U12 – Les suites (exercice corrigé)
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EXERCICES SUR LES SUITES 1
U12 – Les suites (exercice corrigé)
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CORRIGE
2
1) a)
{ 𝑢𝑜= 4 𝑢𝑛+1= 𝑓(𝑢𝑛)
𝑢1= 𝑓(𝑢0) = 𝑓(4) = 3 − 3
4 + 1= 11
5 ; 𝑢2= 𝑓(𝑢1) = 𝑓 (11 5) = 7
4 ; 𝑢3= 𝑓(𝑢2) = 𝑓 (7 4) = 17
11 b) La suite semble décroissante et elle semble converger vers 1.
2) a)
Etudions les variations de 𝒇 𝑓′(𝑥) = 4
(𝑥 + 1)²
𝑓′(𝑥) > 0 donc 𝑓 est strictement croissante sur ] − 1 ; +∞ [
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Démonstration par récurrence
3
Soit 𝑃(𝑛) la propriété définie, pour 𝑛 ∈ ℕ par : 𝑃(𝑛) ∶ 𝑢𝑛 ≥ 1
Initialisation
Montrons que la propriété 𝑃(𝑛) est initialisée au rang : 𝑛 = 0 𝑢𝑜= 4 > 1 donc 𝑃𝑜 est vérifiée.
Hérédité
Montrons que la propriété 𝑃(𝑛) est héréditaire au rang 𝑛 + 1 : 𝑃(𝑛 + 1) ∶ 𝑢𝑛+1 ≥ 1
Supposons que pour 𝑛 ∈ ℕ , 𝑃(𝑛) soit vérifiée.
𝑢𝑛 ≥ 1
⇔ 𝑓(𝑢𝑛) ≥ 𝑓(1) car 𝑓 est croissante sur ] − 1 ; +∞ [
⇔ 𝑓(𝑢𝑛) ≥ 1
⇔ 𝑢𝑛+1 ≥ 1
Donc 𝑃(𝑛) est héréditaire.
Conclusion
La propriété 𝑃(𝑛) est initialisée et héréditaire donc 𝑢𝑛 ≥ 1.
b)
Soit 𝑃(𝑛) la propriété définie, pour 𝑛 ∈ ℕ par : 𝑃(𝑛) ∶ 𝑢𝑛+1 ≤ 𝑢𝑛
Initialisation
Montrons que la propriété 𝑃(𝑛) est initialisée au rang : 𝑛 = 0 𝑢1=11
5 et 𝑢𝑜 = 4
11
5 < 4 donc 𝑃𝑜 est vérifiée.
Hérédité
Montrons que la propriété 𝑃(𝑛) est héréditaire au rang 𝑛 + 1 : 𝑃(𝑛 + 1) ∶ 𝑢𝑛+2 ≤ 𝑢𝑛+1
Supposons que pour 𝑛 ∈ ℕ, 𝑃(𝑛) soit vérifiée.
𝑢𝑛+1 ≤ 𝑢𝑛
⇔ 𝑓(𝑢𝑛+1) ≥ 𝑓(𝑢𝑛) car 𝑓 est croissante sur ] − 1 ; +∞ [
⇔ 𝑢𝑛+2 ≤ 𝑢𝑛+1
Donc 𝑃(𝑛) est héréditaire.
Conclusion
La propriété 𝑃(𝑛) est initialisée et héréditaire donc 𝑢𝑛+1 ≤ 𝑢𝑛.
c)
On a démontré que 𝑢𝑛+1 ≤ 𝑢𝑛 donc la suite (𝑢𝑛 ) est décroissante pour 𝑛 ∈ ℕ.
On a démontré que 𝑢𝑛 ≥ 1 donc la suite (𝑢𝑛 ) minorée par 1 pour 𝑛 ∈ ℕ.
On peut conclure que la suite (𝒖𝒏 ) est convergente.
Calcul de la limite 𝒍 = 𝒇(𝒍)
⇔ 𝑙 = 3 − 4
𝑙 + 1 ⇔ 𝑙 =3(𝑙 + 1) − 4
𝑙 + 1 ⇔ 𝑙 (𝑙 + 1) = 3(𝑙 + 1) − 4 ⇔ 𝑙² − 2𝑙 + 1 = 0
∆= 0 donc l’équation admet une solution unique qui est la limite : 𝑙 = 1
