Math´ematiques L2
Gwenn PARENT
TD N˚9 et 10
Cette interro a ´et´e not´ee sur 22 points :
10.5 points pour l’exercice 1, 4.5 points pour l’exercice 2, et 7 points pour l’exercice 3.
Le tableau suivant reprend les statistiques usuelles sur l’ensemble des deux groupes (9 et 10) en premi`ere colonne, sur le seul groupe 9 en seconde colonne et sur le seul groupe 10 en derni`ere colonne.
Gr 9 et 10 Gr 9 Gr 10
Moyenne 10.88 10.09 11.67
Ecart-type 4.03 3.84 4.15
Min 2.5 3 2.5
Max 17 16.5 17
Notes<10 15 / 46 10 / 23 5 / 23 Notes<5 3 / 46 2 / 23 1 / 23
La participation qui est rajout´ee `a la moyenne de vos trois notes d’interros est bas´ee sur les pr´eparations que vous m’avez rendues, leur qualit´e, et le nombre d’exercices de chaque pr´eparation. J’ai rajout´e jusqu’`a 1 point
`a la moyenne des notes d’interros. La moyenne des participations rajout´ees est de 0.2.
Correction du Contrˆole Continu N˚3
Exercice 1 : Suites r´ ecurrentes (10.5 points)
Soient les suites r´ecurrentes un,vn etwn d´efinies par le syst`eme suivant :
un+1 = un+ 3vn−3wn
vn+1 = 3vn−2wn
wn+1 = vn
1. PosonsZn=
un
vn
wn
. ExprimezZn+1 en fonction deZn.
Nous avonsZn =
un
vn
wn
et Zn+1=
un+1
vn+1
wn+1
.
Donc nous pouvons dire que :Zn+1=AZn, avecAla matrice 3∗3 suivante :A=
1 3 −3 0 3 −2
0 1 0
En effet :
un+1
vn+1
wn+1
=
1 3 −3 0 3 −2
0 1 0
un
vn
wn
=
un+ 3vn−3wn
3vn−2wn
vn
2. Donnez l’expression deun, vn etwn en fonction de n,u0,v0 etw0.
Nous savons queZn+1=AZn, d´emontrons donc par r´eccurence que∀n∈N,Zn=AnZ0 : – La propri´et´e est vraie pourn= 0, en effet : Z0=A0Z0=IZ0=Z0.
– Supposons la propri´et´e vraie au rangn, et d´emontrons qu’elle est vraie au rangn+ 1 : Zn =AnZ0, doncZn+1=AZn=A∗AnZ0=An+1Z0, la propri´et´e est vraie au rangn+ 1 – Ccl :∀n∈N,Zn =AnZ0
Afin de calculer An, nous devons diagonaliser A : 1`ere ´etape : D´etermination des valeurs propres deA: λest valeur propre deAssi∃X 6= 0 tqAX=λX
1
(A−λI)X= 0 ⇔
(1−λ) 3 −3 0 (3−λ) −2
0 1 −λ
X= 0 ⇔
(1−λ) 3 −3
0 1 −λ
0 (3−λ) −2
X = 0
⇔
(1−λ) 3 −3
0 1 −λ
0 0 −(λ−1)(λ−2)
X = 0 ⇔ Syst`eme 1 DoncAadmet deux valeurs propres distinctes :λ∈ {1; 2}
2`eme ´etape : D´etermination des vecteurs propres associ´es aux valeurs propres deA:
∗ λ= 1 :
Syst`eme 1 devient :
0 3 −3 0 1 −1
0 0 0
x y z
= 0
Donc :
½ 3y−3z= 0
y−z= 0 ⇔ y=z
Conclusion : 1 est valeur propre de A, de sous espace propre associ´e :V ect((1,0,0); (0,1,1))
∗ λ= 2 :
Syst`eme 1 devient :
−1 3 −3
0 1 −2
0 0 0
x y z
= 0
Donc :
½ −x+ 3y−3z= 0
y−2z= 0 ⇔
½ −x+ 3(2z)−3z=−x+ 3z= 0
y= 2z ⇔
½ x= 3z y= 2z Conclusion :−1 est valeur propre de A, de sous espace propre associ´e :V ect((3,2,1)) 3`eme ´etape : Diagonalisation de A
La somme des dimensions des sous-espaces propres associ´es est ´egale `a 3, donc A est diagonalisable : Apeut donc s’´ecrire :A=P DP−1, avecD=
1 0 0 0 1 0 0 0 2
etP =
1 0 3 0 1 2 0 1 1
. Calcul de l’inverse deP :
det(P) =−1 etcom P =
−1 0 0
3 1 −1
−3 −2 1
doncP−1=
1 −3 3
0 −1 2
0 1 −1
V´erifions que :A=P DP−1 P DP−1=
1 0 3 0 1 2 0 1 1
1 0 0 0 1 0 0 0 2
1 −3 3
0 −1 2
0 1 −1
=
1 0 6 0 1 4 0 1 2
1 −3 3
0 −1 2
0 1 −1
=
1 3 −3 0 3 −2
0 1 0
=A
On peut d´emontrer par r´eccurence queAn=P DnP−1:
– La propri´et´e est vraie pourn= 0, en effet : A0=P D0P−1=P IP−1=P P−1=I.
La propri´et´e est vraie au rang 0.
– Supposons la propri´et´e vraie au rangn, et d´emontrons qu’elle est vraie au rangn+ 1 :
An = P DnP−1, donc An+1 = An∗ A = P DnP−1∗ P DP−1 = P Dn(P−1P)DP−1P DnIDP−1 = P DnDP−1=P Dn+1P−1, la propri´et´e est vraie au rangn+ 1
– Ccl :∀n∈N,An =P DnP−1
On peut donc en d´eduire :Zn =AnZ0=P DnP−1Z0 soit encore :
un
vn
wn
=
1 0 3 0 1 2 0 1 1
1n 0 0 0 1n 0 0 0 2n
1 −3 3
0 −1 2
0 1 −1
u0
v0
w0
un
vn
wn
=
1 0 3∗2n 0 1 2n+1 0 1 2n
1 −3 3
0 −1 2
0 1 −1
u0
v0
w0
un
vn
wn
=
1 3(2n−1) 3(1−2n) 0 2n+1−1 2(1−2n) 0 2n−1 2(1−2n−1)
u0
v0
w0
un vn
wn
=
u0+ 3(2n−1)v0+ 3(1−2n)w0 (2n+1−1)v0+ 2(1−2n)w0
(2n−1)v0+ 2(1−2n−1)w0
2
3. SoitZ0=
1 1 0
, donnez l’expression de Zn en fonction de n.
un
vn
wn
=
1 + 3(2n−1) (2n+1−1)
(2n−1)
=
3∗2n−2 (2n+1−1)
(2n−1)
4. Y a-t-il un vecteur d’´equilibre non nul ? Donnez l’ensemble solution si n´ecessaire Un vecteur d’´equilibre v´erifie
un+1 = un
vn+1 = vn
wn+1 = wn
⇒
un = un+ 3vn−3wn
vn = 3vn−2wn
wn = vn
⇒
un = un+ 3vn−3vn
vn = wn
wn = vn
⇒
un = un
vn = wn
wn = vn
L’ensemble solution est donc :∀(a, b)∈R2, Zn=
un
vn
wn
=
a b b
, ou encoreV ect((1,0,0); (0,1,1)).
Exercice 2 : Formes quadratiques (4.5 points)
Soit la forme quadratique suivante :
Q(x, y, z) = 4x2−y2+ 2z2−2xy+ 4xz
1. Trouvez la matrice associ´ee `a cette forme quadratique sur R3, puis d´eterminez son signe.
A=
4 −1 2 1 −1 0
2 0 2
. Les mineurs principaux diagonaux sont :|A1|= 4>0,|A2|=−5<0 et|A3|=−6<0 A est ind´efinie, le point (0,0,0) est un point selle.
2. Mˆeme question sur le sous-espace x+y= 0
Nous rempla¸consx=−ydans la forme quadratiqueQ(x, y, z) = 4x2−y2+ 2z2−2xy+ 4xz, ce qui donne : Q(−y, y, z) = 5y2+ 2z2−4yz, dont la matrice B est :B=
µ 5 −2
−2 2
¶
Les mineurs diagonaux sont :|B1|= 5>0,|B2|= 10−4 = 6>0, donc B est stristement d´efinie positive, et le point (0,0,0) est un minimum strict global.
Exercice 3 : Optimisation (7 points)
1. Optimisation libre : D´eterminer les points critiques et leur type pour la fonction suivante : f(x, y) =x4+x2−6xy+ 3y2
Cet exercice est le mˆeme que le casQ2(x, y) de l’exercice 1 du TD12. Reportez-vous `a la correction faite en TD.
2. Optimisation sous contrainte : Soit la fonction d’utilit´e suivante : U(X, Y) =X2+ 2XY −2Y2
(a) Maximiser l’utilit´e de ce consommateur sous la contraite budg´etaire suivante :2X+Y = 22.
(La m´ethode utilisant le Taux Marginal de Substitution est interdite ici).
L(X, Y, λ) =X2+ 2XY −2Y2−λ(2X+Y −22) Les conditions du premier ordre nous donnent :
δL
δX = 2X+ 2Y −2λ= 0
δL
δY = 2X−4Y −λ= 0
δL
δλ = 2X+Y −22 = 0
Et donc :λ=X+Y = 2X−4Y soitX = 5Y.
La solution de ce probl`eme d’optimisation sous contrainte d’´egalit´e est donc :X∗= 10 etY∗= 2.
(b) Interpr´etation : Indiquez combien valent les prix unitaires des biensX etY :pX,pY et le revenu R du consommateur dans cet exemple.
L’´equation de la contrainte budg´etaire 2X+Y = 22 nous donne :pX= 2, pY = 1 etR= 22.
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