SP ´ECIALE MP* : CORRIG ´E DU DEVOIR SURVEILL ´E Partie I 45 I.1. Tout d’abord, ϕ = 0 et ϕ = c

Partie I 45

I.1. Tout d’abord, ϕ = 0 et ϕ = c i sont bien des formes multiplicatives.

ϕ(e i .e i ) = ϕ(e i ) ² = ϕ(e i ) i.e. ϕ(e i ) = 0 ou 1. On a alors 2 cas :

• soit ∀i ∈ [1, n] : ϕ(e i ) = 0 et donc ϕ = 0,

• soit ∃i 0 ∈ [1, n] : ϕ(e i

) = 1 et alors, pour j 6= i 0 ϕ(e i

.e j ) = 0 = ϕ(e i

).ϕ(e j ) d’o` u ϕ(e j ) = 0

donc les seules formes multiplicatives non nulles sont les c i . . . 3 I.2. a. ϕ ◦ f (xy) = ϕ(f (x)f (y)) = ϕ(f(x))ϕ(f (y)) = ϕ ◦ f (x).ϕ ◦ f(y) et comme f est

surjective, il existe x dans E tel que f(x) ∈ / Ker ϕ donc

ϕ ◦ f est une forme multiplicative non nulle. . . 2 b. On prend pour ϕ les diff´erentes formes c 1 , c 2 , ..., c n et on ´ecrit c i ◦ f = c j

. On note

σ f l’application i 7→ j i alors, pour tout i

c i ◦ f ◦ f ⁻¹ = c σ

(i) ◦ f ⁻¹ = c σ

◦σ

(i) = c i

donc σ f (not´e σ) est une permutation de [1, n]. On a alors f σ (x 1 , x 2 , . . . , x n ) = (x σ

, x σ

, . . . , x σ

),

f σ est bien un automorphisme d’alg`ebre. . . 5 et il y en a n!. . . 1 Tous les automorphismes d’alg`ebre s’´ecrivent sous la forme des f σ .

I.3. a. On a a − a 1 ε = (0, a 2 − a 1 , . . . , a n − a 1 ) de mˆeme pour a − a i ε qui aura sa i-i`eme coordonn´ee nulle. Dans le produit, le seul terme non nul est donc la n-i`eme composante qui est ´egale au produit des a n − a i d’o` u

(a − a 1 ε)(. . .)(a − a n−1 ε) = (a n − a 1 )(. . .)(a n − a n−1 )e n 2 De mˆeme Y

i6=j

a − a i ε a _j − a _i = e j .

b. • A contient toutes les puissances de a ainsi que leurs combinaisons lin´eaires i.e.

tous les ´el´ements qui s’´ecrivent P (a) avec P ∈ K [X]. On a donc K [a] ⊂ A. . 1

• K [a] est une alg`ebre (v´erification imm´ediate) qui contient a donc K [a] contient A i.e. A ⊂ K [a]. . . 2 c. • Si les coordonn´ees de a sont toutes distinctes alors, grˆace `a la question pr´ec´edente,

tous les vecteurs de la base canonique appartiennent `a l’alg`ebre engendr´ee par a donc l’alg`ebre engendr´ee par a est bien K ⁿ . . . 2

• Comme la sous-alg´ebre engendr´ee par a est de la forme : {P (a), P ∈ K [X]} = {α 0 ε + α 1 a + · · · + α p a ^p , α i ∈ K }.

S’il existe i 6= j tel que a i = a j alors ∀P ∈ K [X] : c i (P (a)) = c j (P (a)) et donc, l’alg`ebre engendr´ee par a n’est pas K ⁿ .

Par contrapos´ee, si l’alg`ebre engendr´ee par a est K ⁿ alors les coordonn´ees de a sont toutes distinctes.

On obtient alors l’´equivalence demand´ee. . . 3

1

I.4. a. ε ∈ A et ¯ c i (ε) = 1 donc les ¯ c i sont non nulles. . . 1 b. c i 6= c j donc ∃a ∈ A : c i (a) 6= c j (a) ; on prend alors u ij = a − c j (a)ε

c _i (a) − c _j (a) . . . 3 c. Le vecteur w i = Q

j6=i

u ij convient. . . 2 d. Soit λ 1 w 1 + λ 2 w 2 + · · · + λ k w k = 0 alors c i (λ 1 w 1 + · · · + λ k w k ) = λ i = 0 donc les

w _i forment une famille libre.. . . 1 Comme c i (w 1 + · · · + w k ) = 1 pour i ⁶ k et que, pour i > k, il existe j ⁶ k tel que

¯

c i = ¯ c j alors, pour tout i de [1, n] on a : ¯ c i (w 1 + · · · + w k ) = 1 = c i (w 1 + · · · + w k ) i.e.

w 1 + · · · + w k = ε. . . 2 On sait que Vect(w 1 , . . . , w k ) ⊂ A, on va montrer l’´egalit´e :

Soit y = x − c 1 (x)w 1 − · · · − c k (x)w k , on a c 1 (y) = . . . = c k (y) = 0 et comme y ∈ A on a c i (y) = 0 pour tout i ∈ [[1, n]]. On obtient y = 0 et x = c 1 (x)w 1 + · · · + c k (x)w k

et en conclusion A ⊂ Vect(w ₁ , . . . , w _k ). Finalement on peut affirmer que

A = Vect(w 1 , . . . , w k ). 3

I.5. a. Sous-alg`ebres de K <sup>2</sup> : {(α, α), α ∈ K }. . . 1 Sous-alg`ebres de K ³ :

• de dim 1 : {(α, α, α)},

• de dim 2 : {(α, α, β )}, {(α, β, α)}, {(β, α, α)}. . . 2 Les sous-alg`ebres de dimension k de K <sup>n</sup> s’´ecriront `a une permutation des coordonn´ees pr`es {(α 1 , . . . , α 1 , α 2 , . . . , α 2 , . . . , α k , . . . , α k )}.. . . 3 b. K ⁿ a

• C _n ¹ sous-alg`ebres de dimension 2 de la forme {(α, . . . , α, β)} (on choisit les em- placements de β),

• C _n ² en r´ep´etant 2 fois β (on choisit 2 emplacements de β parmi n),

• C _n ^k en r´ep´etant k fois β (`a condition que k < n/2, voir plus loin).

On note A 2 le nombre de sous-alg`ebres de dimension 2.

• Si n = 2p + 1 alors 2A ₂ = 2

p

P

k=1

C _2p+1 ^k =

2p

P

k=1

C _2p+1 ^k = 2 ^2p+1 − 2 en utilisant la relation C _n ^k = C _n ^n−k .

• Si n = 2p alors si on r´ep`ete p fois β on aura, pour chaque choix des emplacements de β, 2 alg`ebres ´egales (les autres emplacements seront pris par les α) donc 2A 2 = 2

p−1

P

k=1

C _2p ^k + C _2p ^p = 2 ^2p − 2.

donc le nombre total sera : 1 2

n−1

X

p=1

C _n ^p = 2 ⁿ⁻¹ − 1 5

On peut aussi proc´eder de la sorte : chaque coordonn´ee peut prendre 2 valeurs dis- tinctes α et β ce qui fait 2 ⁿ choix. Il faut ensuite retirer les cas (α, . . . , α) et (β, . . . , β) d’o` u 2 <sup>n</sup> − 2 choix. Enfin, l’´echange α ↔ β donne la mˆeme sous-alg`ebre donc il faut en enlever la moiti´e ce qui donne finalement 2 ⁿ⁻¹ − 1 choix.

Pour avoir une sous-alg`ebre de dimension n − 1, il suffit de r´ep´eter un ´el´ement 2 fois.

K ⁿ a donc C _n ² sous-alg`ebres de dimension n − 1 (on choisit les places de 2 ´el´ements

parmi n). . . 1

Partie II 36

II.1. On a a.e i = c i (a)e i (dans la base canonique, µ a est sous forme diagonale), donc Tr(µ a ) =

n

X

i=1

c i (a) = Tr(a). 2

II.2. a. Evident : ´ f (v k ) = f(v i .v j ) = f (v i ).f(v j ) ; donc, la famille (f (v 1 ), f(v 2 ), . . . , f (v n )) qui est une base (car f est un automorphisme) est stable. . . 2 b. Permuter les colonnes revient `a permuter les vecteurs de la nouvelle base, ce qui ne

change rien au r´esultat. . . 1 Si on permute les lignes, cela revient `a changer l’ordre des coordonn´ees de la nouvelle base et la propri´et´e de stabilit´e qui se traduit par le produit des coordonn´ees dans la base canonique est conserv´ee. . . 2 II.3. a. ϕ(v i ) = 1 ⇒ ϕ(v i .v j ) = 1 = ϕ(v i ).ϕ(v j ). Si x = P ⁿ

i=1

x i v i et y = P ⁿ

j=1

y j v j alors

ϕ(xy ) = ϕ X

i,j

x _i y _j v _i .v _j

!

= X

i,j

x _i y _j ϕ(v _i .v _j )

= X

i,j

x _i y _j =

n

X

i=1

x _i

n

X

j=1

y _j

donc ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) . . . 2 b. La forme ϕ d´efinie ci-dessus ´etant multiplicative, on a vu au I.1 que ϕ ´etait n´ecessai-

rement une forme coordonn´ee soit ϕ = c i pour i ∈ [1, n]. On a alors, pour tout vecteur v h de B : c i (v h ) = 1 :

la matrice M B comporte bien une ligne de 1. . . 3 Il ne peut y avoir d’autre ligne semblable sinon M B ne serait pas inversible. . . 1 II.4. Posons M =

1 1 a b

alors a ² ∈ {a, b} et par r´ecurrence a ⁿ ∈ {a, b} donc a ∈ {−1, 0, 1}

(de mˆeme pour b). On obtient alors les matrices

1 1

1 −1

,

1 1 1 0

, auxquelles il faut rajouter les matrices obtenues en permutant les lignes puis celle obtenues en permutant les colonnes (ce qui fait 12 matrices en tout). . . 4 II.5. a. Si a ∈ B alors, par r´ecurrence, a ^m ∈ B et comme B est un ensemble fini, on pourra

trouver un couple (h, k), avec 1 ⁶ h < k ⁶ n tel que a ^h = a ^k . . . 1 On a donc ∀i ∈ [1, n] : a ^h _i = a ^k _i donc, soit a _i = 0, soit a ^k−h _i = 1 et, en tous cas, on aura a ^p+1 _i = a i en posant p = k − h ⁶ n − 1 i.e. a ^p+1 = a .. . . 3 b. Dans R , les seules possibilit´es pour les a _i seront d’appartenir `a l’ensemble {−1, 0, 1}

et donc a ³ _i = a i i.e. p = 2 . . . 3 II.6. On a vu au II.5.a que soit a _i = 0, soit a ^p _i = 1 avec p ⁶ n − 1, les a _i prennent leurs valeurs

dans un ensemble fini donc le nombre de bases stables de K ⁿ est fini. . . 3 II.7. Si on ´ecrit µ a dans la base B, on aura av 1 = v i

, av 2 = v i

, ..., av n = v i

. Donc, comme

la trace de a est ´egale au nombre d’entiers k de [1, n] tels que k = i k ,

Tr(a) est un entier compris entre 0 et n 2 On aura Tr(a) = n ssi a.v i = v i et donc, comme les v i forment une base, ∀x ∈ E, a.x = x i.e. a = ε . . . 1 II.8. a. On a vu au 3.b que M comportait d´ej`a n ´el´ements d’une ligne ´egaux `a 1, dans les

n − 1 autres lignes, M doit comporter au moins un ´el´ement non nul, ce qui fait le compte. . . 2 b. On peut d´ej`a permuter les lignes de M pour amener en premi`ere position la ligne des

1.

Sur les autres lignes on a un seul ´el´ement non nul et comme la matrice est inversible, n´ecessairement ces ´el´ements sont situ´es sur des colonnes diff´erentes. On peut alors permuter les colonnes pour que les n − 1 ´el´ements non nuls soient sur la diagonale.

Si on appelle λ i le terme non nul de la i ^{i` eme} ligne alors comme v i .v i ∈ B on obtient λ ² _i ∈ {λ i , 0} et comme λ i 6= 0 on a : λ ² _i = λ i i.e. λ i = 1 c.q.f.d. . . 3 c. Imm´ediat, on a v _i .v _j =

( v ₁ si i 6= j

v i si i = j . . . 1 Partie III 37

III.1. a. On sait que a ^p+1 = a (cf. II.5.a. ) et que a est inversible donc on peut simplifier par a : a ^p = ε. Comme a ^p ∈ B on en d´eduit que ε ∈ B . . . 2 b. Ceci est une cons´equence directe de la question pr´ec´edente, chaque composante d’un

vecteur a de B v´erifiant a ^p = ε est une racine p-i`eme de l’unit´e. Les coefficients de la matrice M B sont de module 1. . . 2 III.2. On a : a.v i = v j avec i 6= j car a 6= ε donc Tr(a) = 0 . . . 1 III.3. Tr(ε) = n et Tr(s) =

n

X

i=1

Tr(v i ) = n. . . 1 On pose v j v i = v i

alors σ : j ∈ [[1, n]] 7→ i j ∈ [[1, n]] est injective (si v j v i = v j

v i alors v j = v j

car v i est inversible). σ est donc une bijection, par cons´equent

s.v _i =

n

X

j=1

v _j .v _i =

n

X

j=1

v _σ(j) = s.

et s ² = P ⁿ

i=1

s.v _i = ns. . . 2 On a c i (s ² ) = c i (s) ² = nc i (s) i.e. c i (s) = 0 ou c i (s) = n et comme Tr(s) = P ⁿ

i=1

c i (s) = n alors tous les c _i (s) sont nuls sauf un ´egal `a n, ce qui donne

s = ne i . 1

III.4. M B se d´eduit de la matrice





1 1 1

1 j j ² 1 j ² j



 par permutations de lignes et de colonnes : on utilise les propri´et´es suivantes :

• M B comporte une ligne de 1 et une colonne de 1,

• la somme des termes des autres lignes vaut 0

• et tous les termes de M B sont des racines p ^{i` eme} de l’unit´e avec p ⁶ 3). . . 2 III.5. a. On v´erifie les propri´et´es des groupes :

• Le produit est une loi interne par d´efinition d’une base stable.

• Le produit est associatif par associativit´e dans l’alg`ebre K ⁿ .

• ε est l’´el´ement neutre pour le produit.

• v ₁ ^p = ε donne l’inverse de v 1 (cons´equence directe du III.1.a. ). . . 3 b. Sur R , on a Tr(v _i .v _j ) = nδ _ij car

• i = j ⇒ v _i ² = ε (les coordonn´ees de v _i ² sont positives et racines de l’unit´e),

• i 6= j ⇒ v _i .v _j 6= ε (on a trouv´e ci-dessus l’unique inverse de v _i ).

Si on calcule M _B ^T .M B alors, `a l’intersection de la i <sup>i` eme</sup> ligne et de la j ^{i` eme} colonne, on trouve Tr(v i .v j ) et donc

M _B ^T .M B = nI. 2

Sur C , de mˆeme, on sait que pour tout i de [[1, n]] il existe j tel que v i .v j = ε et que les coordonn´ees de v i et v j sont de module 1, donc v j = ¯ v i i.e. Tr(v i .¯ v i ) = n ; d’o` u, pour j 6= i Tr(v i .¯ v j ) = 0 et comme sur R on peut conclure :

M _B ^T .M B = nI. 2

c. On a alors det(M _B ^T .M B ) = det(M B )det(M B ) = n ⁿ d’o` u | det M B | = n ^n/2 . . . 1 III.6. ⇒ On veut P z .P z = nI i.e.

n

X

j=1

z ^{(i−1)(j−1)} z ¯ ^{(j−1)(k−1)} =

n

X

j=1

z ^i−k j−1

= nδ ik

vrai si i = k ;

si i 6= k avec 0 < |i − k| < n, on veut que P ⁿ

j=1

z ^i−k j−1

= 0 et ceci n’est possible que si z ^i−k 6= 1 et

n

P

j=1

z ^i−k j−1

= z ^n(i−k) − 1 z ^i−k − 1 = 0.

Pour i − k = 1 on en d´eduit que z ⁿ = 1 et comme z ^h 6= 1 pour h ∈ [[1, n − 1]] alors les puissances de z engendrent bien U _n . . . 3

⇐ Examinons la j ^{i` eme} coordonn´ee de v k .v l :

z ^{(j−1)(k−1)} .z ^{(j−1)(l−1)} = z (j−1)(k+l−2) = z ^{(j−1)(h−1)}

(o` u k + l − 2 = h − 1[n]) i.e. v k .v l = v h donc la base est stable. Il est imm´ediat que chaque vecteur est inversible. . . 1 On pourra prendre par exemple z = e ^2iπ/n . . . 0 III.7. a. On peut prendre comme partie g´en´eratrice B !

Tous les ´el´ements de M B sont de module 1 donc leur carr´e sera 1, d’o` u ∀a ∈ B :

a ² = ε. 1

b. Soit v = v _j ^m

. . . v _j ^m

: comme v _j ²

= ε, on peut se limiter au cas o` u m _i = r _i ∈ {0, 1} ; supposons maintenant que l’on ait deux ´ecritures :

v = v _j ^r

. . . v ^r _j

= v ^r _j

. . . v _j ^r

,

si r ₁ 6= r ₁ ^′ (par exemple r ₁ = 1, r ₁ ^′ = 0) alors, on pourra ´ecrire v _j

= v _j ^r

^−r

. . . v _j ^r

^−r

ce qui contredit la minimalit´e de G donc r 1 = r 2 ; on fait alors de mˆeme pour les autres termes. . . 2 c. L’ensemble {v _j ^r

, . . . , v _j ^r

, r _i ∈ {0, 1}} est stable, c’est une famille g´en´eratrice, montrons

qu’elle est libre :

soit λ 0 ε + λ 1 v j

+ · · · + λ ₂

₋₁ v j

. . . v j

= 0 ; on prend la trace et on obtient λ 0 = 0, on compose alors par v j

: λ 1 ε + · · · + λ ₂

₋₁ v j

. . . v j

= 0 et, avec la trace : λ 1 = 0.

On prouverait ainsi, par une r´ecurrence finie sur h ⁶ k que les coefficients des produits de h termes sont nuls et donc, la base contient 2 ^k ´el´ements

n = 2 ^k . 3

III.8. a. La seule matrice possible est :









1 1 1 1

1 1 −1 −1

1 −1 1 −1

1 −1 −1 1









qui est bien la matrice d’une base stable. . . 2 b. OUI : il suffit de placer la ligne de 1 et la colonne de 1 en premi`ere position, comme

les autres lignes doivent comporter deux 1 et deux -1, il suffira de permuter les lignes pour que le seul 1 qui reste soit sur la diagonale. . . 1 III.9. a. On notera v ₁ ^′ =

v 1

v 1

, ..., v _n ^′ = v n

v n

, v _n+1 ^′ = v 1

−v 1

, ..., v _2n ^′ = v n

−v n

; alors (v ^′ ₁ , . . . , v ^′ _2n ) est une base stable inversible de R ⁿ . . . 2 b. n = 2 ^k en effet, si on prend une partie g´en´eratrice dont le nombre est minimal, n est

n´ecessairement de la forme 2 ^k ; `a partir de la matrice A =

1 1

1 −1

et en utilisant le

a, on peut former par r´ecurrence sur k la matrice d’une base stable. . . 3