Programme de Colle n
◦7 - PCSI
(Du 6 au 17 Janvier 2020)
SUITES NUM´ ERIQUES
— G ´EN´ERALIT ´ES : Suite, indice, rang, terme, suites explicites, implicites, d´efinies par r´ecurrence, op´erations sur les suites, sens de variation, suites major´ees, minor´ees, born´ees,
— SUITES R´ECURRENTES LIN´EAIRES :
Suite arithm´etique, g´eom´etrique, arithm´etico-g´eom´etrique, suite r´ecurrente lin´eaire d’ordre 2,
— LIMITES D’UNE SUITE R´EELLE : Convergence et divergence, limites infinies, op´erations sur les limites, passage `a la limite dans une in´egalit´e,
— TH ´EOR`EMES D’EXISTENCE DE LIMITES :
Comparaison et encadrement, Convergence monotone, Suites adjacentes.
— SUITES EXTRAITES,
— EXEMPLE DE SUITES R´ECURRENTES un+1 =f(un),
— ´EQUIVALENTS ET RELATIONS DE COMPARAISON :
Relation de n´egligeabilit´e, de domination, d’´equivalence, r´e´ecriture des croissances compar´ees,
— EXTENSION AUX SUITES COMPLEXES
POLYN ˆ OMES
— POLYN ˆOMES `A UNE IND´ETERMIN ´EE :
Polynˆome, degr´e, op´erations sur les polynˆomes et propri´et´es du degr´e,
— DIVISIBILIT ´E DANSK[X] : Divisibilit´e, division euclidienne,
— RACINES D’UN POLYN ˆOME : Fonction polynomiale, nombre de racines, ordre de multiplicit´e,
— D´ERIVATION DES POLYN ˆOMES :
Polynˆome d´eriv´e, formule de Taylor, caract´erisation des racines multiples avec les d´eriv´ees de P,
— FACTORISATION DES POLYN ˆOMES :
Polynˆomes scind´es, irr´eductibles, factorisation des polynˆomes complexes, r´eels,
— Relations entre coefficients et racines.
Questions de cours
Il peut vous ˆetre demand´e une d´efinition de cours en plus d’une d´emonstration :
D´efinitions et propri´et´es : Suites major´ees, minor´ees, born´ees, Somme de termes d’une suite g´eom´etrique ou arithm´etique, formules pour les suites r´ecurrentes lin´eaires d’ordre 2 (cas r´eel), d´efinition d’une limite finie ou infinie, suites adjacentes, propri´et´e des suites adjacentes, suites extraites, th´eor`eme des gendarmes.
Diviseurs et multiples de polynˆomes, Th´eor`eme de la division euclidienne. Factorisation de Pn−Qn, 2 fa¸cons de d´emontrer que a est racine double de P (la d´efinition + une propri´et´e), polynˆome scind´e, irr´eductible .
D´emonstrations exigibles :
•Existence (pas unicit´e) du quotient et du reste de la division euclidienne entre polynˆomes. (r´ecurrence)
•Si les suites (u2n)n∈Net (u2n+1)n∈Nconvergent vers `alors la suite (un)n∈N converge aussi vers`. (p.14)
• Toute suite r´eelle convergente est born´ee. (p.9)
Lyc´ee de l’Essouriau - Les Ulis 1 2019-2020
