SP ´ECIALE MP* : DEVOIR LIBRE

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Pr´ eambule

On d´esigne par E l’espace vectoriel sur le corps des complexes C form´e par les fonctions continues d´efinies sur R `a valeurs dans C et qui sont p´ eriodiques de p´ eriode 2π.

Pour n ∈ Z , e n ∈ E est l’´el´ement e n (x) = e ^inx , x ∈ R . ` A f et g dans E, on associe le nombre complexe :

(f | g) = 1 2π

Z π

− π

f (x)g (x) dx et on note k f k ² = p

(f | f). On admettra que (. | .) est un produit scalaire qui fait de E un espace pr´ehilbertien sur C .

On d´esigne par k . k ^∞ la norme de la convergence uniforme sur E : k f k ^∞ = sup _x ∈R | f (x) | . On admettra que E muni de cette norme est complet.

Pour N ∈ N , E N est l’espace vectoriel engendr´e par les e n pour n ∈ Z , n ∈ [ − N, N ]. On note D N l’´el´ement de E N d´efini par D N =

P N n= − N

e n et on pourra utiliser le fait que, pour x ∈ ]0, 2π[,

D N (x) = sin(N + ¹ ₂ )x sin ^x ₂ . Pour m ∈ N ^∗ , on d´esigne par F _m l’anneau Z /m Z .

Si (a _n ) _n ∈ Z ∈ C ^Z , on dit que (a _n ) _n ∈ Z est sommable si X

n > 0

| a n | et X

n > 1

| a − n | convergent

et on posera ⁺ P ∞ n= −∞

a _n = ⁺ P ∞ n=0

a _n + ⁺ P ∞ n=1

a − n .

Dans tout le probl`eme, N d´esignera un entier sup´erieur ou ´egal `a 1 qui pourra varier.

Partie I

A ` f ∈ E , on associe la suite de ses coefficients de Fourier (f n ) n ∈Z : f _n = (e _n | f ) = 1

2π Z π

− π

f (x)e ^−inx dx.

I.1. Soit (u n ) n∈ Z une famille telle que les sommes P N

n= − N | u n | soient born´ees, on d´esigne par S N l’´el´ement de E : S N = P N

n= − N u n e n . Montrer que (S N ) _N > 1 converge vers un ´el´ement u de E pour la norme k . k ^∞ .

Quels sont les coefficients de Fourier de u ?

I.2. Soit (u n ) n ∈Z d´efinie par u n = 0 pour n ⁶ 0, u 1 = − 1 et u n = 1

n(n − 1) pour n ^> 2.

Montrer que l’´el´ement u de E obtenu par le proc´ed´e de la question I.2 n’est pas d´erivable en x = 0 (on pourra ´ecrire, pour N ^> 2 arbitraire et x 6 = 0,

Im u(x) − u(0)

x = Im S N (x) − S N (0)

x +

+ ∞

X

n=N+1

sin nx n(n − 1)x Im z d´esignant la partie imaginaire de z ∈ C et conclure en prenant x = 1

N ).

1

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I.3. On d´esigne par Σ _N l’´el´ement de E d´efini par : Σ _N = P ^N

n=1

e n

n .

Montrer que la suite (Σ N ) _{N > 1} est de Cauchy dans E pour la norme k . k ² .

I.4. Montrer que, si la suite (Σ N ) _N > 1 converge vers σ ∈ E pour la norme k . k ² , alors, pour tout x ∈ R ,

u(x) = (e ^ix − 1)σ(x) o` u u a ´et´e d´efinie en I.2 .

I.5. D´eduire des questions I.2 et I.4 que E muni de la norme k . k ² n’est pas complet.

Partie II On notera P N f la projection de f ∈ E sur E N . II.1. a. Montrer que, pour tout x ∈ R ,

(P N f )(x) = 1 2π

Z π

−π

f (y)D N (x − y) dy b. Montrer que, pour tout x ∈ R ,

(P N f )(x) = 1 2π

Z _π

−π

f (x − y)D N (y) dy

II.2. On d´esigne par α N la borne sup´erieure de l’ensemble des nombres k P N f k ^∞ lorsque f d´ecrit la boule unit´e de (E, k . k ^∞ ).

Montrer que α N 6 √

2N + 1.

II.3. Soit L N le nombre L N = 1 2π

Z π

− π | D N (x) | dx, et, pour ε > 0, ψ _N ^ε ∈ E d´efini par : ψ _N ^ε (x) = D N (x)

p ε + D ² _N (x) , x ∈ R

Montrer, en utilisant les ψ _N ^ε que α _N ^> L _N (on pourra montrer que, pour tout y ∈ R , 0 ⁶ | y | − y ²

p ε + y ² = ε | y | p ε + y ² ( p

ε + y ² + | y | ) ⁶

√ ε).

II.4. Montrer que, lorsque N tend vers l’infini, L _N est ´equivalent `a 4 π ² ln N . II.5. Que pouvez-vous en conclure concernant l’application lin´eaire P _n ?

Partie III

On d´esigne par H 1 le sous-espace de E form´e par les ´el´ements f tels que (1 + n ² ) | f n | ² ) n ∈Z

soit sommable.

On note alors, pour f ∈ H ₁ , k f k 1 = P

n ∈ Z

(1 + n ² ) | f _n | ² 1/2

.

III.1. Montrer que, si f ∈ E est de classe C ¹ sur R , alors f ∈ H ₁ et k f k ² 1 = k f k ² 2 + k f ^′ k ² 2 . R´eciproquement, si f ∈ H 1 , f est-elle de classe C ¹ sur R ?

III.2. Montrer que k . k ¹ est une norme sur H 1 et que H 1 , muni de cette norme, est complet.

III.3. Montrer que E 1 = C ¹ ( R , C ) ∩ E est dense dans H 1 pour la norme k . k ¹ . III.4. Soit f ∈ H 1 , montrer que :

k P N f − f k ^{2 6} 1

N + 1 k f k ¹ .

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III.5. En ´ecrivant, pour g ∈ E ₁ , x et y dans R , g ² (x) − g ² (y) = 2

Z x y

g(t)g ^′ (t) dt,

montrer qu’il existe K 1 > 0 telle que, pour tout f ∈ H 1 , k f k ^{∞ 6} K 1 k f k

1 2

2 k f k

1 2

1 . III.6. En d´eduire que, pour tout f ∈ H 1 et N ^> 1,

k P N f − f k ^{∞ 6} K 1

√ N + 1 k f k ¹

et expliquer bri`evement l’int´erˆet de cette in´egalit´e en terme d’approximation de fonctions et justifier l’introduction de l’espace H 1 .

Partie IV IV.1. Montrer que, si f ∈ H ₁ , k f k 2 6 k f k 1 .

IV.2. Montrer qu’il existe une constante K 2 telle que, pour tout f ∈ H 1 , k f k ^{∞ 6} K 2 k f k ¹ . IV.3. Soit (g ^p ) p∈ N une suite d’´el´ements de H 1 telle que : ∀ p ∈ N , k g ^p k ^{1 6} 1.

a. Montrer qu’il existe une application strictement croissante ψ de N dans N telle que, pour tout n ∈ Z , la suite des produits scalaires ((g ^ψ(p) | e _n )) _p ∈ N soit convergente. On note alors ℓ n la limite de cette suite.

b. Montrer que la suite de fonctions S N , o` u S N = P N n= − N

ℓ n e n converge vers une fonction ℓ ∈ E pour la norme k . k ^∞ .

c. Montrer que ℓ ∈ H 1 .

d. Montrer, par un exemple, qu’en g´en´eral k g ^ψ(p) − ℓ k ¹ ne tend pas vers 0 lorsque p tend vers + ∞ .

Partie V On d´esigne par x _j le point 2π

2N + 1 j pour j ∈ Z . On observe que, pour tout f ∈ E, f (x _j ) ne d´epend que du reste de la division de j par 2N + 1, ce qui permet de parler de f (x j ) pour j ∈ F _2N+1 .

V.1. Montrer que la matrice carr´ee d’ordre 2N + 1 : (e ^ilx

) 0 6 l 6 2N 0 6 j 6 2N

a pour inverse la matrice 1

2N + 1 e ^−ilx

0 6 l 6 2N 0 6 j 6 2N

V.2. a. Soit f ∈ E. Montrer qu’il existe un unique ´el´ement de E N (not´e C N f ) tel que :

∀ j ∈ F _2N+1 , (C N f )(x j ) = f(x j ).

b. Montrer que C N est une application lin´eaire de E dans E N . c. Montrer que C N 6 = P N (on pourra remarquer que C N e 2N +1 = e 0 ).

V.3. On d´esigne par E ^2N+1 l’ensemble des applications de F _2N+1 dans C , on note (z k ) k∈ F

ces applications.

a. A ` z ∈ E ^2N+1 , on associe l’application z b : k 7→ z b k de Z dans C d´efinie par : z b l = 1

2N + 1 X

k ∈ F

e ^{− ilx}

z k .

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Montrer que z b _l ne d´epend que du reste de la division de l par 2N + 1. Ceci nous permet de consid´erer b z comme un ´el´ement de E ^2N+1 .

b. On dit alors que b z est la transform´ee de Fourier discr`ete (T.F.D.) de z. On note ϕ = (ϕ k ) k ∈F

la T.F.D. de l’application j 7→ f (x j ). Montrer que :

C N f = X N

k= − N

ϕ k ˇ e k

o` u ˇ k est le reste de la division de k par 2N + 1.

V.4. Soit h ∈ E _2N , montrer que : 1 2π

Z π

− π

h(x) dx = 1 2N + 1

X N

j= − N

h(x j ).

V.5. a. Pour f et g dans E, on note : [f, g] = 1

2N + 1 X

j∈ F

f (x j )g(x j ).

Montrer que, si f et g sont dans E _N , [f, g] = (f | g).

b. Montrer que, pour tout f, g dans E,

[f − C N f, g] = 0 c. Calculer [e n , e m ].

V.6. Soit f ∈ H 1 et l ∈ Z . Montrer que les sommes P K

k= − K | f l+(2N+1)k | sont born´ees et que : C N (f ) =

X N

l= − N

C N,l (f)e l

o` u

C N,l (f ) = lim

K → + ∞

X K

k= − K

f _l+(2N+1)k . V.7. a. Montrer que, pour tout f ∈ E, on a :

f − C N f = g N − C N g N avec g N = f − P N f.

b. Montrer qu’il existe une constante K 3 ∈ ]0, + ∞ [ telle que, pour tout f ∈ H 1 , k f − C N f k ^{2 6} K 3

N + 1 k f k ¹ .

V.8. Pour quelle raison pratique pr´ef´ere-t-on C N `a P N ?