Suites r´ ecurrentes

ECS 1Dupuy de Lˆome Semaine du 10 d´ecembre 2004

Programme de colles S13

NB : Le programme de cette semaine reprend celui de la semaine 12,plusce qui suit :

Exemples de suites

Suites de r´ ef´ erences

Th´eor`eme.— Soient (a, b, α, α⁰, β, β⁰)∈R⁶tels que 1< a < b, 0< α < α⁰ et 0< β < β⁰. 1. La suite (√ⁿ

a) est convergente de limite 1.

2. La suite (lnn)^β

n≥1est divergente vers +∞.

3. La suite (n^α) est divergente vers +∞.

4. La suite (aⁿ) est divergente vers +∞.

5. La suite (n!) est divergente vers +∞.

6. La suite (nⁿ) est divergente vers +∞.

De plus,

1. lim

n→∞

(lnn)^α (lnn)^α0 = 0 2. lim

n→∞

(lnn)^β n^α = 0

3. lim

n→∞

n^α n^α0 = 0 4. lim

n→∞

n^α aⁿ

5. lim

n→∞

aⁿ bⁿ = 0 6. lim

n→∞

aⁿ n! = 0

Suites r´ ecurrentes

Suites g´eom´etriques, arithm´etiques et arithm´etico-g´eom´etriques

Th´eor`eme.— Soienta∈R^? et q∈Rfix´es.

Une suite g´eom´etrique de raisonq∈Rest convergentesi et seulement si |q|<1 ouq= 1.

Pr´ecisez . . .

Th´eor`eme.— Soit (a, b)∈R² tel que a6= 1 etb6= 0

Soitula suite de premier termeu₀∈Rd´efinie par la relation de r´ecurrence un+1=aun+b

Soitrla solution de l’´equationr=ar+b. La suitev=u−r est g´eom´etrique de raisona.

Suites r´ecurrentes lin´eaires d’ordre 2

Th´eor`eme.— Soit (a, b) ∈ R^?×R^? et u une suite de nombres r´eels d´efinie par la relation de r´ecurrence :

∀n∈N, u_n+2=au_n+1+bu_n

Notons ∆ le discriminant de l’´equation caract´eristique:r²−ar−b= 0.

• Si ∆>0 : l’´equation caract´eristique poss`ede deux racines r´eelles distinctes, not´eesr1, r2.

∃!(λ, µ)∈R²tel que ∀n∈N, un=λrⁿ₁+µr₂ⁿ

• Si ∆ = 0 : l’´eq. caract´eristique poss`ede une racine r´eelle double, not´ee r0

∃ !(λ, µ)∈R²tel que ∀n∈N, un =λrⁿ₀ +n µrⁿ₀

• Si ∆<0 : l’´eq. car. poss`ede deux racines complexes conjugu´ees distinctes, not´eesr=ρe^±iθ

∃!(λ, µ)∈R²tel que ∀n∈N, un=ρⁿ(λcosnθ+µsinnθ) Suites r´ecurrentes u_n+1=f(u_n)

1

Th´eor`eme.— Soitf :I→Iune fonctioncontinueetula suite d´efinie par la relation de r´ecurrence u_n+1=f(u_n). Si la suiteuest convergente ou divergente vers±∞, sa limitel∈ ¯

Rest une solution dans ¯Rde l’´equation :

f(x) =x

Th´eor`eme.— Soit f : I → I une application d´efinie et `a valeurs dans un intervalle I de R. On

´

etudie la monotonie d’une suite ud´efinie par la relation de r´ecurrenceun+1=f(un), en fonction de la monotonie def.

1. Sif est croissante surI alorsuest monotone.

2. Sif est d´ecroissante sur I alors les suites extraites (u2n) et (u2n+1) sont monotones : l’une est croissante et l’autre d´ecroissante.

2