Questions pr´ eliminaires 4 O.1. Si (a
n) est `a variation born´e alors la s´erie P
b
nest convergente or P
Nn=1
b
n= a
N− a
0donc (a
n) est convergente .. . . 2 O.2. On peut faire la d´emonstration par r´ecurrence ou directement
X
Nn=1
nd
n= X
Nn=1
n(b
n− b
n+1) = X
Nn=1
nb
n−
N+1
X
n=2
(n − 1)b
n= X
Nn=1
b
n+ X
Nn=1
(n − 1)b
n− X
Nn=1
(n − 1)b
n− Nb
N+1= X
Nn=1
b
n− Nb
N+1. 2
Partie I 15
I.1. On a d
n= b
n− b
n+1d’o` u (a
n) est convexe ssi (b
n) ց . . . 1 I.2. d
n= f(n − 1) + f (n + 1) − 2f(n) puis, on utilise l’´egalit´e n = 1
2 [(n + 1) + (n − 1)] et le fait que f est convexe d’o` u
f(n) 6 1
2 [f (n + 1) + f (n − 1)].
Conclusion : (a
n) est convexe . . . 2 I.3. On a donc (b
n) et (−b
n) croissantes donc (b
n) est une suite constante soit a
n−1− a
n= b
ce qui donne encore a
n= nb + a
0. La r´eciproque est ´evidente.
Conclusion : les suites convexes et d’oppos´e convexe sont les suites arithm´etiques . . . 2 I.4. Si α > 1 alors, comme f (x) = x
αest convexe, a
n= n
αest convexe.
Si α < 1 alors f(x) = x
αest strictement concave donc d
n< 0.
Conclusion : (n
α) est convexe ssi α > 1 . . . 1 I.5. a. d
9d
25d
32d
42d
47d
49-1 -1 -1 -1 -1 -1 donc (a
n) n’est pas convexe . . . 3 b. Premi`ere question un peu d´elicate.
On a
(n + 1)
α− 1 <[(n + 1)
α] (n − 1)
α− 1 <[(n − 1)
α]
−2n
α6 − 2[nα]
d’o` u, en additionnant ces in´egalit´es, on trouve d
n> (n + 1)α+ (n − 1)
α− 2n
α− 2.
Soit f (x) = (x + 1)
α+ (x − 1)
α− 2x
α− 2 alors f (1) = 2
α− 4 > 0 (car α > 2) puis f
′(x) = α[(x + 1)
α−1+ (x − 1)
α−1− 2x
α−1] qui est positif car g(x) = x
α−1est convexe.
Donc f est croissante et f (1) > 0, f (n) est positif pour n > 1.
Conclusion : si α > 2 alors ([n
α]) est convexe . . . 6
1
Partie II 10 II.1. (b
n) ց et b
n> −2A donc (bn) converge. Si lim
n→+∞
b
n= l 6= 0 alors (a
n) n’est pas born´ee (en supposant lim
n→+∞
b
n= b > 0—par exemple—alors ∃n
0| ∀n > n
0, b
n> 1
2 b d’o` u a
n6 an−1− 1
2 b 6 a
n0− n − n
02 b → −∞).
Conclusion : lim
n→+∞
b
n= 0 et, comme (b
n) ց 0 alors b
n> 0 .. . . 4 Remarque : on pouvait aussi utiliser la sommation des relations de comparaison :
n→+∞
lim b
n= l ⇒ P
Nn=1
b
n= a
N− a
0∼ Nl si l 6= 0 ce qui abouti `a une contradiction.
II.2. On a P
N n=1b
n= a
0− a
Net comme (a
n) est born´ee, que b
n> 0, on en d´eduit que la s´erie P bn converge et donc la suite (a
n) est convergente . . . 2 II.3. On ´ecrit
a
p− a
n= X
nk=p+1
b
k> (n − p)bn car (b
n) ց
> n
2 b
ncar − p > − n
2 et b
n> 0
donc 0 6 nb
n6 2(ap− a
n) . . . 2 On prend p = [n/2] d’o` u 0 6 nb
n 6 2(a
[n/2]− a
n) → 0.
Ensuite, comme 0 6 nb
n+16 (n + 1)bn+1 alors lim
n→+∞
nb
n+1= 0 . . . 1 II.4. On utilise l’´egalit´e de O.2 et comme lim
N→+∞
Nb
N+1= 0 on a X
+∞n=1
nd
n= X
+∞n=1
b
n.
par passage `a la limite. . . 1 Partie III 15
III.1. Question difficile, en fait, on veut prouver que X
Nn=1
|b
n| 6
X
Nn=1
b
n+ 2
N−1
X
n=1
n|b
n− b
n+1|.
et pour cela, on utilise les in´egalit´es
N−1
X
n=1
n|d
n| =
N−1
X
n=1
n|b
n− b
n−1|
>
N−1
X
n=0
n(|b
n| − |b
n+1| >
X
Nn=1
|b
n| − N |b
N|
puis
N−1
X
n=1
n|d
n| >
N−1
X
n=1
n(b
n− b
n+1)
>
N−1
X
n=0
b
n− Nb
N> −
X
Nn=1
b
n+ N |b
N|
et on fait la somme d’o` u P
Nn=1
|b
n| 6 |a
0− a
N| + 2
N−1P
n=1
n|d
n| .. . . 10 On a donc l’in´egalit´e demand´ee, on en d´eduit que
P
N n=1|b
n| est major´ee donc la s´erie P b
nest absolument convergente, (a
n) est `a variation born´ee (donc convergente). . . 1 III.2. La premi`ere in´egalit´e est ´evidente car la s´erie P
b
nest convergente. La deuxi`eme est tout aussi ´evidente car a
0− a
N=
P
N n=1b
net en passant `a la limite dans l’in´egalit´e pr´ec´edente, on peut conclure. . . 1 III.3. En utilisant l’´egalit´e O.2 , on a
Nb
N+1= X
Nn=1
b
n−
N−1
X
n=1
nd
ndonc Nb
N+1a une limite car P
b
net P
nd
nconvergent. Cette limite ne peut ˆetre que 0 (sinon P
b
ndivergerait) d’o` u, quand N → +∞
X
+∞n=1
nd
n= X
+∞n=1
b
n. 3
Partie IV 28
IV.1. On sait (question O.2 ) que P
n m=1m(a
m− a
m+1) = P
n m=1a
m− na
n+1(en rempla¸cant b par a et N par n). Or
n(n + 1)(c
n− c
n+1) = (n + 1) X
nm=1
a
m− n X
n+1m=1
a
m= X
nm=1
a
m− na
n+1d’o` u
c
n− c
n+1= 1
n − 1 n + 1
nX
m=1
m(a
m− a
m+1)
en divisant par n(n + 1) et en remarquant que 1
n(n + 1) = 1
n − 1
n + 1 .. . . 2
Ensuite X
Nn=1
|c
n− c
n+1| 6 X
Nn=1
1
n − 1 n + 1
nX
m=1
m|a
m− a
m+1|
6
X
Nm=1
m|a
m− a
m+1| X
Nn=m
1
n − 1 n + 1
| {z }
=
1 m
−1 N + 1 6
1 m
en permutant les sommes
6
X
Nm=1
|a
m− a
m+1|. 3
IV.2. On ´ecrit
n(n + 1)(c
n+1− c
n) = − X
nm=1
m(a
m− a
m+1) = −n(a
n− a
n+1) −
n−1
X
m=1
m(a
m− a
m+1)
= −n(a
n− a
n+1) + n(n − 1)(c
n− c
n−1)
d’o` u, en ´ecrivant que c
n−1+ c
n+1− 2c
n= −(c
n− c
n−1) + (c
n+1− c
n), c
n−1+ c
n+1− 2c
n= 1
n + 1 [(a
n+1− a
n) + 2(c
n−1− c
n)] . 3 On a alors
X
Nn=2
n|c
n−1+ c
n+1− 2c
n| 6 X
Nn=2
n
n + 1 (|a
n+1− a
n| + 2|c
n−1− c
n|)
6
X
Nn=2
|a
n+1− a
n| + 2
N−1
X
n=1
|a
n+1− a
n| relation du IV.1
6 3 XN
n=1
|a
n+1− a
n| donc, la s´erie P
n|c
n−1+ c
n+1− 2c
n| converge, (c
n) est quasi-convexe et, par passage `a la limite, on a
X
+∞n=2
n|c
n−1+ c
n+1− 2c
n| 6 3 X
+∞n=1
|a
n+1− a
n| . 2
IV.3. Comme (a
n) est born´ee, (c
n) est born´ee, or, au III , on a vu qu’une suite quasi-convexe et born´ee ´etait `a variation born´ee donc (c
n) est `a variation born´ee. On utilise ensuite la relation du IV.2
(n + 1)[c
n−1+ c
n+1− 2c
n] + 2(c
n− c
n−1) = a
n+1− a
nd’o` u |a
n+1− a
n| 6 (n + 1)|∆
2c
n| + 2|∆c
n|, par cons´equent
(a
n) est `a variation born´ee et convergente . . . 4 IV.4. On a b
n> 0, P
b
npeut ˆetre consid´er´e comme la somme de deux s´eries P
n6=2p
1
n
2, P 1 2
pqui convergent. (a
n) est donc `a variation born´ee. Vu le IV.2 , (c
n) est quasi-convexe . . . . 3 On utilise `a nouveau l’´egalit´e du O.2 , or, comme Nb
N+1n’a pas de limite, P
nd
ndiverge,
on ne peut donc avoir l’´egalit´e propos´ee . . . 4
IV.5. On a (n + 1)c
n+1= a
1+ a
2+ · · · + a
n| {z }
=ncn=(n+1)cn−cn
+a
n+1d’o` u, en divisant par n + 1, on obtient a
n+1n + 1 = c
n+1− c
n+ c
nn + 1 et c
nn + 1 = a
n+1n + 1 + c
n− c
n+1. . . 1 Comme (a
n) est `a variation born´ee, la s´erie P
c
n+1− c
nest absolument convergente.
• Si P c
nn + 1 est absolument convergente alors l’in´egalit´e
a
n+1n + 1
6 |c
n+1− c
n|+
c
nn + 1 permet d’affirmer, par domination, que P a
n+1n + 1 est absolument convergente. . . . 2
• Si P a
n+1n + 1 est absolument convergente alors l’in´egalit´e
c
nn + 1 6
a
n+1n + 1
+ |c
n− c
n+1| prouve de mˆeme que la s´erie P c
nn + 1 est absolument convergente. . . 1 Conclusion : on a bien l’´equivalence P a
n+1n + 1 A.C. ⇔ P c
nn + 1 A.C.
Partie V 21
V.1. Il suffit de prouver que Q et V sont des sous-espaces vectoriels de C
Net pour cela, on utilise le fait que ∆ et ∆
2sont des applications lin´eaires et l’in´egalit´e triangulaire. . . 2 V.2. N
1est d´efinie sur Q mais pas sur V, par contre N
2est d´efinie sur Q et sur V. L’homog´en´eit´e
et l’in´egalit´e triangulaire sont imm´ediates.
Montrons les implications N
1(a
n) = 0 ⇒ (a
n) = 0 et N
2(a
n) = 0 ⇒ (a
n) = 0 : N
1(a
n) ⇔
X
+∞n=1
∆a
n= 0 et ∀n ∈ N
∗, ∆
2(a
n) = 0
! . La premi`ere condition entraˆıne que lim
n→+∞
a
n= 0 (car a
0= 0), la deuxi`eme permet de dire que a
n= na
1(par r´ecurrence) d’o` u a
n= 0 pour tout n. . . 3 N
2(a
n) = 0 ⇒ (a
n) constante et comme a
0= 0, (a
n) = 0. . . 1 Conclusion : N
1est une norme sur Q, N
2est une norme sur Q et V .
Ensuite, vu l’in´egalit´e du III.2 , on a N
2(a
n) 6 2N
1(a
n) pour (a
n) ∈ Q. . . 1 Cherchons maintenant une suite (a
n) ∈ V telle que (a
n) ∈ Q, on posera alors / a
mla suite d´efinie par a
mn=
( a
nsi n 6 m
0 si n > m . a
m∈ Q, N
2(a
mn) sera born´ee et N
1(a
mn) tendra vers l’infini.
Pour cela, on prend a
1=
+∞P
p=1
(−1)
n+1n
2, b
n− b
n+1= (−1)
nn
2i.e. b
n+1= −a
1+ P
np=1
(−1)
n+1n
2. Grˆace au th´eor`eme des s´eries altern´ees, on sait que |b
n+1| 6 1
(n + 1)
2donc (a
n) ∈ V , puis n|d
n| = n|b
n− b
n+1| = 1
n donc P
n|d
n| diverge. N
2(a
mn) 6 +∞P
n=1
|b
n| et N
1(a
mn) >
m−2
P
n=1
n|d
n| → +∞ c.q.f.d.. . . 7 V.3. On a vu au IV.2 que si (a
n) ∈ V alors (c
n) ∈ Q donc I est bien d´efinie. I est ´evidemment
une application lin´eaire. . . 1
Grˆace au IV.1 , on a N
2(I(a
n)) 6 N
2(a
n) donc I est bien continue dans le cas o` u on munit Q l’espace d’arriv´ee de la norme N
2. . . 2 Grˆace au IV.2 , on a
N
1(c
n) =
X
+∞n=1
∆c
n+ X
+∞n=1
n|∆
2c
n|
6
X
+∞n=1
|∆c
n| + 3 X
+∞n=1
|∆a
n| + |∆
2c
1| grˆace au IV.2
6 4 X+∞
n=1
+ ∆
2c
1| {z }
=
1 2
|a2−a1|6 9 2
X
+∞n=1
|∆a
n|
donc I est aussi continue dans le cas o` u on munit Q de la norme N
1. . . 4 Partie VI 15
VI.1. Pour la premi`ere relation, on proc`ede par r´ecurrence, 1 6 1+ln 1 puis, `a l’aide de l’in´egalit´e ln(1 + x) 6 x on a
1
p + 1 6 − ln
1 − 1
p + 1
= ln p + 1 p
ce qui permet de passer de la propri´et´e `a l’ordre p `a l’ordre p + 1 donc X
pm=1
1
m 6 1 + ln p . 2
Remarque : on peut aussi utiliser la comparaison s´erie-int´egrale...
Ensuite, grˆace `a
|a| − |b|
6 |a − b| on a
|a
pln p − a
p+1ln(p + 1)| − |a
p− a
p+1| ln p
6 |a
p+1| ln
1 + 1 p
6 |ap+1|
p . 2
VI.2. • Supposons que les s´eries P a
nn et P
(a
nln n − a
n+1ln(n + 1)) sont absolument conver- gentes alors, en utilisant la deuxi`eme in´egalit´e ci-dessus, on a
|a
p− a
p+1| ln p 6 |a
p+1|
p + |a
pln p − a
p+1ln(p + 1)|
donc P
(a
p− a
p+1) ln p est absolument convergente.
Puis, la convergence de P
(a
pln p − a
p+1ln(p + 1) entraˆıne la convergence de la suite (a
nln n). Si cette limite l est non nulle alors P a
pp diverge (a
n∼ l
n ln n ), ce qui est impossible.
Conclusion : P
(a
p− a
p+1) ln p est absolument convergente et a
nln n → 0 . . . 3
• La suite (a
nln n) converge vers 0 et la s´erie P
(a
n+1− a
n+2) ln(n + 1) est absolument convergente. On a alors
X
Nn=1
|a
n| n 6
X
Nn=1
1 n
N−1
X
p=n
|a
p− a
p+1| + |a
N|
!
6
N−1
X
p=1
|a
p− a
p+1| X
pn=1
1
n + |a
n| X
Nn=1
1 n
6
N−1
X
p=1
|a
p− a
p+1|(1 + ln p) + |a
N|(1 + ln N )
ce qui permet de dire que P |a
n|
n converge, il en est de mˆeme de P |a
n+1|
n . On utilise alors la deuxi`eme relation du V qui donne
|a
pln p − a
p+1ln(p + 1)| 6 |a
p− a
p+1| ln p + |a
p+1| p et on peut conclure que P
a
pln p − a
p+1ln(p + 1) converge . . . 7 Remarque : on peut aussi utiliser l’in´egalit´e 1
n 6 − ln(1 −
n1) = ln n − ln(n − 1) d’o` u X
Nn=2
|a
n| n 6
X
Nn=2
|a
n| ln n −
N−1
X
n=1
|a
n+1| ln n
6 |aN| ln N +
N−1
X
n=1
(|a
n| − |a
n+1|
| {z }
6
|an−an+1|) ln n
6 |aN| ln N
| {z }
→0
+
N−1
X
n=1
|a
n− a
n+1| ln n
| {z }
converge
