1 Suites r´ ecurrentes

Suites r´ ecurrentes, approximations

1 Suites r´ ecurrentes

1.1 Visualisons un premier exemple

# u04

u_{n 1} th^u₂ⁿ@nP N

1.2 D´efinitions, rappels

D´efinition. Unesuite r´ecurrente est une suite d´efinie par une relation du type (o`uf est une fonction r´eelle) :

# u0 P R

@nP N, u_{n 1}fpu_nq

D´efinition. Soit I un intervalle etf : R Ñ R. On dit queI estun intervalle stable par f si et seulement si fpIq €I

D´efinition. Soitf : I Ñ R. On dit quef estcontractantesurI si et seulement sif estk-lipschitzienne, avec kP r0,1r, c’est-`a-dire :

D0¤k 1 t.q.@px, yq PI², |fpyq fpxq| ¤k|yx|

Rappel.

D´efinition. Soit f : I Ñ R. On dit queαPI est unpoint fixe def si et seulement si : fpαq α Rappel.

Remarque.

M´ethode – 1<sup>`ere</sup> ´etape (commune `a toutes les m´ethodes). On montre que la suite est bien d´efinie et on cherche un intervalle stable par f o`u sont tous les termes de la suite.

On r´esout dans cet intervalle l’´equation fpxq x pour chercher les «limites-candidates ». Remarque.

1.3 Cas o`u f est contractante.

M´ethode 1 (cas o`u f contractante). Dans le cas o`u : ãÑ I est un intervalle ferm´e stable par f etu₀ PI ãÑ f est k-contractante surI

ãÑ f admet un point fixe `PI Alors

ãÑ Une premi`ere r´ecurrence [imm´ediate] permet d’affirmer que la suite pu_nqnPN est bien d´efinie, et que ses termes restent dansI.

ãÑ Une seconde r´ecurrence [facile] permet d’affirmer que : @nP N, |un`| ¤k<sup>n</sup>|u0`| ãÑ On peut donc conclure par le th´eor`eme de convergence par encadrement que u_nÝÝÝÝÑ

nÑ 8 `.

Remarque.

Remarque.

1.4 Cas o`u f est croissante

M´ethode 2 (cas o`u f est croissante). Dans le cas o`u : ãÑ I est un intervalle stable par f etu0 PI

ãÑ f est croissante sur I ãÑ f admet un point fixe `PI Alors

ãÑ On montre que pu_nqn est bien d´efinie, et que u_nPI @n.

ãÑ On montre que pu_nqn est monotone (en utilisant le signe de fpxq x ou en comparantu₀ et u₁ et en faisant une r´ecurrence)

ãÑ On regarde si pu_nqn est major´ee (ou minor´ee) donc convergente.

ãÑ On sait donc l’existence de la limite que l’on d´etermine parmi les limites-candidates (quitte `a pr´eciser un peu. . . )

1.5 Cas o`u f est d´ecroissante

M´ethode 3 (cas o`u f est d´ecroissante). Dans le cas o`u : ãÑ I est un intervalle stable par f etu₀ PI

ãÑ f est d´ecroissante sur I ãÑ f admet un point fixe `PI Alors

ãÑ On montre que pu_nqn est bien d´efinie, et que u_nPI pour toutn.

ãÑ On montre que les suites extraites pu2pqpPN etpu2p 1qpPN sont monotones de monotonies oppos´ees ãÑ On ´etudie ces deux suites simultan´ement comme au §1.4

Remarque.

1.6 Exemples

1.6.1 Exemple avec f contractante

Exemple.

#u₀ P R

@nP N, un 1 ₃^?π₃cosun

1.6.2 Exemple avec f croissante

Exemple.

# u0 P R

@nP N, u_{n 1} ¹₆pu²_n 8q

Remarque.

1.6.3 Exemple avec f d´ecroissante

Exemple.

#u₀ ¹₂

@nP N, un 1 ₁ ²_u2 n

1.6.4 Exemple o`u tout n’est pas toujours tr`es simple.

Exemple. Observer graphiquement le comportement de la suite d´efinie par :

#

u₀ 0,95

@nP N, un 1 1 _u²

n

1.6.5 Exemple o`u tout peut ˆetre tr`es compliqu´e.

Exemple. Pour la suite d´efinie par la relation u_{n 1} ru_np1u_nq, le nombres de «valeurs d’adh´erences » de la suite d´epend der, selon le diagramme suivant :

1.7 Utilisation de Maple

Calcul des termes successifs de punqnPN. Si l’on connaˆıt n et que l’on veut calculer un, on peut utiliser un proc´ed´e it´eratif.

> f := x -> f(x);

> u := u0;

> for k from 1 to n do

u := f(u):

od:

u;

Calcul des termes successifs de punqnPN. On peut utiliser@@qui permet de composer une fonctionnfois avec elle-mˆeme. Ainsi on obtiendra u_n avec l’instruction suivante :

> f := x-> f(x);

> (f @@ n)(u0);

Repr´esentation d’une suite r´ecurrente. On aura int´erˆet `a utiliser l’instruction display de la biblioth`eque plots. L’id´ee est de repr´esenter sur un mˆeme graphe la courbe def, la premi`ere bissectrice, et la ligne bris´ee joignant les points de coordonn´eespun, un 1q,pun 1, un 1q.

Repr´esentation d’une suite r´ecurrente.

> f := x -> f(x);

> with (plots):

> A := plot(f, a..b, c..d, scaling=constrained):

> B := plot(x -> x, a..b, color=black):

> u := u0: L := [u,0]:

> for k from 1 to n do

L := L, [u,f(u)], [f(u),f(u)];

u := f(u):

od:

> C := plot([L], color=green):

> display([A,B,C]);

2 M´ ethodes d’approximations

2.1 Approximation de racine carr´ee

Probl`eme. Donner une valeur approch´ee de ?

aen n’utilisant que des calculs fractionnaires.

M´ethode de H´eron. On consid`ere la suite d´efinie par :

u0 ¡0 et @nP N, un 1 1 2

un

a u_n

Alors pu_nqn converge vers ? a.

Majoration de l’erreur.

Exemple. Approximer?

2 aveca2 et u₀ ³₂. Algorithme.

2.2 M´ethodes de dichotomie

Probl`eme. Etant donn´´ ee une fonction continue strictement monotone f sur ra, bs, telle que fpaqfpbq   0, il existe un unique z´ero def, c’est-`a-dire une uniqueαP ra, bstel quefpαq 0. On cherche une valeur approch´ee de α.

M´ethode de dichotomie. On pose m ^{a b}₂ . L’´etude du signe defpmq permet de situerα par rapport `a m, donc dans ra, ms ou dansrm, bs.

On recommence en rempla¸cant pa, bq parpa, mq oupm, bq selon le cas.

A chaque ´` etape, αP ra, bs. Remarque.

Majoration de l’erreur.

Algorithme.

> dichotomie1 := proc (f, a0, b0, epsilon) local a, c, b;

b := max (b0, a0);

a := min (a0, b0);

while (b-a) > epsilon do c := (b+a)/2;

if f(a)*f(c)<0 then b := c

else a := c fi;

od;

a;

end:

Remarque.

Algorithme.

> dichotomie := proc (f::procedure, a0::realcons, b0::realcons, epsilon::realcons) local a, c, b, i;

Digits := floor (-log(epsilon)+3);

b := evalf (max (b0,a0));

a := evalf (min(a0,b0));

if f(a)*f(b)>0 then

"Y a-t-il vraiment un z´ero entre a et b ?"

else

for i while (b-a) > epsilon do c := (b+a)/2;

if f(a)*f(c)<0 then

b := c else

a:=c fi;

od;

[a,i];

fi;

end:

> dichotomie (x -> tan (x) + x - 2 , 0.4, 1.5, 10^(-10));

[0.85353011387051083147525789, 35]

2.3 M´ethode de Newton-Raphson

Probl`eme. Mˆeme probl`eme que pr´ec´edemment, dans le cas o`u f est d´erivable, etf¹ ne s’annule pas.

M´ethode de Newton-Raphson. On donnex₀.

On construit par r´ecurrence la suitepx_nqn en posant :x_{n 1} x_{n f}^f1^pp^xxⁿn^qq. Si

ãÑ f est C² sur ra, bs ãÑ f s’annule sur ra, bs

ãÑ f¹ ne s’annule pas surra, bs ãÑ f² ne s’annule pas surra, bs ãÑ fpx₀qf²px₀q ¡0

alors px_nqn converge vers `satisfaisant fp`q 0.

Estimation de l’erreur. Avec les notations pr´ec´edentes,

@nP N, |x_{n 1}α| ¤ M₂

2m₁|x_nα|² o`uM2 etm1 satisfont :

Algorithme.

> newton := proc (f::procedure, a::realcons, b::realcons, epsilon::realcons) local u, v, f1, f2, i;

Digits := floor (-log(epsilon)+3);

f1 := D(f);

f2 := D(f1);

u := evalf((a+b)/2);

v := u - f(u)/f1(u);

if f(u)*f2(u) < 0 then

"N'entre pas dans le cadre de cette procedure"

else

for i to 10000 while abs(v-u) > epsilon do

u := v;

v := u - f(u)/f1(u);

od;

if i >= 10000 then

"D´esol´e, l'algorithme ne converge pas"

else [v,i]

fi;

fi;

end:

> newton(x-> tan (x) + x - 2, 0.4, 1.6, 10^(-10));

[0.85353011389459284349244213, 5]

Remarque.

3 Suites r´ ecurrentes lin´ eaires du second ordre ` a coefficients constants

D´efinition. On appellesuites r´ecurrentes lin´eaires du second ordre `a coefficients constantsles suites pu_nqnPN telles qu’il existepa, bq P K² tel que :

#

u0, u1 donn´es dans K

@nP N, u_{n 2}au_{n 1} bu_n pEq D´efinition. On appelle´equation caract´eristiquel’´equation r²arb0

R´esultat – 2 racines distinctes. Si l’´equation caract´eristique admet deux racines distinctes r1 et r2 dans K alors toute suite satisfaisant pEq a un terme g´en´eral de la forme :

u_nλpr₁qⁿ µpr₂qⁿ

On d´etermineλetµ`a partir de u₀ etu₁

R´esultat – 1 racine double. Si l’´equation caract´eristique admet une racine double r dansK, alors toute suite satisfaisant pEq a un terme g´en´eral de la forme :

u_nλrⁿ µ nrⁿ

On d´etermineλetµ`a partir de u0 etu1

R´esultat – K R, racines complexes conjugu´ees. SiK R et ∆ 0, on note r ρe^iθ une racine complexe de l’´equation caract´eristique. L’autre est r ρe^iθ. Alors toute suite satisfaisant pEq a un terme g´en´eral de la forme :

unρⁿpλcosnθ µsinnθq On d´etermineλetµ`a partir de u₀ etu₁

Preuve.

Remarque. Dans le troisi`eme cas, on peut transformer cette ´ecriture en u_nρⁿ Acospnθ Bq .

Preuve.

Exemple.

#

u₀ 0, u₁ 1

@nP N, u_{n 2} u_{n 1} u_n Exemple.

#

u₀ 1, u₁ 9

@nP N, un 2 un 1¹₄un

Exemple.

#

u₀ 0, u₁ 1

@nP N, un 2 2un 14un

4 Compl´ ement : Cas des suites r´ ecurrentes affines du premier ordre ` a coefficients constants

D´efinition. Il s’agit des suites pu_nqnPN telles qu’il existepa, bq P K² tel que :

@nP N, u_{n 1}au_n b R´esultat.

(a) Sia1, c’est une suite arithm´etique de raisonb.

(b) Si a 1, on se ram`ene `a une suite g´eom´etrique en prenant λP K (`a choisir ult´erieurement) et pv_nqnPN

d´efinie par :

@nP N, vnun λ On a alors@nP N :

vn 1 un 1 λ

au_n b λ

apv_nλq b λ avn p1aqλ b

En posant λ b

a1, on voit quepv_nqnPNest une suite g´eom´etrique de raison a. On a donc@nP N, v_n aⁿv₀ et donc :

@nP N, u_naⁿ

u₀ b

a1

b

a1

5 Compl´ ement : Cas des suites homographiques.

D´efinition. On appellesuite homographiqueune suite d´efinie par la relation de r´ecurrence :

@nP N, un 1 aun b

cu_n d

o`uc0 et adbc0.

Remarque.

• Il est difficile en g´en´eral de montrer qu’une telle suite est bien d´efinie. Il faudrait s’assurer que pour tout

n,un d

c.

• L’´equation x ^{ax b}_{cx d} permettant de rechercher les seules candidats-limites est ´equivalente `a cx<sup>2</sup> pd aqxb0, qui poss`ede z´ero, une ou deux racines r´eelles.

Etude.´

• S’il n’y a pas de racine r´eelle, alors la suite ne peut pas converger.

• S’il y a une racine r´eelle double`, c’est l’unique candidat-limite. Si un prend la valeur` pour un certain n, on montrer par r´ecurrence imm´ediate qu’elle est constante ´egale `a ``a partir de ce rang.

Sinon, on remarque alors que la suite d´efinie par :

v_n 1

un`

est une suite arithm´etique de raison _{a d}^2c 0 (faire le calcul), qui diverge donc vers 8. Il suit que la suitepu_nqnPN, si elle est d´efinie, converge vers `.

• S’il y a deux racines r´eelles α et β. Si un prend la valeur α ou β pour un certain n, on montre par r´ecurrence imm´ediate qu’elle est constante ´egale `a cette valeur `a partir de ce rang.

Sinon, on remarque que la suite d´efinie par :

v_n unα u_nβ

est une suite g´eom´etrique de raison _{cα d}^{cβ d} (faire le calcul). L’´etude de la convergence de pv_nqnPN permet alors de d´eduire celle depu_nqnPN.

Remarque. L’article http: // www. dma. ens. fr/ culturemath/ maths/ pdf/ analyse/ homographies. pdf ex- plique pourquoi cette m´ethode permet d’´etudier les suites homographiques.

Suitesr´ecurrentesd’ordre1 21.1 132´ Etudierlasuited´efiniepar:uet@nPNuu0n1n 216 suitesrecurrentes_1.tex 21.2

´ Etudierlasuited´efiniepar: b 12uPs1,8ret@nPNupu7uq1suitesrecurrentes_3.tex0n1nn2 21.3Discuterselonuet´etudierlasuited´efiniepar:uet@nP00 Nulnp12uqsuitesrecurrentes_4.texn1n 21.4

´ Etudierlasuited´efiniepar:@nPNulnpu3qdansn1n lecaso`uu0,puisdanslecaso`uu5.Illustrergraphiquement.00 suitesrecurrentes_8.tex 21.5

´ Etudierlasuited´efiniepar:u¡0et@nPNu0n1 1 u1suitesrecurrentes_16.texn un 21.6

3 ´ Etudierlasuited´efiniepar:uPRet@nPNu0n122u1n suitesrecurrentes_5.tex 21.7 6 ´ Etudierlasuited´efiniepar:u¥0et@nPNu0n122un suitesrecurrentes_15.tex 21.8

´ Etudierlasuited´efiniepar:u eet@nPNu0n1 lnpeuqsuitesrecurrentes_9.texn un121.9Soitlasuited´efiniepar:uPRet@nPNue0n

´ Etudierlaconvergencedecettesuiteenutilisantunaccroissementfini. suitesrecurrentes_11.tex 21.10Soitlasuited´efiniepar: b 2 uPr0,2set@nPNuu2u40nn1n1 ? (a)Montrerquepourtoutn¥1,uPr3,2s.n (b)Montrerquepourtoutn¥2: 1 ?|u2|¤|u2|nn1 3 (c)End´eduirelaconvergencedepunqnPN. suitesrecurrentes_10.tex 21.11

6 ´ Etudierlasuited´efiniepar:u¥0et@nPNu0n122un suitesrecurrentes_15.tex 21.12

´ Etudierlasuited´efiniepar:uPr0,1set@nPNu0n1 sin2usuitesrecurrentes_14.texn 21.13

´ Etudierlasuited´efiniepar:u¡0et@nPNu0n1 2 u3n 2pu1qn

suitesrecurrentes_17.tex 21.14Soitlasuited´efiniepar:u1¡0et@nPN un1un 1nu2 n

´ Etudierlamonotoniedecettesuite,puissaconvergence.suitesrecur- rentes_12.tex ´ E21.15SoitaPC.tudierlasuitecomplexed´efiniepar: zn zPCet@nPNz0n1 azn suitesrecurrentes_2.tex 21.16

2´ Etudierlasuited´efinieparuaPRet@nPN,uu.0n1n suitesrecurrentes_25.tex Suitesr´ecurrenteslin´eairesd’ordre2 21.17SoitaPR.Exprimerletermeg´en´eraldelasuited´efiniepar: u,uPRet@nPNup2aqupa1qusuitesrecurrentes_6.tex01n2n1n 21.18

´ Etudierlasuited´efiniepar:0 u uet@nPNu01n2 ? uusuitesrecurrentes_7.texn1n 21.19SoitθPs0,πrfix´e.Exprimerletermeg´en´eraldessuitespuqnn satisfaisantlarelationder´ecurrence: 1 @nPN,upcosθquu1n2n1n 4 suitesrecurrentes_22.tex

21.20D´eterminerlessuitesr´eellespunqnsatisfaisant: # u01,u11 @nPN,un2un11 2un suitesrecurrentes_30.tex 21.21D´eterminerlessuitesr´eellespunqnsatisfaisant: # u02,u11 @nPN,un2un11 4un suitesrecurrentes_31.tex Approximations 21.22 (a)Montrerquesinπ 18estl’uniquesolutiondans 0,1 3 dex 4 3x31 6. (b)Onconsid`erelasuited´efiniepar: u00et@nPN,un14 3u3 n1 6 Montrerquepunqnconvergeverssinπ 18. (c)End´eduireunevaleurapproch´eedesinπ 18`a106 pr`es. suitesrecurrentes_21.tex 21.23Onconsid`erel’´equationlnxx0d’inconnuex¡0. (a)Montrerquel’´equationposs`edeuneuniquesolutionα. (b)Former,parl’algorithmedeNewton,unesuiter´ecurrenter´eelle punqnconvergeantversα. suitesrecurrentes_23.tex