SP ´ ECIALE MP* : DEVOIR LIBRE

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D´ eveloppements asymptotiques de restes de s´ eries convergentes, de sommes partielles de s´ eries divergentes. Applications ` a la formule de Stirling et ` a la constante d’Euler.

Dans le probl`eme on utilisera les r´esultat suivants : Pour tout r´eel x ∈ ] − 1, 1[, tout r´eel α alors

(1 + x) ^α = 1 + αx + α(α − 1)

2 x ² + · · · + α

k

k! x ^k + · · · o` u

α k

= α(α − 1)(. . .)(α − k + 1)

k! d´esigne le coefficient binomial g´en´eralis´e et

1

2 ln 1 + x

1 − x = x + x ³

3 + · · · + x ²ⁿ⁺¹

2n + 1 + · · · . Partie I

D´ eveloppements asymptotiques de restes de s´ eries convergentes, th´ eor` eme g´ en´ eral I.1. Soient :

(ε _n ) une suite de limite 0 lorsque n → + ∞ ,

p un entier fixe positif ou nul et p + 1 r´eels λ 0 , λ 1 , . . . , λ p fix´es, α un r´eel strictement sup´erieur `a 1.

On pose, si n ^> 1,

u n = λ 0

n ^α + λ 1

n ^α+1 + · · · + λ p

n ^α+p + ε n

n ^α+p . La s´erie de terme g´en´eral u n est convergente, soit :

r n =

+ ∞

X

k=n+1

u k .

Montrer qu’il existe des r´eels fixes µ 0 , µ 1 , . . . , µ p tels que : r n = µ 0

n ^{α − 1} + µ 1

n ^α + · · · + µ p

n ^{α+p − 1} + ε ^′ _n n ^{α+p − 1} , (ε ^′ _n ) d´esignant une nouvelle suite de limite 0 lorsque n → + ∞ . On pourra pour cela poser :

a _n = µ 0

n ^{α − 1} + µ 1

n ^α + · · · + µ p

n ^{α+p − 1} ,

et d´eterminer les coefficients µ 0 , µ 1 , . . . , µ p de fa¸con que, si l’on pose : v n = u n + a n − a n − 1 ,

on ait :

v n = ε ^′ _n

n ^α+p , lim

n → + ∞ ε ^′ _n = 0.

On donnera les ´equations explicites fournissant les λ _k en fonction des µ _i .

1

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I.2. Application num´erique : Posons :

u _n = 2( √ n − √

n − 1) − 1

√ n . Calculer λ ₀ , λ ₁ , λ ₂ tels que :

u n = λ 0

n ^3/2 + λ 1

n ^5/2 + λ 2

n ^7/2 + ε n

n ^7/2 avec lim

n → + ∞ ε n = 0.

D´eterminer ensuite µ 0 , µ 1 , µ 2 tels que : r n =

+ ∞

X

k=n+1

u k = µ 0

n ^1/2 + µ 1

n ^3/2 + µ 2

n ^5/2 + ε ^′ _n

n ^5/2 avec lim

n → + ∞ ε ^′ _n = 0.

Partie II

D´ eveloppement asymptotique de n! , formule de Stirling g´ en´ eralis´ ee On pose, pour tout entier n ^> 1,

a n = n!

n ⁿ⁺

e ^{− n} , b n = ln a n .

II.1. On pose, les notations ´etant celles de la partie I, a ^′ _n = a n

√ 2π , b ^′ _n = ln a ^′ _n . On a donc, d’apr`es les r´esultats de la partie I,

n → lim + ∞ b ^′ _n = 0.

Montrer que :

b ^′ _n =

+ ∞

X

k=n+1

t k .

II.2. En utilisant la partie I, montrer que b ^′ _n admet un d´eveloppement limit´e `a n’importe quel ordre selon les puissances de 1

n . Calculer les r´eels µ 0 , µ 1 , µ 2 tels que : b ^′ _n = µ 0

n + µ 1

n ² + µ 2

n ³ + ε ^′ _n

n ³ avec lim

n → + ∞ ε ^′ _n = 0.

En d´eduire que : ln n! =

n + 1

2

ln n − n + 1

2 ln(2π) + µ 0

n + µ 1

n ² + µ 2

n ³ + ε ^′ _n n ³

et donner le d´eveloppement asymptotique de n! avec un maximum de termes exacts.

Partie III

Recherche d’un d´ eveloppement asymptotique de u n =

n

P

k=1

1

k − ln n III.1. Montrer que u n admet un d´eveloppement asymptotique de la forme :

u n = γ + α 1

n + · · · + α p

n ^p + O 1

n ^p+1

.

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III.2. Pour am´eliorer la convergence de la suite u _n , on cherche un algorithme qui, `a partir des valeurs u n , u n+1 ,..., u n+p , permet d’obtenir une nouvelle suite v n qui converge plus rapi- dement vers γ (sans avoir pour cela `a calculer les coefficients successifs du d´eveloppement asymptotique de u n ).

a. On pose R ¹ (u n ) = − nu n + (n + 1)u n+1 , montrer que R ¹ (u n ) = γ + O 1

n ²

. b. On pose R ^p (u _n ) =

p

P

i=0

( − 1) ^i+p (n + i) ^p

i!(p − i)! u _n+i . Prouver que R ^p (u _n ) = γ + O 1

n ^p+1

. c. Ecrire l’algorithme permettant de calculer les valeurs de ´ R ³ (u 10 ), R ³ (u 20 ), R ³ (u 1000 )

et pr´esenter les r´esultats obtenus; que remarque-t-on ? (On pr´ecisera la machine utilis´ee et la pr´ecision des calculs.)

Partie IV Calcul de γ avec la suite

v _n = 1 + 1/2 + · · · + 1/n − ln(n + 1/2) IV.1. On pose w n,r = v n −

r

P

i=1

α _i (n + 1/2) ²ⁱ . a. Montrer que 1

(n − 1/2) ²ⁱ − 1

(n + 1/2) ²ⁱ = 1 n ²ⁱ

+ ∞

X

k=0

2(i + k) 2k + 1

1 2 ^2k n ^2k+1 . b. En d´eduire que w n − 1,r − w n,r = ⁺

∞

P

p=1

a p

(2p + 1)2 ^2p n ^2p+1 avec a p = 1 − (2p + 1)

min(r,p)

P

i=1

b i,p α i

et l’on demande de donner la valeur des b i,p .

c. Montrer qu’il existe (α 1 , α 2 , . . . , α r ) uniques tels que w n − 1,r − w n,r = O _n

¹

. d. En d´eduire alors que pour les (α _i ) calcul´es ci-dessus, on a

v n = γ +

r

X

i=1

α i

(n + 1/2) ²ⁱ + O 1

n ^2r+2

.

IV.2. On veut maintenant utiliser une m´ethode analogue `a celle de Romberg (utilis´ee pour le calcul d’int´egrales) pour calculer une valeur approch´ee de γ.

a. Donner en fonction des α i , i ∈ [1, r] le d´eveloppement asymptotique de 9v 3n+1 − v n

8 .

b. Soit k _n la suite d´efinie par k ₀ = 0 et k _n+1 = 3k _n + 1 ; donner l’expression de k _n en fonction de n.

c. On pose alors t _n,1 = v _k

, t _n,2 = 9t _n+1,1 − t _n,1

8 et par r´ecurrence : t _n,k+1 = 3 ^2k t _n+1,k − t _n,k

3 ^2k − 1 . Ecrire le d´eveloppement en ´ 1

3 ^2k de t n,1 , t n,2 jusqu’au terme en 1 3 ^2rn . En d´eduire par r´ecurrence sur k que

t n,k = γ + α ^(k) _k

3 ^2kn + α _k+1 ^(k)

3 ^2(k+1)n + · · · + α r ^(k)

3 ^2rn + O

1 3 ^(2r+2)n

. On ne demande pas de calculer les α ^(k) p !

d. Ecrire enfin un algorithme permettant de calculer les ´ t _n,k pour 1 ⁶ k ⁶ 4 et 1 ⁶ n ⁶

4 − k + 1 et pr´esenter les r´esultats dans un tableau.