´efinie par la relation de r´ecurrence un+1 =un×r .
Propri´et´e 5. Si (un) est une suite g´eom´etrique de raison r et de premier terme u0 alors elle admet pour forme explicite un=u0×rn .
Propri´et´e 6. On a 1 +r+r2+r3+· · ·+rn= 1−rn+1
1−r pour r6= 1.
Propri´et´e 7. Une suite g´eom´etrique de raison r >0 et de premier terme positifest :
• constante si r= 1.
• croissante si r>1.
• d´ecroissante si 0< r61.
Propri´et´e 8. On consid`ere une suite g´eom´etrique de raison r >0 et de premier terme positif, alors :
• lim
n→+∞
un=u0 si r= 1.
• lim
n→+∞
un= +∞ si r >1.
• lim
n→+∞
un= 0 si 0< r <1.
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