Les suites
Exercice 1 :
ROC : l’objectif est de démontrer que lim = +∞ lorsque > 1 1) Justifier l’existence d’un réel > 0 tel que : = + 1
2) Démontrer que, pour tout entier naturel , ≥ 1 + 3) Conclure.
Exercice 2 :
Etudier la limite des suites :
= −2²+ 4 + 5, =3²− + 1
+ 3 , = √2 + 1 − √2 − 1 é 1
! = 3"− 10, # =$32%− $12%
$32%+ $12% é 3
Exercice 3 :
On considère la suite numérique &' définie pour tout entier naturel par : ( = 1 et )* = 9
6 −
1)a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel , 0 < < 3. b) Démontrer que, pour tout entier naturel ,
)*− =&3 − '"
6 − La suite &' est-elle monotone ?
c) En déduire que la suite &' est convergente.
2) On considère la suite &' définie pour tout entier naturel par :
= 1
− 3
a) Démontrer que &' est une suite arithmétique de raison −*. b) En déduire l’expression de puis celle de en fonction de . c) Déterminer la limite de la suite &'.
Exercice 4 : Partie A
On considère l’algorithme suivant :
Les variables sont le réel / et les entiers naturels 0 et 1. Entrée
Saisir le nombre entier naturel non nul 1 Traitement
Affecter à / la valeur 0 Pour 0 allant de 0 à 1 − 1
Affecter à U la valeur 3/ − 20 + 3 Fin pour
Sortie Afficher /
Quel est l’affichage en sortie lorsque 1 = 3 ?
Partie B
On considère la suite &' définie par :
( = 0 et, pour tout entier naturel , )* = 3 − 2 + 3. 1. Calculer * et ".
2. (a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel , ≥ . (b) En déduire la limite de la suite &'.
3. Démontrer que la suite &' est croissante.
4. Soit la suite &' définie, pour tout entier naturel , par = − + 1. (a) [Compétence 1] Démontrer que la suite &' est une suite géométrique.
(b) En déduire que, pour tout entier naturel , = 3+ − 1. 5. Soit un entier naturel non nul.
(a) Pourquoi peut-on affirmer qu’il existe au moins un entier ( tel que, pour tout ≥ (, ≥ 102?
On s’intéresse maintenant au plus petit entier (. (b) Justifier que ( ≤ 3.
(c) Déterminer à l’aide de la calculatrice cet entier (pour la valeur = 3.
(d) Proposer un algorithme qui, pour une valeur de donnée en entrée, affiche en sortie la valeur du plus petit entier (tel que, pour tout ≥ (, on ait ≥ 102.
