Feuille d’exercices n˚9 Suites r´ eelles

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB1−2010-2011

D. Blotti`ere Math´ematiques

Feuille d’exercices n˚9 Suites r´ eelles

Exercice 126 : Pour chacune des suites suivantes, faire une conjecture sur l’expression explicite du terme g´en´eral en fonction den, puis d´emontrer le r´esultat par r´ecurrence.

1. (u_n)_n∈Nd´efinie par :

( u0= 1

∀n∈N un+1= un

un+ 1 .

2. (vn)n∈Nd´efinie par :

v₀= 0

∀n∈N v_n+1= 2v_n+ 1 .

Exercice 127 : Soit (un)_n∈N≥n0 une suite (n0∈N).

1. Montrer que si (un)_n∈N≥n0 est croissante alors elle est minor´ee.

2. Montrer que si (un)_n∈N≥n0 est d´ecroissante alors elle est major´ee.

Exercice 128 : Les suites suivantes sont-elles major´ees, minor´ees, born´ees ? a)

n n+ 2

n∈N

b) (sin(n))_n∈

N c) ((−1)ⁿ+ 1)_n∈

N

d) (((−1)ⁿ+ 1)×n)_n∈N e) (2ⁿ+ 3ⁿ)_n∈N f)

1 + 1 n− 2

n²

n∈N^∗

F Exercice 129 : Soit (un)_n∈N^∗ la suite d´efinie par :

∀n∈N^∗ un= 2ⁿ−3ⁿ. 1. Montrer que la suite (un)n∈N^∗ est major´ee.

2. (a) Soienta, b∈C. Montrer que :

∀n∈N^∗ aⁿ−bⁿ= (a−b)

n−1

X

k=0

a^kb^n−1−k

! .

(b) Soitn∈N^∗. Justifier que :

∀k∈J0, n−1K 2^k3^n−1−k≥1.

(c) D´eduire de (a) et (b) que :

∀n∈N^∗ un≤ −n.

(d) Le suite (u_n)_n∈N^∗ est-elle born´ee ?

1

Exercice 130 : Montrer que la suite (un)_n∈N^∗ d´efinie par :

∀n∈N^∗ u_n =

n

X

k=1

k n² est born´ee.

Exercice 131 : V´erifier que les suitesu= (−n)_n∈

N^∗ etv= (−√ n)_n∈

N^∗ sont d´ecroissantes et major´ees. Qu’en est-il des suitesu+v,uv, u

v, v u?

Exercice 132 : Etudier le sens de variation de chacune des suites suivantes.´ a)

1 n²+ 1

n∈N

b) √

n+ 1−√ n

n∈N c)

1− 1

n²

n∈N^∗

d) n³−2n²+n+ 1

n∈N e) (2ⁿ−5ⁿ)_n∈

N^∗ f)

n³−1 n³+ 1

n∈N

g) n!

2ⁿ

n∈N

h) nⁿ

n!

n∈N

Exercice 133

1. Montrer que la suite n²

2ⁿ

n∈N^≥3

est strictement d´ecroissante.

2. En d´eduire le sens de variation de la suite 2ⁿ

n²+ 2ⁿ

n∈N^≥3

.

Exercice 134

1. Soit (u_n)_n∈Nla suite d´efinie par :

u0= 10

∀n∈N un+1= 3un−5 . Montrer que la suite (u_n)_n∈Nest strictement croissante.

2. Soit (vn)_n∈Nla suite d´efinie par :

v0∈R

∀n∈N vn+1= 2vn−11 . Etudier le sens de variation de la suite´ v selon la valeur dev0.

Exercice 135

1. ´Etudier le sens de variation de la fonctionf d´efinie par : f: R⁺→R, x7→ x+ 3

4x+ 5. 2. ´Etudier le sens de variation de chacune des suites suivantes.

(a) (un)n∈Nd´efinie par :

∀n∈N un= n+ 3 4n+ 5. 2

(b) (vn)_n∈Nd´efinie par :





 v0= 0

∀n∈N vn+1= vn+ 3 4vn+ 5

.

F Exercice 136 : Soit (u_n)_n∈N^∗ la suite d´efinie par :

∀n∈N^∗ u_n =

2n−1

X

k=n

1 k. 1. D´emontrer que la suite (un)n∈N^∗ est born´ee.

2. ´Etudier le sens de variation de la suite (un)n∈N^∗. 3. La suite (un)n∈N^∗ est-elle convergente ?

Exercice 137 : Soit (un)_n∈Nla suite d´efinie par : ( u0= 1

∀n∈N un+1= un−5 2 et soit (vn)n∈N la suite d´efinie par :

∀n∈N vn=un+ 5.

1. Montrer que (v_n)_n∈Nest une suite g´eom´etrique dont on pr´ecisera le premier terme et la raison.

2. En d´eduire l’expression explicite dev_n en fonction den, puis celle deu_n en fonction den(n∈N).

3. D´emontrer que la suite (un)n∈N converge et d´eterminer sa limite.

Exercice 138 : Etudier la convergence des suites suivantes.´ a) n⁵+ 3n²

n∈N b)

3n⁶−10n²+n 5n⁴+n³

n∈N^∗

c) (2ⁿ−7ⁿ)_n∈

N

d) 1

n+ 1 − 1 n+ 5+ 4

n²

n∈N^∗

e)

1 + (−1)ⁿ n

n∈N^∗

f)

n

X

k=0

q^k

!

n∈N

avecq∈R

g) (n+ sin(n))_n∈N h)

2ⁿ+n 2ⁿ

n∈N

i) √

n+ 1−√ n

n∈N

F Exercice 139 : Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Pour chacune, donner, si elle est vraie, la d´emonstration, et, si elle est fausse, un contre-exemple.

1. Toute suite convergente est born´ee.

2. Toute suite born´ee est convergente.

3. La somme de deux suites divergentes est une suite divergente.

4. La somme de deux suites major´ees est une suite major´ee.

5. Le produit de deux suites major´ees est une suite major´ee.

6. Le produit de deux suites born´ees est une suite born´ee.

7. Toute suite d´ecroissante est minor´ee.

8. Toute suite `a termes positifs convergeant vers 0 est d´ecroissante `a partir d’un certain rang.

9. Toute suite strictement croissante tend vers +∞.

10. Toute suite d´ecroissante positive tend vers 0.

3

Exercice 140 : Soit (un)_n∈N^∗ la suite d´efinie par :

∀n∈N^∗ un= (−1)ⁿ

1 + 1 n

.

1. Montrer que la suite (u2n)n∈N^∗ converge vers 1 et que la suite (u2n+1)n∈N^∗ converge vers−1.

2. La suite (un)n∈N^∗ converge-t-elle ?

F Exercice 141 : On rappelle que pour toutx∈R,bxcd´esigne la partie enti`ere dex, i.e. l’unique entier relatif tel quebxc ≤x <bxc+ 1. Soitx0∈R^+× fix´e. On d´efinit la suite (un)n∈N^∗ par :

∀n∈N^∗ u_n=

n

X

k=1

bkx₀c n² . 1. Montrer que :

∀n∈N^∗ x₀n(n+ 1) 2n² − 1

n ≤u_n≤x₀n(n+ 1) 2n² . 2. ´Etudier le comportement asymptotique de la suite (un)_n∈N^∗.

Exercice 142 : Soit (Sn)_n∈N^∗ la suite d´efinie par :

∀n∈N^∗ Sn=

n

X

k=1

1 k². 1. ´Etudier la monotonie de la suite (Sn)_n∈N^∗.

2. Montrer que :

∀k∈N\ {0,1} 1 k² ≤ 1

k−1 −1 k. 3. En d´eduire que (Sn)_n∈N^∗ converge.

F Exercice 143 : Soient (un)_n∈Net (vn)_n∈Nles suites d´efinies par : u0= 5 ; v0= 17 et un+1=5un+vn

6 ; vn+1=−2un+ 5vn

3 pour toutn∈N. On pose pour toutn∈N:

wn=vn−un. 1. Montrer que (wn)_n∈N est une suite g´eom´etrique.

2. Exprimer wn en fonction den(n∈N).

3. ´Etudier le comportement asymptotique de la suite (wn)_n∈N. 4. Montrer que suites (un)_n∈Net (vn)_n∈Nsont croissantes.

5. ´Etudier le comportement asymptotique des suites (un)_n∈Net (vn)_n∈N.

Exercice 144 : Soient (un)n∈N^∗ et (vn)n∈N^∗ les deux suites d´efinies par :

∀n∈N^∗, u_n=

n

X

k=1

1

k³ et v_n=u_n+ 1 n² . En utilisant les suites adjacentes, montrer que ces deux suites sont convergentes.

Exercice 145 : Soit (un)n∈Nla suite d´efinie par :

u0= 1 et un+1= 7un−3 pour toutn∈N. 1. Donner une expression de u_n en fonction den.

2. ´Etudier le comportement asymptotique de la suite (u_n)_n∈N.

4