SP ´ECIALE MP* : DEVOIR SURVEILL ´E `A toute suite de nombres complexes (a

SP ´ECIALE MP* : DEVOIR SURVEILL ´E

A toute suite de nombres complexes (a` n)n∈N on associe les suites d´efinie sur N^∗ par les relations

bn= ∆(an) = an−1−an, cn =I(an) = a1 +a2 +· · ·+an

n , dn= ∆²(an) =an−1+an+1−2an.

• On dit que (an) est `a variation born´ee si la s´erie P

bn est absolument convergente.

• On dit que (an) est quasi-convexe si la s´erie P

ndn est absolument convergente.

• On dit que (an) est convexe si elle est `a valeurs r´eelles et si le r´eel dn est positif ou nul pour toutn >1.

On utilisera aussi (sans d´emonstration) la propri´et´e suivante

N

X

n=1 n

X

p=1

a_n,p

!

=

N

X

p=1 N

X

n=p

a_n,p

!

Questions pr´eliminaires

O.1. Montrer que, si (an) est `a variation born´ee alors (an) est convergente.

O.2. Prouver l’´egalit´e

N

X

n=1

ndn =

N

X

n=1

bn−N bN+1 =

N+1

X

n=1

bn−(N + 1)bN+1.

Dans les deux premi`eres parties, (an) est une suite r´eelle.

Partie I

I.1. Donner une condition n´ecessaire et suffisante, portant sur la suite (b_n), pour que la suite (an) soit convexe.

I.2. On suppose dans cette question, qu’il existe une fonction r´eelle f, de classe C² sur R₊, `a d´eriv´ee seconde positive ou nulle sur R^∗₊, telle que an =f(n) pour tout n.

D´emontrer que (an) est convexe.

I.3. D´eterminer toutes les suites convexes (a_n) telles que les suites d´efinies par les relations a^′_n=−an soient ´egalement convexes.

I.4. D´eterminer les valeurs du r´eel strictement positifαtelles que la suitean=n^α soit convexe.

I.5. Pour tout r´eelx, on note [x] la partie enti`ere dex, c’est `a dire l’unique entier relatif tel que [x]⁶x <[x] + 1. On adopte, dans cette question, an = [n^α] o`uα est un r´eel strictement positif.

a. Y-a-t-il des valeurs de n pour lesquelles dn < 0 ? Si oui, pr´eciser ces valeurs pour n 650.

b. D´emontrer que la suite (an) est convexe pour α>2.

1

2 SP ´ECIALE MP* : DEVOIR SURVEILL ´E

Partie II

Dans cette partie, (an) est une suite convexe born´ee. On noteraA un majorant commun des r´eels |an|.

II.1. D´emontrer que la suite (bn) est convergente. D´eterminer sa limite.

II.2. D´emontrer que la suite (an) est convergente.

II.3. Soient n etp deux entiers de N^∗ tels que n>2p ; d´emontrer les relations 0⁶nb_n62(a_p−a_n).

En d´eduire les limites des suites (nb_n) et (nb_n+1).

II.4. D´emontrer l’existence et l’´egalit´e des deux membres de la relation

+∞

X

n=1

ndn=

+∞

X

n=1

bn.

Partie III

Dans cette partie, (a_n) est une suite complexe quasi-convexe born´ee. On noteraA un majo- rant commun des r´eels |an|.

III.1. D´emontrer, pour tout entier N >2, la relation

N

X

n=1

|bn|⁶|a0−aN|+ 2

N−1

X

n=1

n|dn|.

En d´eduire que (a_n) est `a variation born´ee.

III.2. D´emontrer (en justifiant l’existence des sommes des s´eries concern´ees) les relations sui- vantes

+∞

X

n=1

bn

6

+∞

X

n=1

|bn|⁶

+∞

X

n=1

bn

+ 2

+∞

X

n=1

n|dn|.

III.3. D´emontrer l’existence et l’´egalit´e des deux membres de la relation

+∞

X

n=1

nd_n=

+∞

X

n=1

b_n.

Partie IV Dans cette partie, (an) est une suite complexe.

IV.1. D´emontrer, pour n et N entiers sup´erieurs ou ´egaux `a 1, les relations

cn−cn+1 = 1

n − 1 n+ 1

ⁿ X

m=1

m(am−am+1)

N

X

n=1

|cn−cn+1|⁶

N

X

m=1

|am−am+1|.

IV.2. On suppose, dans cette question, que (an) est `a variation born´ee. Calculer, pourn entier sup´erieur ou ´egal `a 2, le nombre cn−1+cn+1−2cn en fonction de cn−1−cn etan+1−an. En d´eduire que (cn) est quasi-convexe et que l’on a la relation

+∞

X

n=2

n|cn−1+cn+1−2cn|⁶3

+∞

X

n=1

|an+1−an|.

SP ´ECIALE MP* : DEVOIR SURVEILL ´E 3

IV.3. On suppose, dans cette question, que (an) est born´ee et que (cn+1) est quasi-convexe.

D´emontrer, en utilisant le r´esultat deIII.1, que (an) est `a variation born´ee et convergente.

IV.4. On pose, dans cette question, a0 = 0, bn = 1

n² sin n’est pas une puissance de 2, bn = 1 si n est une puissance de 2. n

D´emontrer que ceci d´efinit une suite (an) v´erifiant les propri´et´es suppos´ees en IV.2 et IV.3.

Peut-on ´ecrire encore, dans ce cas, la relation

+∞

X

n=1

ndn =

+∞

X

n=1

bn ?

IV.5. On suppose, dans cette question, que (an) est `a variation born´ee. D´emontrer que les propositions

• la s´erie Pan+1

n+1 est absolument convergente,

• la s´erie P cn

n+1 est absolument convergente,

sont ´equivalentes (on ´etablira une relation simple entre a_n+1 n+ 1, c_n

n+ 1 et c_n+1−c_n).

Partie V

Dans cette partie, on donne une interpr´etation en terme d’espaces vectoriels norm´es des r´esultats des parties III, IV. On note Q l’ensemble des suites (an) quasi-convexes born´ees v´erifiant a0 = 0 etV l’ensemble des suites (an) `a variation born´ee v´erifiant a0 = 0.

V.1. Montrer que Q etV sont des espaces vectoriels.

V.2. On d´efinit, lorsque les s´eries intervenant sont convergentes,

N1(a_n) =

+∞

X

n=1

∆a_n

+

+∞

X

n=1

n|∆²a_n|

N2(an) =

+∞

X

n=1

|∆an|.

Est-ce que N1, N2 sont des normes sur Q, sur V ? Sont-elles ´equivalentes ?

V.3. Si I : (an) ∈ V 7→(cn) ∈ Q (en posant c0 = 0). Montrer que I est bien d´efinie et que I est une application lin´eaire continue.

Partie VI Dans cette partie, (an) est une suite complexe.

VI.1. D´emontrer, pour tout entier p>1, les relations

p

X

m=1

1

m ⁶1 + lnp

|aplnp−ap+1ln(p+ 1)| − |ap−ap+1|lnp ⁶

|ap+1| p . VI.2. D´emontrer l’´equivalence des propositions suivantes

• la suite (anlnn) converge vers 0 et la s´erie P

(an−an+1) lnn est absolument conver- gente,

• les s´eries Pa_n n etP

(anlnn−an+1ln(n+ 1)) sont absolument convergentes.

VI.3. Donner un exemple simple de suite (an) satisfaisant aux deux conditions ci-dessus.