PREMIÈRES-EXERCICESCHAP.9:SUITESNUMÉRIQUES(1)FICHE1
Exercice 1 - Suite arithmétique (1)
Soit (un) une suite arithmétique de premier termeu0=−4 et de raisonr= 3.
Calculer les quatre premiers termes et le vingtième.
Calculer le terme de rang 30.
Exercice 2 - Suite arithmétique (2)
Dans chacun des cas suivants, déterminer si la suite (un) définie surNest arithmétique ou non : 1) u0 = 8 et
un+1 = −un+2.
2) u0 = −7 et
un+1=un−5. 3) un =7
2n−3. 4) un=n2+ 7n.
Exercice 3 - Suite géométrique (1)
Soit (vn) une suite géométrique de premier terme v0= 200 et de raisonq=−1 2. Calculer les trois premiers termes et le dixième.
Calculer le terme de rang 10.
Exercice 4 - Suite géométrique (2)
Dans chacun des cas suivants, déterminer si la suite (vn) définie surNest géométrique ou non : 1) v0 = 20 et
vn+1 = −3vn.
2) v0 = −4 et vn+1= vn
3 .
3) V0 = 1 2 et vn+1= 2n×n
4) vn= 8×3n 2 .
Exercice 5 - Les mobiles
Voici une suite de mobiles construits avec des cubes en car- ton.
1) Donner une règle qui permette de calculer le nombre de cubes nécessaires pour construire n’importe quel mobile de la suite illustrée.
2) Si on note Mn le nombre de cubes nécessaires pour réaliser lenièmemobile, donner l’expression de Mn en fonction den.
3) Calculer M10.
Exercice 6 - Le téléphérique
Un téléphérique progresse à vitesse constante : à chaque seconde son altitude augmente de 0,75 m. La gare de départ est à une altitude de 1 450 m.
On appellean l’altitude de la cabine après nsecondes de trajet, en mètres.
1) Déterminer les valeurs de a ,a ,a .
PREMIÈRES-EXERCICESCHAP.9:SUITESNUMÉRIQUES(1)FICHE2
On suppose qu’un pin d’un âge compris entre 15 et 30 ans a une croissance régulière annuelle de 40 cm en hauteur. Pour tout entier ncompris entre 15 et 30, on notehn la hauteur, en mètre, du pin à l’âgen.
1) Pour cette question queh15= 22, calculerh16 eth17. 2) Montrer que la suite hn (pour tout entier n compris entre
15 et 30) est une suite arithmétique.
3) On suppose qu’un pin de 15 ans a une hauteur de 17 m.
Quelle sera sa hauteur lorsqu’il aura 30 ans ?
4) On suppose qu’un pin de 28 ans a une hauteur de 28 m.
Quelle était sa hauteur lorsqu’il avait 18 ans.
Exercice 8 - La bobine
400 120
Un film plastique est enroulé sur un cylindre de diamètre 120 mm, le tout constituant une bobine de 400 mm de diamètre. Le film a une épaisseur de 0,1 mm. On suppose que le dernier tour est complet. On admet que la partie enroulée peut être assimilée à un ensemble de cercles concentriques.
1) Déterminer le nombre total de tours.
2) Montrer que les longueurs de chacun des cercles concen- triques constituant l’enroulement sont des termes consécu- tifs d’une suite arithmétique dont on donnera le premier terme et la raison.
3) Calculer la longueur L du film enroulée.
Exercice 9 - Les poupées russes
La plus grande des poupées russes mesuret1= 10 cm. La taille d’une poupée est les deux-tiers de celle qui la précède.
1) On notetn la taille de la nième poupée. Exprimertn
en fonction den.
2) Calculert5.
3) Quelle serait la hauteur totale obtenue si on superpo- sait les huit premières poupées ?
Exercice 10 - Oncle Picsou
Oncle Picsou a placé 600 000 euros en 2010 sur un compte en banque. On notec0ce capital initial. Selon le principe des intérêts composés annuel, chaque année le capital est augmenté de 6% et la totalité du capital produit des intérêts l’année suivante.
1) Montrer que la suitec est géométrique de raison 1,06.
2) Calculer le montant du capital que détiendra oncle Picsou fin 2014.
PREMIÈRES-EXERCICESCHAP.9:SUITESNUMÉRIQUES(1)FICHE3
Exercice 11
Pour respecter la nouvelle norme antipollution, une usine doit réduire sa quantité de rejets de CO2 de 500 000 tonnes par an à 300 000 tonnes par an sur une période de 10 ans.
L’usine s’engage à réduire sa quantité de rejets de CO2 de 4%
dès la première année et chaque année durant les neuf années suivantes.
Pour tout entier natureln, on désigne parrnla quantité de rejets aprèsnannées d’efforts.
1) Quelle est la nature de la suite (rn) ? 2) Exprimerrn en fonction den.
3) a) Calculer la quantité de déchets rejetée la dernière année de l’engagement.
b) La norme sera-t-elle respectée ?
Un taux de 5% par an, permettrait-il de respecter cette norme ?
Exercice 12 - Jardin à la française
Un paysagiste doit créer dans un jardin une spirale pantée d’arbustes.
Il veut connaître la longueur de cette spirale pour évaluer le nombre d’arbustes à planter. Voici le schéma qu’il dresse :
Cette spirale est constituée de demi-cercles.
L’unité de longueur est le mètre. On a A0A1= 100.
On notel0 la longueur du 1ier arc de cercle etln la longueur du (n+ 1)ième arc de cercle.
1) a) Calculerl0,l1et l2.
b) Exprimerln+1 en fonction deln.
c) Montrer que la suite (ln) est une suite géométrique dont on donnera la raison.
d) Exprimerln en fonction den.
2) Le paysagiste décide de ne tracer que les huit premiers demi-cercles.
Calculer L =l0+l1+. . .+l7. Arrondir à 0,1 près.
PREMIÈRES-EXERCICESCHAP.9:SUITESNUMÉRIQUES(1)FICHE4
On s’aperçoit que 1 = 12, 1 + 3 = 4 = 22, 1 + 3 + 5 = 9 = 32, 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42et on désire généraliser cette jolie chose.
On nomme donc (un)n>1la suite des entiers naturels impairs.
1) Démontrer que (un) est une suite arithmétique ; donner son premier termeu1et sa raison.
2) En déduire l’expression deun en fonction de n.
3) On nomme enfin Sn=u1+u2+. . . un.
Donner l’expression de Sn en fonction de n, et conclure.
Exercice 14 - La tour
On trace un carré de côté 4. On dessine au dessus un carré de côté 2, puis un carré de côté 1, etc, en prenant chaque fois la moitié du côté du carré précédent. On construit ainsi une jolie tour (voir dessin).
Pour toutn>1, on nommeun l’aire dunième carré.
1) Préciser la nature de la suite (un) et donner l’expres- sion de (un) en fonction den.
2) Quelle est l’aire totale de la tour si on a la patience de poser 10 carrés ?
Exercice 15 - Augmentation de loyer
Une personne loue une maison à partir du premier janvier 2014. Elle a le choix entre deux formules de contrat. Dans les deux cas, le loyer annuel initial est de 4 800eet le locataire s’engage à occuper la maison pendant 9 années complètes.
Les valeurs décimales seront arrondies, si nécessaire, au centime près.
Contrat n°1 :
Le locataire accepte une augmentation annuelle de 5% du loyer de l’année pré- cédente.
1) Calculer le loyeru1 payé lors de la deuxième année.
2) Exprimerun (loyer payé lors de la (n+ 1)ıème année) en fonction de n.
3) Calculeru8.
4) Calculer la somme payée à l’issue des 9 années de contrat.
Contrat n ?2 :
Le locataire accepte une augmentation annuelle forfaitaire de 300 e du loyer de l’année précédente.
1) Calculer le loyerv1 payé lors de la deuxième année.
2) Exprimervn (loyer payé lors de la (n+ 1)ıème année) en fonction de n.
3) Calculer la somme payée à l’issue des 9 années de contrat. Quel est le contrat le plus avantageux ?
PREMIÈRES-EXERCICESCHAP.9:SUITESNUMÉRIQUES(1)FICHE5
Exercice 16 - Deux suites
Soit (un) et (vn) deux suite réelles définies pour toutn∈N∗ par :
u1= 12
un+1 =un+ 2vn
3
et
v1= 1
vn+1=un+ 3vn
4 1) Pour tout entier naturel non nul n, on posewn=vn−un.
a) Démontrer que la suite (wn) ainsi définie est une suite géométrique puis exprimerwnen fonction den.
b) En déduire que (wn) est convergente puis déterminer sa limite.
2) Pour tout entier naturel non nuln, on posexn= 8vn+ 3un. Montrer que (xn) est constante.
3) En déduire les expressions respectives deun et vn en fonction den.
4) Montrer que (un) et (vn) convergent vers une même limite que l’on explicitera.
Exercice 17 - Suite "arithmético-géométrique"
On considère la suite (un) de nombres réels, définie pour tout entier n > 0 par la relation de récurrence :
un+1= 1 2un+ 3 et son premier termeu0= 2.
1) Calculeru1,u2 etu3.
2) (wn) est la suite définie pour tout entier naturelnpar :wn=un−6.
Démontrer que (wn) est une suite géométrique et déterminer sa raison.
3) pour tout entier natureln, exprimerwn puisun en fonction den.
4) Calculer S =w0+w1+. . .+w9 puis S0=u0+u1+. . .+u9.
