Feuille d’exercices n˚5 Suites de nombres r´ eels

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB1−2011-2012

D. Blotti`ere Math´ematiques

Feuille d’exercices n˚5 Suites de nombres r´ eels

Exercice 88 : Etudier le sens de variation de chacune des suites suivantes.´ a)

1 n²+ 1

n∈N

b) (n+ 2ⁿ)_n∈

N c) √

n+ 1−√ n

n∈N

d) n³−2n²+n+ 1

n∈N e) (2ⁿ−5ⁿ)_n∈

N^∗ f)

n!

2ⁿ

n∈N^∗

Exercice 89 : Soitf:R→Rune fonction strictement croissante surR. 1. Soit (un)_n∈Nla suite d´efinie par :

∀n∈N un =f(n).

Montrer que la suite (un)_n∈Nest strictement croissante.

2. Soit (vn)_n∈Nune suite v´erifiant la relation de r´ecurrence vn+1=f(vn) valable pour toutn∈N.

(a) Montrer que siv₀< v₁, alors la suite (v_n)_n∈Nest strictement croissante.

(b) Montrer que siv0> v1, alors la suite (vn)n∈Nest strictement d´ecroissante.

(c) Que dire de la suite (vn)n∈Nsiv0=v1?

Exercice 90 : Soit (u_n)_n∈N la suite d´efinie paru₀= 1 et la relation de r´ecurrence : un+1= un

u_n+ 1 valable pour toutn∈N.

1. Calculeru₁, u₂, u₃, u₄.

2. ´Emettre une conjecture sur l’expression du terme g´en´eral de la suite (u_n)_n∈Nen fonction den, pour tout n∈N.

3. D´emontrer la conjecture faite en 2. par r´ecurrence.

4. ´Etudier les variations de la suite (u_n)_n∈N. 5. Montrer que pour toutn∈N:

0< u_n ≤1.

6. ´Etudier le comportement asymptotique de la suite (un)n∈N.

Exercice 91 : Pour toutn∈N^∗, on pose :

Sn=

n

X

k=1

k n². 1. Soitn∈N^∗. ´Ecrire la sommeSn sans symbole X

(et sans pointill´es...).

2. ´Etudier le sens de variation de la suite (Sn)n∈N^∗. 3. Montrer que pour toutn∈N^∗ :

1

2 < Sn ≤1.

4. ´Etudier le comportement asymptotique de la suite (Sn)_n∈N^∗.

1

Exercice 92 : Soit (un)_n∈N^∗ la suite d´efinie par :

∀n∈N^∗ (−1)ⁿ n . 1. (a) Montrer que pour toutn∈N^∗ :

−1

n ≤un≤ 1 n. (b) En d´eduire le comportement asymptotique de la suite (u_n)_n∈N^∗. 2. (a) Soitn∈N^∗ pair. D´eterminer le signe de u_n+1−u_n.

(b) Soitn∈N^∗ impair. D´eterminer le signe deun+1−un.

(c) Montrer que la suite (un)_n∈N^∗ n’est pas monotone `a partir d’un certain rang, i.e. que quel que soit n0∈N^∗, la suite (un)n≥n₀ n’est pas monotone.

Exercice 93 : Soit (un)n∈N la suite d´efinie par :

∀n∈N n+ (−1)ⁿ. 1. (a) Montrer que pour toutn∈N:

un ≥n−1.

(b) En d´eduire le comportement asymptotique de la suite (u_n)_n∈N. 2. (a) Soitn∈Npair. D´eterminer le signe de un+1−un.

(b) Soitn∈Nimpair. D´eterminer le signe deun+1−un.

(c) Montrer que la suite (un)n∈N n’est pas monotone `a partir d’un certain rang, i.e. que quel que soit n0∈N, la suite (un)n≥n0 n’est pas monotone.

Exercice 94 : Etudier la convergence des suites suivantes.´ a)

n⁵+ 3n²+ 1 n

n∈N^∗

b) n³−2n²+ 1

n∈N c)

2n⁴−10n+ 7 4n⁴+ 2n²+ 1

n∈N

d) √

n+ 1−√ n

n∈N e) (2ⁿ−7ⁿ)_n∈

N f)

2ⁿ+n 3ⁿ+ 2

n∈N

Exercice 95 : Soit (un)_n∈N^∗ la suite d´efinie par :

∀n∈N^∗ un= (−1)ⁿ

1 + 1 n

.

1. Montrer que la suite (u2n)_n∈N^∗ converge vers 1 et que la suite (u2n+1)_n∈N^∗ converge vers−1.

2. La suite (un)_n∈N^∗ converge-t-elle ?

Exercice 96 : Soit (Sn)n∈N^∗ la suite d´efinie par :

∀n∈N^∗ Sn=

n

X

k=1

1 k². 1. Montrer que la suite (Sn)_n∈N^∗ est minor´ee par 0.

2. Montrer que la suite (Sn)n∈N^∗ est strictement croissante.

3. Montrer que :

∀k∈N\ {0,1} 1 k² ≤ 1

k−1 −1 k. 4. En d´eduire que la suite (Sn)n∈N^∗ est major´ee par 2.

5. Montrer que (S_n)_n∈N^∗ converge et que 0≤ lim

n→+∞S_n≤2.

2

Exercice 97 : Soitq∈]0,1[. On notep= 1−qet pour toutn∈N^∗: Sn=

n

X

k=1

p q^k−1.

1. Soitn∈N^∗. ´Ecrire la sommeSn sans symbole X

(et sans pointill´es...).

2. En d´eduire le comportement asymptotique de la suite (S_n)_n∈N^∗.

F Exercice 98 : Soit (un)_n∈N^∗ la suite d´efinie par :

∀n∈N^∗ un =

2n−1

X

k=n

1 k. 1. ´Etudier le sens de variation de la suite (u_n)_n∈N^∗.

2. D´emontrer que la suite (un)n∈N^∗ est minor´ee par 0 et major´ee par 1.

3. Montrer que la suite (un)_n∈N^∗ est convergente et que 0≤ lim

n→+∞un≤1.

Exercice 99 : On rappelle que pour toutx∈R,bxcd´esigne la partie enti`ere de x, i.e. l’unique entier relatif tel quebxc ≤x <bxc+ 1. Soitx0un r´eel fix´e. On d´efinit la suite (un)_n∈N^∗ par :

∀n∈N^∗ un=

n

X

k=1

bkx0c n² . 1. Montrer que :

∀n∈N^∗ x0

n(n+ 1) 2n² − 1

n ≤un≤x0

n(n+ 1) 2n² . 2. En d´eduire le comportement asymptotique de la suite (un)_n∈N^∗.

Exercice 100 : Soient (u_n)_n∈N^∗ et (v_n)_n∈N^∗ les deux suites d´efinies par :

∀n∈N^∗ u_n =

n

X

k=1

1

k³ et v_n=u_n+ 1 n² . 1. Montrer que les suites (un)_n∈N^∗ et (vn)_n∈N^∗ sont adjacentes.

2. Que peut-on en d´eduire ?

Exercice 101 : Soit (un)_n∈Nla suite d´efinie par :







u0= 1 et

∀n∈N un+1= 7un−3 .

1. Donner une expression de un en fonction den, pour toutn∈N. 2. ´Etudier le comportement asymptotique de la suite (u_n)_n∈N.

Exercice 102 : Soit (un)_n∈Nla suite d´efinie par :







u0= 2 et

∀n∈N un+1=1 2un−1

.

1. Donner une expression de u_n en fonction den, pour toutn∈N. 2. ´Etudier le comportement asymptotique de la suite (un)n∈N.

3

Exercice 103 : Soitf la fonction d´efinie par :

f:R→R; x7→x²−2x+ 2 et soit (un)_n∈Nune suite v´erifiant :







1< u0<2 et

∀n∈N u_n+1=u²_n−2u_n+ 2 1. Dresser le tableau de variations def.

2. ´Etudier le signe de f(x)−xpour toutx∈R. On interpr´etera graphiquement le r´esultat obtenu.

3. Dans un rep`ere R du plan, repr´esenter graphiquement la courbe repr´esentative de f ainsi que la droite d’´equationy=x.

4. Repr´esenter sur le graphique pr´ec´edent les premiers termes de la suite (un)_n∈Ndans le cas o`uu0= 3 2. 5. Montrer que pour toutn∈N:

1< un <2.

6. Montrer que la suite (un)n∈Nest strictement d´ecroissante.

7. Montrer que la suite (un)n∈Nconverge vers une limitel∈Rv´erifiant : 1≤l≤u0.

8. D´eterminer la valeur del.

F Exercice 104 : Soient (u_n)_n∈Net (v_n)_n∈Nles suites d´efinies par : u0= 5 ; v0= 17 et un+1=5un+vn

6 ; vn+1=−2un+ 5vn

3 pour toutn∈N. On pose pour toutn∈N:

wn=vn−un. 1. Montrer que (wn)_n∈N est une suite g´eom´etrique.

2. Exprimer wn en fonction den, pour toutn∈N.

3. ´Etudier le comportement asymptotique de la suite (wn)_n∈N. 4. Montrer que suites (u_n)_n∈Net (v_n)_n∈Nsont croissantes.

5. ´Etudier le comportement asymptotique des suites (u_n)_n∈Net (v_n)_n∈N.

F Exercice 105 : Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Pour chacune, donner, si elle est vraie, la d´emonstration, et, si elle est fausse, un contre-exemple.

1. Toute suite convergente est born´ee.

2. Toute suite born´ee est convergente.

3. La somme de deux suites divergentes est une suite divergente.

4. La somme de deux suites major´ees est une suite major´ee.

5. Le produit de deux suites major´ees est une suite major´ee.

6. Le produit de deux suites born´ees est une suite born´ee.

7. Toute suite d´ecroissante est minor´ee.

8. Toute suite `a termes positifs convergeant vers 0 est d´ecroissante `a partir d’un certain rang.

9. Toute suite strictement croissante tend vers +∞.

10. Toute suite d´ecroissante positive tend vers 0.

4