SP´ECIALE MP* : DEVOIR LIBRE
EQUATIONS DIFF´´ ERENTIELLES DU TYPE DE FUCHS Les trois parties de ce probl`eme sont ind´ependantes
Partie I
Sia et b sont deux nombres r´eels, on s’int´eresse `a l’´equation diff´erentielle :
(E) x2d2y
dx2 +axdy
dx +by= 0
I.1. a. Rappeler pourquoi l’ensemble des solutions de (E) sur ]0,+∞[ est un sous-espace de dimension 2 de l’espace vectoriel des fonctions r´eelles de classe C2 sur ]0,+∞[.
b. On rappelle qu’une application Φ de ]0,+∞[ dansCest une solution complexe de (E) ssi les fonctions r´eelles ℜΦ et ℑΦ sont des solutions de (E).
Montrer que l’ensemble des solutions complexes de (E) sur ]0,+∞[ est un espace vectoriel complexe de dimension 2.
I.2. A quelle condition l’´equation (E) admet-elle des solutions polynomiales ? Pr´eciser alors ces solutions.
I.3. En effectuant le changement de variable x=et, r´esoudre l’´equation (E) ; pr´eciser la forme g´en´erale des solutions r´eelles sur ]0,+∞[.
Partie II
Soient a(x) = + P∞ n=0
anxn et b(x) = + P∞ n=0
bnxn les sommes de deux s´eries enti`eres `a coefficients r´eels dont les rayons de convergence sont sup´erieurs ou ´egaux `a R >0.
On s’int´eresse dans cette partie `a l’´equation diff´erentielle (F) sur l’intervalle ]0,+R[ :
(F) x2d2y
dx2 +a(x)xdy
dx +b(x)y= 0
On rappelle que, si x est un r´eel strictement positif et k un nombre complexe, la notation xk est mise `a la place de exp(klnx).
II.1. Soient k un nombre complexe et c(x) =
+P∞ n=0
cnxn la somme d’une s´erie enti`ere complexe de rayon de convergence diff´erent de 0. On suppose que c0 = 1.
a. Montrer que, si la fonction y = c(x)xk est une solution complexe de (F) sur un intervalle ]0, R′[, le nombre complexe k est racine d’une ´equation du second degr´e que l’on ´ecrira.
b. Montrer que, sous cette hypoth`ese, les nombres cn v´erifient une suite de relations que l’on pr´ecisera et que l’on appellera (P).
II.2. Soit k une racine de l’´equation (C) :
(C) k2 + (a0−1)k+b0 = 0
a. On suppose que ∆ = (a0−1)2−4b0 n’est pas le carr´e d’un nombre entier non nul.
Montrer qu’il existe une suite de nombres complexes et une seule v´erifiant : c0 = 1
1
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ainsi que les relations de r´ecurrence (P) ´etablies en II . 1˚b.
b. Si ∆ =p2 o`u p∈N∗, donner une C.N.S. pour qu’il existe une suite (cn) v´erifiant (P) associ´ee `a k o`uk est la plus petite racine r´eelle de l’´equation (C).
Montrer que, de toutes fa¸cons, on peut trouver une suite (cn) v´erifiant (P).
II.3. a. Soit (cn) une des suites construites `a la question pr´ec´edente. On d´esigne par dn le module du nombre cn ; montrer que la suite des nombres r´eels positifs (dn) v´erifie les in´egalit´es :
n|n+ 2k+a0−1|dn6
n−1X
m=0
dm(|bn−m|+|k+m|.|an−m|) pour tout entier sup´erieur ou ´egal `a 1.
b. Montrer que, pour tout nombre positif δ < R, il existe un entiern0 tel que, pour tout n >n0, on ait :
dnδn6 sup
m∈[0,n−1]
(dmδm).
II.4. a. Montrer qu’il existe un nombre complexe k et une s´erie enti`ere complexe de rayon de convergence sup´erieur ou ´egal `a R, de somme c(x), tels que la fonction y = c(x)xk soit solution de (F) sur ]0, R[.
b. Pr´eciser alors la forme de toutes les solutions de (F) au voisinage de 0 selon les cas rencontr´es.
Partie III
Soient a1, . . . , ap, pnombres r´eels tous diff´erents et P le polynˆome d´efini par : P(x) =
Yp
i=1
(x−ai).
Soient Q etR deux polynˆomes `a coefficients r´eels.
On s’int´eresse ici `a l’´equation diff´erentielle (Φ) :
(Φ) [P(x)]2d2y
dx2 +P(x)Q(x)dy
dx+R(x)y = 0 III.1. Soit ai l’un des nombres a1, . . . , ap.
a. Montrer que y est une solution de (Φ) sur ]ai, ai+ε[ ssi la fonction d´efinie par z(t) = y(t+ai) est solution sur l’intervalle ]0, ε[ de l’´equation diff´erentielle (Fi) :
(Fi) t2.d2z
dt2 +t.Ai(t).dz
dt +Bi(t).z = 0 o`u Ai etBi sont des fractions rationnelles que l’on pr´ecisera.
b. Montrer qu’il existe un r´eel strictement positif Ri tel que les fonctions Ai etBi soient d´eveloppables en s´erie enti`ere sur ]−Ri,+Ri[.
c. On appelle valeurs caract´eristiques en ai de l’´equation (Φ) les deux racines de l’´equation du second degr´e :
k2 + (a0−1)k+b0 = 0 o`u a0 =Ai(0) et b0 =Bi(0).
Exprimer la somme des deux valeurs caract´eristiques en ai `a l’aide des polynˆomes P et Q.
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III.2. a. Montrer que yest solution de (Φ) sur ]S,+∞[ o`uS = max(0,max(ai)) ssi la fonction z d´efinie parz(t) =y(1/t) est solution sur l’intervalle ]0,1/S[ (]0,+∞[ siS = 0) d’une
´equation diff´erentielle ( ˜Φ) :
( ˜Φ) t2.d2z
dt2 + ˜A(t).t.dz
dt + ˜B(t).z = 0 o`u ˜A et ˜B sont des fractions rationnelles.
b. Trouver une condition n´ecessaire et suffisante sur les degr´es de P, Q et R pour que les fonctions ˜A et ˜B soient d´eveloppables en s´erie enti`ere au voisinage de 0.
c. Cette condition ´etant remplie, on appelle valeur caract´eristique `a l’infini de l’´equation (Φ) les valeurs caract´eristiques en 0 de l’´equation ( ˜Φ).
Quelle est leur somme ?
III.3. Quelle est la somme de toutes les valeurs caract´eristiques de l’´equation diff´erentielle (Φ) en tous les points ai et `a l’infini ?
III.4. On consid`ere le polynˆome P(x) =x(x−1).
D´eterminer des polynˆomes Q et R tels que les valeurs caract´eristiques de l’´equation diff´erentielle (Φ) correspondante soient respectivement :
• 0 et 0 au point 0,
• 0 et 0 au point 1,
• 1/2 et 1/2 `a l’infini.
III.5. Soit (Φ′) l’´equation diff´erentielle obtenue en 4˚. En trouver une solution d´eveloppable en s´erie enti`ere au voisinage de 1 (i.e. y= +
P∞ n=0
an(x−1)n).
Existe-t-il une solution (non nulle !) de (Φ′) d´efinie sur ]0,+∞[ ?
