Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2013-2014
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚16 Suites r´ eelles
Exercice 133 (Suites arithm´etico-g´eom´etriques) 1. Soit (un)n∈N la suite d´efinie par
u0= 1 2 ;
la relation de r´ecurrenceun+1= 1 3un+1
5 valable pour toutn∈N. (a) Expliciter le terme g´en´eral de la suite (un)n∈N.
(b) ´Etudier les variations de la suite (un)n∈N.
(c) ´Etudier le comportement asymptotique de la suite (un)n∈N. 2. Soit (un)n∈N∗ la suite d´efinie par
u1= 3 ;
la relation de r´ecurrenceun+1=−un+ 4 valable pour toutn∈N∗. (a) Expliciter le terme g´en´eral de la suite (un)n∈N∗.
(b) ´Etudier les variations de la suite (un)n∈N∗.
(c) ´Etudier le comportement asymptotique de la suite (un)n∈N∗.
Exercice 134 (Suites r´ecurrentes lin´eaires d’ordre 2) 1. Soit (un)n∈N la suite d´efinie par
u0=−2 ; u1= 4 ;
la relation de r´ecurrenceun+2= 5un+1−6un valable pour toutn∈N. (a) Expliciter le terme g´en´eral de la suite (un)n∈N.
(b) ´Etudier le comportement asymptotique de la suite (un)n∈N. 2. Soit (un)n∈N la suite d´efinie par
u0= 1 ; u1= 2 ;
la relation de r´ecurrenceun+2=un+1−1
4un valable pour toutn∈N. Expliciter le terme g´en´eral de la suite (un)n∈N.
3. Soitθ∈]−π2,π2[. Soit (un)n∈N la suite d´efinie par
u0= 1 ; u1= 0 ;
la relation de r´ecurrenceun+2= 2 cos(θ)un+1−un valable pour toutn∈N. Expliciter le terme g´en´eral de la suite (un)n∈N.
Exercice 135 (Une combinaison lin´eaire de suites born´ees est born´ee)
Soient (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites born´ees. Montrer que toute combinaison lin´eaire des suites (un)n∈N et (vn)n∈N est born´ee.
1
Exercice 136 (Suites d´efinies de fa¸con explicite et caract`ere major´e (resp. minor´e, born´e)) 1. ´Etudier le caract`ere major´e (resp. minor´e, born´e) de la suite (un)n∈Nd´efinie par
un= (−1)n sin(ln(n2+ 1)) pour toutn∈N.
2. ´Etudier le caract`ere major´e (resp. minor´e, born´e) de la suite (un)n∈Nd´efinie par un=n+ cos(n)
pour toutn∈N.
Exercice 137 (Preuve de la convergence d’une suite en revenant `a la d´efinition) Soit (un)n∈N la suite d´efinie par
un= 2− 1 n+ 7
pour toutn∈N. D´emonter queun →2 en revenant `a la d´efinition de la notion de limite.
Exercice 138 (Preuve de la divergence d’une suite vers +∞en revenant `a la d´efinition) Soit (un)n∈N la suite d´efinie par
un= 5n−3
pour toutn∈N. D´emonter queun →+∞en revenant `a la d´efinition de la notion de limite.
Exercice 139 (Une suite d’entiers qui converge est stationnaire)
Soit (un)n∈N une suite d’entiers (i.e. v´erifiant un ∈ Z pour tout n ∈ N). D´emontrer que si la suite (un)n∈N
converge alors elle est stationnaire.
Exercice 140 (Produit d’une suite convergeant vers 0 et d’une suite born´ee)
1. Soit (un)n∈N une suite qui converge vers 0 et soit (vn)n∈N une suite born´ee. Montrer que la suite (unvn)n∈Nconverge vers 0 en revenant `a la d´efinition de la limite.
2. ´Etudier le comportement asymptotique de la suite
cos(n2) n+ 1
n∈N
.
Exercice 141 (Nature de la s´erie de terme g´en´eral qn pour un r´eelq fix´e) Soitq∈R. Pour toutn∈N, on pose
Sn=
n
X
k=0
qk.
Etudier le comportement asymptotique de la suite (S´ n)n∈Nen distinguant plusieurs cas suivant la valeur deq.
Exercice 142 (Nature de la s´erie de terme g´en´eral 1/n2) Pour toutn∈N∗, on pose
Sn=
n
X
k=1
1 k2 1. ´Etudier les variations de la suite (Sn)n∈N∗
2. (a) Montrer que pour toutk∈N≥2
1 k2 ≤ 1
k−1−1 k. (b) En d´eduire que la suite (Sn)n∈N∗ est major´ee par 2.
(c) Justifier que la suite (Sn)n∈N∗ est convergente et que 1≤limSn≤2.
Remarque : On peut montrer (et on montrera plus tard) que le nombreζ(2) := lim
n→+∞
n
X
k=1
1
k2 vaut π2 6 .
2
Exercice 143 (Nature de la s´erie de terme g´en´eral 1/n3) Pour toutn∈N∗, on pose
un =
n
X
k=1
1
k3 et vn=un+ 1 n2.
En utilisant le th´eor`eme des suites adjacentes, d´emontrer que ces deux suites convergent.
Remarque : Le nombreζ(3) := lim
n→+∞
n
X
k=1
1
k3, dont une valeur approch´ee est1,20205690315959428539973816151, n’est ≪pas tr`es bien connu≫. On sait toutefois qu’il est irrationnel (Roger Ap´ery, Irrationalit´e deζ(2) etζ(3), Ast´erisque 61 (1979), p. 11-13).
Exercice 144 (Moyenne arithm´etico-g´eom´etrique)
Soientaet bdeux r´eels positifs fix´es. On d´efinit deux suites (an)n∈Net (bn)n∈N par
a0=a;
la relation de r´ecurrencean+1=√
anbn valable pour toutn∈N;
b0=b;
la relation de r´ecurrencebn+1=bn+1=an+bn
2 valable pour toutn∈N. 1. Montrer que les suites (an)n∈N et (bn)n∈Nsont bien d´efinies et `a termes positifs ou nuls.
2. Montrer que pour toutn∈N,bn+1−an+1 est le carr´e d’un r´eel et en d´eduire que pour toutn∈N∗ an ≤bn.
3. Montrer que la suite (an)n∈N∗ est croissante et que la suite (bn)n∈N∗ est d´ecroissante.
4. Montrer que pour toutn∈N∗
|bn+1−an+1| ≤ 1
2|bn−an| et en d´eduire que pour toutn∈N∗
|bn−an| ≤ 1
2 n−1
|b1−a1|.
5. Montrer que les suites (an)n∈N et (bn)n∈Nconvergent vers une limite commune.
Remarque : La limite commune des suites(an)n∈Net(bn)n∈Nest appel´ee moyenne arithm´etico-g´eom´etrique des nombresaetb.
Exercice 145 (´Etude d’une suite r´ecurrente - sans ´etude de fonction au pr´ealable) Soit la suite (un)n∈Nd´efinie par
u0= 1 ;
la relation de r´ecurrenceun+1=√
un+ 2 valable pour tout n∈N. 1. D´emontrer que la suite (un)n∈Nest bien d´efinie, minor´ee par 1 et major´ee par 2.
2. ´Etudier le sens de variation de la suite (un)n∈N.
3. Justifier la convergence de la suite (un)n∈N, puis d´eterminer limun.
Exercice 146 (´Etude d’une suite r´ecurrente - avec ´etude de fonction au pr´ealable) 1. On fixe un rep`ere (O;−→i ,−→j) du plan. Soit la fonctionf d´efinie par
f : ]0,+∞[ → R x 7→ 2x− 1
x et soitCf sa courbe repr´esentative.
3
(a) ´Etudier les limites ´eventuelles de f en 0+ et en +∞ et interpr´eter g´eom´etriquement les r´esultats obtenus.
(b) ´Etudier la position relative de Cf et de la premi`ere bissectrice ∆ (droite d’´equationy =x dans le rep`ere (O;−→i ,−→j)).
(c) ´Etudier les variations de f surDf.
(d) Tracer sur un mˆeme graphique la courbeCf et la droite ∆, en choisissant 1 centim`etre pour la norme de||−→i|| et 0,2 centim`etre pour celle de ||−→j||.
(e) D´emontrer quef( [1,+∞[ )⊂[1,+∞[ (i.e. que l’intervalle [1,+∞[ est stable parf).
2. On d´efinit la suite (un)n∈N par
u0= 2 ;
la relation de r´ecurrenceun+1= 2un+ 1 un
valable pour toutn∈N. (a) Montrer que la suite (un)n∈N est bien d´efinie.
(b) Repr´esenter graphiquement les quatre premiers termes de la suite (un)n∈N. (c) Montrer que la suite (un)n∈N est minor´ee par 2.
(d) Montrer que la suite (un)n∈N est strictement croissante.
(e) Montrer que la suite (un)n∈N est divergente.
(f) Pr´eciser le comportement asymptotique de (un)n∈N.
4
