SP ´ECIALE MP* : CORRIG ´E DU DEVOIR SURVEILL ´E POLYN ˆOMES ORTHOGONAUX

SP ´ ECIALE MP* : CORRIG ´ E DU DEVOIR SURVEILL ´ E

POLYN ˆ OMES ORTHOGONAUX Partie I : ´ Etude alg´ ebrique 21 I.1. V´erification simple.

• L est un endomorphisme de C [X] grˆace `a la lin´earit´e de la d´erivation. . . 1

• L induit un endomorphisme de C _n [X] : en effet, comme deg P ^′′ 6 deg P − 2 alors deg AP ^{′′ 6} deg P ⁶ n, de mˆeme deg BP ^{′ 6} n. . . 1 Dans la suite on notera L n l’endomorphisme induit par L sur C _n [X]

I.2. a. En calculant les images des ´el´ements de la base { 1, X, X ² } par L , on obtient la matrice M =





0 β 0 2α 0

0 β ₁ 2α 1 + 2β 0

0 0 2α 2 + 2β 1



. . . 2

b. On v´erifie, avec l’hypoth`ese de l’´enonc´e, que les valeurs propres de M sont deux `a deux distinctes et donc M est diagonalisable. . . 2 I.3. a. Dans ce cas L 2 ou M est diagonalisable, avec pour valeurs propres { 0, β 1 , 2β 1 } et on

obtient simplement une base de vecteurs propres : 1 associ´e `a 0, B associ´e `a β ₁ et P = β 1 X ² + 2β 0 X + β ₀ ²

β ₁ + α 0 = 1

β ₁ (AB ^′ + B ² ) associ´e `a 2β 1 .. . . 3 b. Ici β ₁ est valeur propre double de M. M est diagonalisable si et seulement si le sous

espace propre associ´e est de dimension 2. Ce sous espace est d´efini par les ´equations :

− β ₁ a + β ₀ b − 2α 2 c = 0 2β 0 c = 0

Si β 0 6 = 0 il est de dimension 1, seul β 0 = 0 donne un plan propre d’´equation

− β ₁ a − 2α ₂ c = 0.

Conclusion : L est diagonalisable ssi β 0 = 0. . . 3 I.4. a. L (X ^k ) est un polynˆome de degr´e ⁶ k, avec pour terme de degr´e k : k((k − 1)α 2 +β 1 )X ^k .

La matrice de L ⁿ dans la base canonique de C _n [X] est triangulaire sup´erieure de coefficients diagonaux 0, β 1 , 2(α 2 + β ₁ ), 3(2α 2 + β ₁ ), · · · , n((n − 1)α 2 + β ₁ ). Ce sont les valeurs propres de L n . L’hypoth`ese (i) permet de prouver que ces n + 1 valeurs sont deux `a deux distinctes ; en effet, si λ _k = k((k − 1)α 2 + β ₁ ), la condition λ _j = λ _k

´equivaut `a (j − k)[(j + k − 1)α 2 + β ₁ ] = 0 ce qui n’est pas v´erifi´e pour j 6 = k. Donc L induit un endomorphisme diagonalisable sur C _n [X]. . . 3 b. Pour tout n, on pose λ n = n((n − 1)α 2 + β 1 ) et soit Π n un polynˆome propre associ´e.

Π n est de degr´e n car L ⁿ et L ^{n − 1} sont diagonalisables et Π 0 , Π 1 , · · · , Π n − 1 forment une base de C _{n − 1} [X]. . . 3 Si P appartenant `a Ker( L − λ <sub>n</sub> Id <sup>C</sup> [X ] ) est de degr´e k, alors P est vecteur propre de L k associ´e `a λ _n . Comme les sous espaces propres de L k sont de dimension 1, on a n = k et P proportionnel `a Π n . On a donc dim Ker( L − λ _n Id C [X ] ) = 1. . . 2 c. (Π n ) n∈N est une famille de C [X] telle que deg Π n = n, c’est une base de C [X]. . . 1

1

Partie II : Orthogonalit´ e des polynˆ omes Π n 21 II.1. a. On remarque tout d’abord que H _ω ⊂ C (J, C ). On v´erifie alors que

• H _ω 6 = ∅ ,

• H _ω stable par multiplication externe,

• H _ω stable par + : si (f, g) ∈ H _ω ² on ´ecrit que

| f + g | ^{2 6} ( | f | + | g | ) ^{2 6} 2( | f | ² + | g | ² )

d’o` u ω(f + g) ² est int´egrable sur J. . . 2 b. (f | g) est bien d´efini car, vu la question pr´ec´edente, f g ∈ H ω . . . 1 On v´erifie imm´ediatement les trois propri´et´es : (f | .) lin´eaire, (f | g ) = (g | f ) puis fina- lement (f | f ) =

Z

J | f | ² ω > 0 et (f | f ) = 0 ⇔ f = 0. . . 1 II.2. On remarque tout d’abord que les polynˆomes Π n sont `a coefficients r´eels et que les λ _n

sont des r´eels. En effet la matrice de L dans la base canonique est triangulaire r´eelle avec ses valeurs propres toutes r´eelles.

Notons K _n,m l’int´egrale R b

a ωΠ _n Π _m . Par d´efinition de Π _m , λ _m K _n,m =

Z b a

ωΠ _n (AΠ ^′′ _m + BΠ ^′ _m ) = Z b

a

ωAΠ _n Π ^′′ _m + (ω ^′ A + ωA ^′ )Π _n Π ^′ _m en utilisant (ii). On fait alors une I.P.P. en utilisant (iii) pour la partie int´egr´ee :

λ m K n,m = Z b

a

Π n [ωAΠ ^′′ _m + (ω ^′ A + ωA ^′ )Π ^′ _m ] = − Z b

a

ωAΠ ^′ _n Π ^′ _m .

Par sym´etrie de cette derni`ere expression en n et m on a λ _m K _n,m = λ _n K _n,m . On en d´eduit alors, pour n 6 = m, K n,m = 0 car λ n 6 = λ m . . . 5 II.3. a. On sait que x ⁿ exp _2α ^x

_β

→ 0 en ±∞ grˆace `a la condition α ₀ β ₁ < 0 donc

B (x) ⁿ

| {z }

∼β

x

exp _2α ^B(x)

_β

→ 0 et par cons´equent la condition (iii) est satisfaite. Ceci nous permet aussi d’affirmer que les polynˆomes sont des ´el´ements de H ω .

Enfin d

dx ω(x)

A(x) + ω(x) d

dx A(x)

= B(x)

α ₀ ω(x)A(x) = ω(x)B(x) . . . 2 b. La propri´et´e (i) est v´erifi´ee, donc les polynˆomes Π n du I sont d´efinis.

La condition (ii) se traduit par l’´equation diff´erentielle : ω ^′ (x ² − 1) − ω((p + q)x + p − q) = 0.

La r´esolution sur ] − 1, 1[ conduit `a ω(x) = k(1 − x) <sup>p</sup> (x + 1) <sup>q</sup> avec k > 0. . . 2 Les hypoth`eses p + 1 > 0, q + 1 > 0 donnent la propri´et´e (iii) et l’int´egrabilit´e de chaque fonction x 7→ x ^k ω(x) sur J. . . 1 c. Ici (ii) se traduit par l’´equation diff´erentielle :

α 1 ω ^′ (x − ρ) − ω(β 1 x + β 0 − α 1 ) = 0.

La r´esolution sur ]ρ, + ∞ [ conduit `a ω(x) = ke

β

x

α

(x − ρ)

B(ρ) − α

α

avec k > 0.. . . 2 Quand x → + ∞ , ω(x)x ⁿ A(x) tend vers 0 car α ₁ β ₁ < 0, et quand x → ρ, ω(x)x ⁿ A(x) admet 0 pour limite ssi B (ρ)

α ₁ > 0. La condition (iii) est v´erifi´ee ssi B(ρ)

α ₁ > 0. . . . 2

Soit P (x) = a _n x ⁿ + · · · + a ₀ , on s’int´eresse `a l’int´egrabilit´e de ωP ² sur ]ρ, + ∞ [ :

• en + ∞ c’est imm´ediat car a ² _n x ⁿ⁺² ω(x) → 0 ;. . . 1

• en ρ on distingue 2 cas :

– ρ = 0 : ω(x)P ² (x) ∼ ₀ ka ² _n x ²ⁿ x ^{− 1+β}

^/α

qui est int´egrable ; . . . 1 – ρ 6 = 0 : ω(x)P ² (x) ∼

ρ ke ^β

^/α

a ² _n ρ ²ⁿ (x − ρ) ^−1+β

^/α

qui est int´egrable. . . 1 Partie III : Rodrigues et les fonctions g´ en´ eratrices 48

III.1. a. On fait r´ecurrence sur p en utilisant la relation (ii) et le caract`ere C ¹ de ω.

• p = 0 : pour tout n ^> 0, ωA ⁿ est continue sur J .

• p = 1 : pour tout n ^> 1, ωA ⁿ est de classe C ¹ sur J et

(ωA ⁿ ) ^′ = ((ωA)A ^{n − 1} ) ^′ = (ωB)A ^{n − 1} + (n − 1)(ωA)A ^{n − 2} A ^′ = ωA ^{n − 1} B + (n − 1)A ^′ . C’est la forme voulue avec Q _n,1 = B + (n − 1)A ^′ polynˆome de degr´e 1. . . 2

• Soit p > 2. Supposons que, pour tout n > p, ωA ⁿ soit de classe C ^p sur J et que (ωA ⁿ ) ^(p) = ωA ^{n − p} Q _n,p o` u Q _n,p est un polynˆome de degr´e p.

Lorsque n ^> p + 1, la relation ci-dessus peut ˆetre d´eriv´ee une fois de plus et (ωA ⁿ ) ^(p+1) = ωA ^n−p−1 Q _n − p,1 Q _n,p + AQ ^′ _n,p

ce qui a la forme souhait´ee avec Q _n,p+1 = Q _n − p,1 Q _n,p + AQ ^′ _n,p . . . 2 C’est un polynˆome de degr´e p au plus. Le coefficient du terme de degr´e p ´etant k _n,p (β 1 + 2(n − p)α 2 + pα ₂ ) o` u k <sub>n,p</sub> d´esigne le coefficient dominant de Q <sub>n,p</sub> ; d’apr`es (i) ce terme est non nul et Q _n,p est de degr´e exactement p. . . 2 b. On a ωQ _n,n = (ωA ⁿ ) ⁽ⁿ⁾ .

• Si n > m, on calcule (Q n,n | Π m ) par int´egrations par parties successives en tenant compte de (iii) pour les parties int´egr´ees :

(Q n,n | Π m ) = Z

J

(ωA ⁿ ) ⁽ⁿ⁾ Π m = − Z

J

(ωA ⁿ ) ⁽ⁿ⁻¹⁾ Π ^′ _m = · · · = ( − 1) ⁿ Z

J

(ωA ⁿ ) ^(n−m) Π ^(m) _m = 0. 4

• Si n < m, Π m est orthogonal `a tout polynˆome Π k avec k < m donc `a tout polynˆome de degr´e < m par cons´equent (Q n,n | Π m ) = 0. . . 2 c. Q _n,n est un polynˆome de degr´e n orthogonal `a tout polynˆome de degr´e < n, donc Q _n,n

est proportionnel `a Π n . . . 2 III.2. Dans ce cas ω est d´efinie par ω(x) = e ^{− x}

.

a. H _n+1 est d´efini par e ^−x

H _n+1 (x) = ( − 1) ⁿ⁺¹ (e ^−x

) ⁽ⁿ⁺¹⁾ . Or e ^{− x}

H _n+1 (x) = ( − 1) ⁿ⁺¹

( − 1) ⁿ e ^{− x}

H _n (x) ^′

=

2xH n (x) − H _n ^′ (x)

e ^{− x}

, d’o` u la re- lation demand´ee. . . 2 b. Se d´emontre facilement par r´ecurrence avec a . . . 2 c. Pour x fix´e dans R , on consid`ere l’application f _x : t 7→ e ^{− (x − t)}

. f _x est d´eveloppable

en s´erie enti`ere sur R comme produit de fonctions DSE (f x (t) = e ^{− x}

e ^2xt e ^{− t}

). f _x est donc somme de sa s´erie de Taylor : pour t ∈ R f x (t) =

P ∞ 0

f x ⁽ⁿ⁾ (0) n! t ⁿ =

P ∞ 0

e ^{− x}

H n (x) n! t ⁿ ce qui donne la relation de l’´enonc´e. . . 4 d. A partir de ` e ^{2xt − t}

=

X ∞

0

(2xt − t ² ) ⁿ

n! on obtient H 5 en recherchant le terme de degr´e

5 en t ; H ₅ (x) = 8x(2x ⁴ − 10x ² + 15) = 32x ⁵ − 160x ³ + 120 ^x . . . . 2

III.3. a. D’apr`es la question II.3.c. dans les hypoth`eses sur A, B, J faites ici, on a ω(x) = ke ^{− x} donc L _n = Q _n,n et en conclusion, en utilisant la formule de Rodrigues, les polynˆomes L _n sont proportionnels aux Π n . . . 3 b. En utilisant le fait que d ⁿ⁺²

dx ⁿ⁺² = d ⁿ⁺¹ dx ⁿ⁺¹

d dx alors L n+2 (x) = e ^x d ⁿ⁺²

dx ⁿ⁺² e ^{− x} x ⁿ⁺²

= e ^x d ⁿ⁺¹ dx ⁿ⁺¹

− e ^{− x} x ⁿ⁺² + (n + 2)e ^{− x} x ⁿ⁺¹

| {z }

d´ eriv´ ee de e

x

d’o` u : e ^x d ⁿ⁺¹

dx ⁿ⁺¹ (e ^{− x} x ⁿ⁺² ) = − L _n+2 (x) + (n + 2)L n+1 (x) (R n+2 ).

Grˆace `a la formule de Leibniz on a e ^x d ⁿ⁺¹

dx ⁿ⁺¹

x(e ^{− x} x ⁿ⁺¹ )

= e ^x x d ⁿ⁺¹

dx ⁿ⁺¹ e ^{− x} x ⁿ⁺¹

+ (n + 1)e ^x d ⁿ

dx ⁿ e ^{− x} x ⁿ⁺¹ ce qui donne la formule suivante :

− L _n+1 (x) + (n + 2)L n+1 (x) = xL _n+1 (x) + (n + 1)e ^x d ⁿ

dx ⁿ e ^{− x} x ⁿ⁺¹ et, en appliquant (R n+1 ) (donn´e `a l’ordre n + 2 ci-dessus)

− L _n+2 (x) + (n + 2)L n+1 (x) = xL _n+1 (x) + (n + 1)[ − L _n+1 (x) + (n + 1)L n (x)]

ce qui permet de conclure.. . . 5 c. Comme L _n+2 (x) = (2n + 3 − x)L _n+1 (x) − (n + 1) ² L _n (x), on a, pour x ∈ ]0, 1[, la

majoration :

| L n+2 (x) | ⁶ (2n + 3) | L n+1 (x) | + (n + 1) ² | L n (x) | . On pose M _n = sup

x∈]0,1[ | L _n (x) | d’o` u l’in´egalit´e M _n+2 ⁶ (2n + 3)M _n+1 + (n + 1) ² M _n . On d´efinit ensuite u _n = M _n

n! d’o` u

u n+2 6 2n + 3

n + 2 u n+1 + n + 1 n + 2 u n

6 2u n+1 + u n .

u 0 = 1, u 1 = 1 et si on cherche r > 1 tel que r ^{n+2 6} 2r ⁿ⁺¹ + r ⁿ (cf. suites r´ecurrentes doubles) alors r = 1+ √

2 convient et u n 6 (1+ √

2) ⁿ devient imm´ediat par r´ecurrence.

Conclusion : le rayon de convergence de la s´erie enti`ere ⁺ P ∞ n=0

L n (x)

n! t ⁿ est ^> 1 1 + √

2 . 6 Remarque : on peut aussi ´ecrire L _n (x) = P ⁿ

k=0

( − 1) ^{n − k} C _n ^k x ^{n − k} n!

(n − k)! (formule de Leibniz) d’o` u la majoration | L _n (x) | ⁶ P ⁿ

k=0

C _n ^k | x | ^k = (1 + | x | ) ^{n 6} 2 ⁿ . d. En multipliant la relation de r´ecurrence du b par t ⁿ⁺¹

(n + 1)! t ∈ ] − R _x , R _x [ et en sommant on obtient :

X ∞

n=0

L n+2 (x)

(n + 1)! t ⁿ⁺¹ + x L n+1 (x)

(n + 1)! t ⁿ⁺¹ − (2n + 3) L n+1 (x)

(n + 1)! t ⁿ⁺¹ + (n + 1) L n (x) n! t ⁿ⁺¹

= 0.

En distinguant les diff´erents termes on a X ∞

n=0

L n+2 (x)

(n + 1)! t ⁿ⁺¹ = F _x ^′ (t) − F _x ^′ (0)

X ∞

n=0

L n+1 (x)

(n + 1)! t ⁿ⁺¹ = F _x (t) − F _x (0)

X ∞

n=0

(2n + 3) L n+1 (x)

(n + 1)! t ⁿ⁺¹ = X ∞

n=0

[2(n + 1) + 1] L n+1 (x)

(n + 1)! t ⁿ⁺¹ = 2tF _x ^′ (t) + F x (t) − F x (0) X ∞

n=0

(n + 1) L n (x)

n! t ⁿ⁺¹ = t ² F _x ^′ (t) + tF x (t) . De plus F x (0) = 1 et F _x ^′ (0) = L 1 (x) = 1 − x.

On conclut alors que F x v´erifie l’´equation diff´erentielle :

(1 − t) ² F _x ^′ (t) + (t + x − 1)F x = 0. 4

e. On obtientF _x (t) = k 1 − t e

− x

1 − t pour t ∈ ] − ∞ , 1[ ∩ ] − R _x , R _x [, avec k ∈ R en r´esolvant l’´equation diff´erentielle. Comme F x (0) = 1, k vaut e ^x et F x , fonction g´en´eratrice des L n (x), v´erifie : F x (t) = 1

1 − t e

− xt

1−t pour t ∈ ] − ∞ , 1[ ∩ ] − R x , R x [. . . 3 Ainsi, la s´erie X L _n (x)t ⁿ

n! est la s´erie de Taylor en 0 de la fonction t 7→ 1 1 − t e

− xt 1 − t . Remarquons alors qu’il y a convergence sur ] − 1, 1[ de la s´erie de Taylor de t 7→ 1

1 − t , de t 7→ − xt

1 − t , de t 7→ e

− xt

1 − t (si l’on admet le th´eor`eme sur la composition des s´eries enti`eres qui n’est pas au programme !!) et de t 7→ 1

1 − t e

− xt

1 − t (produit de s´eries enti`eres). Par suite R <sub>x</sub> est au moins ´egal `a 1. . . 2 On ne peut pas avoir R _x > 1 sinon F _x (t) aurait une limite finie pour t tendant vers 1 par valeurs inf´erieures ce qui est en contradiction avec la valeur trouv´ee pour F x (t).

On a donc R _x = 1. . . 1 Partie IV : Convergence quadratique 28

IV.1. N ω (L n ) ² = R + ∞

0 ωL ² _n = R + ∞

0 (e ^{− x} x ⁿ ) ⁽ⁿ⁾ L n (x) dx se calcule par int´egration par parties it´er´ees et donne

N ω (L n ) ² = ( − 1) ⁿ Z + ∞

0

e ^−x x ⁿ L ⁽ⁿ⁾ _n (x) dx. 3

D’apr`es la relation de r´ecurrence du III.3.b. , le polynˆome L n a ( − 1) ⁿ pour coefficient dominant donc N _ω (L n ) ² = (n!) ² . On en d´eduit Π n = ( − 1) ⁿ

n! L _n . . . 2 IV.2. a. Toujours par int´egrations par parties successives on calcule

(ϕ n | L _n ) = Z + ∞

0

(e ^{− x} x ⁿ ) ⁽ⁿ⁾ e ^{− mx} dx = · · · = m ⁿ Z + ∞

0

e ^{− x} x ⁿ e ^{− mx} dx = m ⁿ 1

(m + 1) ⁿ⁺¹ n! 2 Comme N ω (ϕ m ) ² =

Z + ∞ 0

e ^−x e ^−2mx dx on obtient : (ϕ m | Π n ) = ( − 1) ⁿ m ⁿ

(m + 1) ⁿ⁺¹ N ω (ϕ m ) = 1

√ 2m + 1 1

b. La famille (Π n ) n∈N est une famille orthonormale de H ω , posons p n (ϕ m ) =

X n

k=0

(Π k | ϕ m )Π k

alors p _n est la projection orthogonale de ϕ _m sur F _n = Vect(H k ) _k 6 n = C _n [X].

D’apr`es la question 1.

X ∞

0

(ϕ _m | Π _n ) ² = X ∞

0

m ²ⁿ

(m + 1) ²ⁿ⁺² = 1 (m + 1) ²

X ∞

0

m m + 1

2n

= 1

2m + 1 = N _ω (ϕ _m ).

On a donc ´egalit´e dans l’in´egalit´e de Bessel pour ϕ m . Or N _ω (ϕ _m − p _n (ϕ _m )) ² = N _ω (ϕ _m ) ² − N _ω (p _n (ϕ _m )) ²

= N _ω (ϕ _m ) ² − X m

k=0

| (Π _k | ϕ _m ) | ² → 0

on conclut : ϕ _m est limite dans (H ω , N _ω ), de ses projections orthogonales sur les C _n [X]

soit de X n

k=0

(Π k | ϕ m )Π k . . . 6 c. L’adh´erence de R [X] dans (H ω , N _ω ) est un s.e.v. de H _ω ; chaque ϕ _m est adh´erente `a

R [X] donc ψ = X N

0

ϕ m est adh´erente `a R [X] et est limite de ces projections orthogo- nales sur C _n [X] ce qui se traduit encore par

ψ − X n

k=0

(Π k | ψ)Π k = X N

m=0

µ m

"

ϕ m − X n

k=0

(Π k | ϕ m )Π k

#

d’o` u N _ω

ψ − P ⁿ

k=0

(Π k | ψ)Π k

6

P N

m=0 | µ _m | N _ω

ϕ _m − P ⁿ

k=0

(Π k | ϕ _m )Π k

→ 0. . . 2 IV.3. a. La continuit´e de h sur [0, 1] est simple. . . 1 b. Soit ε > 0. h ´etant continue sur le segment [0, 1], h est limite uniforme d’une suite de

fonctions polynˆomes (th. d’approximation de Weierstrass). Soit donc P polynˆome tel que ∀ x ∈ [0, 1], | h(x) − P (x) | < ε. On a alors R 1

0 (h − P ) ² < ε ² et par changement de variable R +∞

0 e ^{− t} (g(t) − P (e ^{− t} )) ² dt 6 ε ² . . . 3 IV.4. Soit f ∈ H _ω et n entier . Soit k _n la fonction d´efinie sur R ⁺ par : k _n (x) = 1 si x ∈ [0, n],

k _n (x) = 0 si x ∈ [n + 1, + ∞ [ et k _n affine sur [n, n + 1]. g _n est continue et on a alors N _ω (f − g _n ) ² =

Z + ∞ n

e ^{− t} | f (t) − g _n (t) | ² dt ⁶ Z + ∞

n

e ^{− t} | f (t) | ² dt → 0. 3 IV.5. Soit f ∈ H ω , on montre en utilisant 3. et 4. que f est adh´erente `a C [X] dans (H ω , N ω ) :

soit ε > 0

• on prend g f continue sur R ₊ , de limite nulle en + ∞ v´erifiant N ω (f − g f ) ⁶ ε :

• on choisit alors, grˆace `a 3. , un polynˆome P tel que R + ∞

0 e ^{− t} (g (t) − P (e ^{− t} )) ² dt ⁶ ε ² : en notant ψ la fonction d´efinie sur R par ψ(t) = P (e ^{− t} ) on a N ω (f − ψ) ⁶ 2ε :

• de plus, d’apr`es 2.c. , on peut choisir Q dans C [X] tel que N _ω (ψ − Q) ⁶ ε.

On a enfin N _ω (f − Q) ⁶ 3ε ce qui prouve que f est adh´erente `a C [X] dans (H ω , N _ω ).

Finalement, en reprenant l’´egalit´e du IV.2.b que l’on applique `a f, si Q ∈ C <sub>n</sub> [X] alors N <sub>ω</sub> (f − p <sub>n</sub> (f )) <sup>6</sup> N <sub>ω</sub> (f − Q) → 0 ce qui permet de conclure `a la convergence de P

(f | Π _n )Π _n

vers f dans (H ω , N _ω ). . . 5