Feuille d’exercices n˚14

Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2012-2013

D. Blotti`ere Math´ematiques

Feuille d’exercices n˚14

Suites de nombres r´ eels (partie 1)

Exercice 126 (´Etude de la monotonie d’une suite) Etudier la monotonie de chacune des suites suivantes.´

1. (un)n∈N∗ d´efinie par pour toutn∈N^∗ :

un=n²−n+ 5.

2. (un)n∈Nd´efinie par pour toutn∈N:

un = (−1)ⁿn.

3. (un)n∈Nd´efinie paru0= 1 et la relation de r´ecurrence un+1= 2un−3 valable pour toutn∈N.

Exercice 127 (Une combinaison lin´eaire de suites born´ees est born´ee) Soient (un)n∈Net (vn)n∈Ndeux suites born´ees.

Montrer que toute combinaison lin´eaire de (un)n∈N et (vn)n∈N est ´egalement born´ee.

Exercice 128 (´Etude du caract`ere major´e (resp. minor´e, born´e) d’une suite) Etudier le caract`ere major´e (resp. minor´e, born´e) des suites suivantes.´

1. (un)n∈N∗ d´efinie par pour toutn∈N^∗ :

(−1)ⁿsin(ln(n)).

2. (un)n∈Nd´efinie par pour toutn∈N:

un =n+ cos(n).

3. (un)n∈Nd´efinie paru0=1

2 et la relation de r´ecurrence un+1=√un

valable pour toutn∈N.

On v´erifiera d’abord que la suite (un)n∈Nest bien d´efinie.

Exercice 129 (Une suite d’entiers qui converge stationne)

Soit (un)n∈N une suite d’entiers (i.e. pour toutn∈N,un∈Z) qui converge.

Montrer que (un)n∈Nest stationnaire, i.e. qu’il existen0∈Ntel que pour toutn∈N^≥n0 : un=un0.

Exercice 130 (Preuve de la divergence d’une suite vers +∞en revenant `a la d´efinition) Soit (un)n∈N la suite d´efinie par pour toutn∈N:

un=n²−2n+1 2.

D´emonter queun_n→+∞→ +∞, en revenant `a la d´efinition de la notion de limite.

Exercice 131 (Produit d’une suite born´ee et d’une suite qui converge vers 0)

1. Soit (un)n∈Nune suite born´ee et soit (vn)n∈Nune suite qui converge vers 0. Montrer que (unvn)n∈Ntend vers 0, en revenant `a la d´efinition de la notion de limite.

2. ´Etudier le comportement asymptotique de la suite

cos(eⁿ) n

n∈N∗

.

Exercice 132 (Suite non major´ee qui ne diverge pas vers+∞) Soit (un)n∈N la suite d´efinie par pour toutn∈N:

un = (−1)ⁿn.

1. Montrer que (un)n∈Nn’est pas born´ee.

2. Montrer que (un)n∈Nne diverge pas vers +∞, en revenant `a la d´efinition de la notion de limite.

Exercice 133 (Limites usuelles, op´erations sur les limites et croissances compar´ees) Etudier le comportement asymptotique des suites suivantes.´

1. (un)n∈Nd´efinie par pour toutn∈N:

n³−n²−1 7−3n² . 2. (un)n∈N∗ d´efinie par pour toutn∈N^∗ :

n²−ln(n).

3. (un)n∈N∗ d´efinie par pour toutn∈N^∗ :

nⁿ eⁿ+n.

Exercice 134 (´Etude guid´ee d’une suite r´ecurrente−cas o`u la fonction sous-jacente est croissante) 1. Soit la fonction

f: x7→x+1 x. (a) D´eterminer le domaine de d´efinitionD^f def.

(b) ´Etudier les limites ´eventuelles de f aux bornes de D^f. (c) ´Etudier les variations de f surD^f.

(d) Pr´eciser les asymptotes ´eventuelles `a la courbeC<sup>f</sup> repr´esentantf dans un rep`ere du plan fix´e.

(e) ´Etudier la position relative deC^f et de la premi`ere bissectrice ∆ (droite d’´equationy=x).

(f) Tracer l’allure deC^f.

(g) Donner un intervalleIcontenant 2 et stable parf.

2. On d´efinit la suite (un)n∈Nparu0= 2 et la relation de r´ecurrence

un+1=un+ 1 un

valable pour toutn∈N.

(a) Montrer que la suite (un)n∈N est bien d´efinie.

(b) Repr´esenter graphiquement les cinq premiers termes de la suite (un)n∈N. (c) Montrer que la suite (un)n∈N est minor´ee par 2.

(d) Montrer que (un)n∈Nest strictement croissante.

(e) Montrer que (un)n∈Nest divergente.

(f) Pr´eciser le comportement asymptotique de (un)n∈N.

(g) ´Etudier le comportement asymptotique de la suite (un+1−un)n∈N.