2 Monotonie d’une suite

(1)

Lycée Benjamin Franklin PTSI−2014-2015

D. Blottière Mathématiques

Chapitre 11 Suites réelles

Table des matières

1 Définition de la notion de suite réelle 2

2 Monotonie d’une suite 3

3 Suite majorée, suite minorée, suite bornée 5

4 Suites de référence 6

4.1 Suites arithmétiques . . . 6

4.2 Suites géométriques . . . 7

4.3 Suites arithmético-géométriques . . . 8

4.4 Suites récurrentes linéaires d’ordre 2 . . . 9

5 Limite éventuelle d’une suite réelle 10 5.1 Définition d’une suite convergente (resp. divergente) . . . 10

5.2 Définition d’une suite divergeant vers+∞(resp. vers−∞) . . . 10

5.3 Définition de la limite éventuelle d’une suite . . . 11

6 Suites extraites 12

7 Limites usuelles 13

8 Quelques propriétés élémentaires des suites convergentes 13

9 Opérations sur les limites 14

10 Passage à la limite dans une inégalité large 15

11 Théorèmes fondamentaux d’existence d’une limite 15

12 Suites adjacentes 16

(2)

1 Définition de la notion de suite réelle

Définition 1(Suite réelle et terme d’indicend’une telle).

1. Une suite réelle est une application de

u:N_≥_n₀→R oùn0est un entier naturel.

2. Soitu:N_≥n₀→Rune suite. Sin∈N_≥n₀, alors l’image denparu, d’ordinaire notéeu(n), est notéeu_n dans le contexte des suites. Ce nombreunest appelé terme d’indicende la suiteu.

Remarque 1(Notation usuelle d’une suite).

Nous noterons souvent une suiteu:N_≥_n₀sous la forme (un)_n_≥_n₀. Remarque 2(Suite versus liste de nombres rangés dans un certain ordre).

Nous pouvons nous représenter une suite comme une liste infinie de nombres, rangés dans un certain ordre.

Précisément, siu=(un)_n_≥_n₀est une suite on peut écrire la liste infinie de ses éléments, en les écrivants suivant l’ordre donné par les indices des termes.

un0,un0+1,un0+2,un0+3,un0+4,un0+5,... ,un0+n,un0+n+1,...

Les propriétés des suites que nous étudierons s’interprètent naturellement en termes de liste infinie de nombres, rangés dans un certain ordre (e.g. monotonie et comportement asymptotique).

Remarque 3.

Pour représenter graphiquement une suite (un)_n_≥_n₀, on peut tracer le nuage de points formé par tous les points de coordonnées (n,un) oùn∈N_≥_n₀.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

−3

−2

−1 1 2 3 4

0

Nous verrons qu’il existe un autre moyen de représenter, de manière pertinente, des suites d’un type particulier (les suites récurrentes).

Exemple 1(Suite définie de façon explicite).

Soit (un)n≥0la suite définie par

un:=n²+1 n+4 pour toutn∈N. Ses deux premiers termes sontu₀=1

4etu₁=2 5.

(3)

Exemple 2(Suite définie par récurrence).

Soit (un)n≥0la suite définie paru0:=1 et la relation de récurrence un+1:=1+ 1

un

valable pour tout n ∈N. Nous pouvons démontrer par récurrence, conjointement, les deux propriétés sui- vantes :

unexiste (ou est calculable) etun>0

pour toutn∈N, ce qui « assure » que la suite (un)n≥0est bien définie. Nous pouvons calculer ses premiers termes de proche en proche :

u0=1 ; u1=1+1

1=2 ; u2=1+1 2=3

2 ; u3=1+2 3=5

3 ; u4=1+3 5=8

5. Exemple 3(Suite définie de façon implicite).

Soitn∈N^∗. On considère la fonction

¯¯

¯¯ fn : [0,1] → R x 7→ xⁿ+x−1.

• La fonctionfnest définie sur [0,1], qui est un intervalle.

• La fonctionfnest polynomiale, donc continue sur [0,1].

• La fonctionfn est strictement croissante sur [0,1]. En effet, elle est dérivable sur [0,1] (puisque polynomiale) et

f_n^′(x)=nxⁿ⁻¹+1≥1>0 pour toutx∈[0,1].

D’après le théorème de la bijection, la fonctionfninduit une bijection de [0,1] sur son image, i.e. la fonction

¯¯

ffn : [0,1] → f([0,1])=[−1,1]

x 7→ xⁿ+x−1 est bijective. Puisque 0∈[−1,1], nous en déduisons que l’équation

xⁿ+x−1=0

possède une unique solution dans [0,1]. Nous notonsxncette dernière.

Nous pouvons alors considérer la suite (xn)n≥1dont le terme d’indicenest défini comme étant l’unique solution de l’équationxⁿ+x−1=0 dans [0,1].

Nous savons résoudre les équations algébriques de degré 1 et donc nous pouvons calculer x1=1

2.

De même, nous savons résoudre les équations algébriques de degré 2 et donc nous pouvons calculer x₂=

p5−1 2 .

Mais de manière général, nous ne savons pas expliciter le terme d’indicende la suite (xn)_n_≥₁; nous n’avons accès aux termes de cette suite qu’à travers les équations dont ils sont solutions.

2 Monotonie d’une suite

Définition 2(Propriétés de monotonie d’une suite).

Soit (un)n≥n0une suite.

1. La suite (un)n≥n0est croissante si

∀n∈N

≥n0, un≤un+1.

(4)

2. La suite (un)n≥n0est décroissante si

∀n∈N_≥_n₀, un≥un+1.

3. La suite (u_n)_n≥n₀est monotone si elle est croissante ou si elle est décroissante.

4. La suite (un)n≥n0est strictement croissante si

∀n∈N

≥n0, un<un+1. 5. La suite (un)n≥n0est strictement décroissante si

∀n∈N_≥_n₀, un>un+1.

6. La suite (u_n)_n≥n₀ est strictement monotone si elle est strictement croissante ou si elle est strictement décroissante.

Remarque 4(Méthodes pratiques pour étudier la monotonie d’une suite).

1. Pour étudier la monotonie d’une suite (un)n≥n0, on étudie le signe de un+1−un

pour toutn∈N_≥_n₀.

2. Si (un)n≥n0est une suite à termes strictement positifs, alors la monotonie de la suite (un)n≥n0peut s’étu- dier en comparant les quotients

un+1

un

à 1, pour toutn∈N

≥n0.

Exercice d’application 1(Étude de la monotonie d’une suite définie de façon explicite).

1. Étudier la monotonie de la suite (un)n≥0définie par un= −2ⁿ pour toutn∈N.

2. Étudier la monotonie de la suite (un)n≥0définie par u_n=(−2)ⁿ pour toutn∈N.

Exercice d’application 2(Étude de la monotonie d’une suite définie par récurrence).

1. Soit la fonction ¯¯¯¯ f : R → R

x 7→ 3x+1 (a) Étudier le signe def(x)−xpour toutx∈R.

(b) Un repère du plan étant fixé, tracer sur un même graphique la courbe représentative def et la pre- mière bissectrice∆d’équationy=x.

2. Soit (un)n∈Nla suite définie paru0∈Ret la relation de récurrence un+1=3un+1 valable pour toutn∈N.

(a) Justifier que la suite (un)n≥0est bien définie.

(b) À l’aide du graphique précédent, conjecturer le sens de variation de la suite (un)n∈Nen fonction de la valeur deu0.

(c) Démontrer la conjecture précédente.

(5)

Remarque 5.

La suite considérée dans l’exercice précédent est arithmético-géométrique (cf. partie 4.3). Nous verrons que nous pouvons obtenir une formule explicite pour le terme général d’une telle suite. Pour le cas qui nous concerne, nous pourrons démontrer

un=3ⁿ µ

u0+1 2

¶

−1 2 pour toutn∈N.

Définition 3(Suite stationnaire).

Une suite (u_n)_n≥n₀est dite stationnaire si elle est constante à partir d’un certain rang, i.e. si

∃n1∈N_≥_n₀ ∀n∈N n≥n1⇒un=un1. Exercice d’application 3.

Démontrer que la suite (un)n≥1définie par

un=

¹2015 n

º

pour toutn∈N∗est stationnaire.

3 Suite majorée, suite minorée, suite bornée

Définition 4(Suite majorée, suite minorée, suite bornée).

1. La suite (un)n≥n0est majorée si

∃M∈R, ∀n∈N, n≥n0⇒un≤M.

Un tel réelM, s’il existe, est indépendant denet est appelé majorant de la suite (un)n≥n0. 2. La suite (un)n≥n0est minorée si

∃m∈R, ∀n∈N, n≥n0⇒un≥m.

Un tel réelm, s’il existe, est indépendant denet est appelé minorant de la suite (un)n≥n0. 3. La suite (un)n≥n0est bornée si elle est majorée et minorée, i.e. si

∃(m,M)∈R², ∀n∈N, n≥n0⇒m≤un≤M.

Théorème 1(Suite monotone et caractère majoré (resp. minoré)).

1. Une suite croissante est minorée par son premier terme.

2. Une suite décroissante est majorée par son premier terme.

Démonstration. Raisonnement par récurrence élémentaire.

Théorème 2(Suite bornée versus suite majorée en valeur absolue).

(un)n≥n0est bornée ⇐⇒ (|un|)n≥n0est majorée

Démonstration. Nous avons démontré un résultat analogue pour les fonctions. La preuve donnée alors s’ap- pliquemutatis mutandisdans le contexte des suites.

Exercice d’application 4(Une suite définie de façon explicite, minorée mais non majorée).

un=(1+(−1)ⁿ)n pour toutn∈N.

1. Soitn∈N. Simplifier l’écriture deunen distinguant deux cas suivant la parité den.

2. Démontrer que la suite (un)n≥0est minorée.

3. Démontrer que la suite (un)n≥0n’est pas majorée.

(6)

Exercice d’application 5(Une suite définie de façon explicite, bornée).

un=2ncos¡ n²¢ n+1 pour toutn∈N. Montrer que la suite (un)n≥0est bornée.

Exercice d’application 6(Une suite définie par récurrence, bornée).

On considère à nouveau la suite (un)n≥0définie paru0=1 et la relation de récurrence un+1=1+ 1

un

valable pour toutn∈N. On sait que cette suite est bien définie (cf. exemple 3).

1. Démontrer que la suite (un)n≥0est minorée par 1.

2. En déduire que la suite (un)n≥0est majorée.

4 Suites de référence

4.1 Suites arithmétiques

Définition 5(Suite arithmétique et raison d’une telle).

Soit (un)n≥n0une suite. Elle est dite arithmétique si l’on passe d’un terme de (un)n≥n0au suivant en ajoutant une même constante, i.e. si :

∃r∈R, ∀n∈N

≥n0, un+1=un+r.

De plus, si un tel réelrexiste alors il est unique (puisque égalun0+1−un0) et il est appelé raison de la suite.

Exercice d’application 7.

1. La suite (un)n∈Ndéfinie par

un:=3−2n pour toutn∈Nest-elle arithmétique ?

un:=4ⁿ pour toutn∈Nest-elle arithmétique ?

Théorème 3(Formule explicite pour le terme général d’une suite arithmétique).

Soit (un)n≥n0une suite arithmétique de raisonr.

∀n∈N

≥n0, un=un0+(n−n0)r.

Démonstration. Raisonnement par récurrence.

Soit (un)n≥1une suite arithmétique de raison 3. Donner une expression deun en fonction deu1, pour tout n∈N∗.

Théorème 4(Définition d’une suite arithmétique par son premier terme et sa raison).

Soient deux nombres réelsαetr.

1. Il existe une unique suite arithmétique (un)n≥n0de premier termeun0=αet de raisonr. On la nomme suite arithmétique indicée parN_≥_n₀de premier termeαet de raisonr.

2. La suite arithmétique (un)n≥n0de premier termeun0=αet de raisonrvérifie

∀n∈N

≥n0, un=α+(n−n0)r.

Démonstration. Cf. prise de notes.

Étudier le sens de variation de la suite arithmétique (u_n)_n≥1de premier terme 3 et de raison 7.

(7)

Théorème 5(Somme d’entiers consécutifs).

∀n∈N^∗, Xⁿ

k=0

k= Xn k=1

k=n(n+1)

2 .

Démonstration. Cf. prises de notes.

Exercice d’application 10(Somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique).

Soient deux nombres réelsαetr. Soit (un)_n∈Nla suite arithmétique indicée parNde premier termeαet de raisonr. Soientn1etn2des entiers naturels tels quen1≤n2. Calculer

n2

X

k=n1

u_k.

4.2 Suites géométriques

Définition 6(Suite géométrique et raison d’une telle).

Soit (un)n≥n0 une suite. Elle est dite si l’on passe d’un terme de (un)n≥n0 au suivant en multipliant par une même constante, i.e. si :

∃q∈R, ∀n∈N_≥_n₀, un+1=q×un.

De plus, si le premier termeun0 de la suite (un)n≥n0 est non nul et si un tel réelqexiste alors ce dernier est unique (puisque égal àun0+1

un0

) et il est appelé raison de la suite.

Exemple 4.

un:= 5 2ⁿ pour toutn∈Nest-elle géométrique ?

un:=2n+1 pour toutn∈Nest-elle géométrique ?

Théorème 6(Formule explicite pour le terme général d’une suite géométrique).

Soit (un)n≥n0une suite géométrique de raisonq.

∀n∈N

≥n0, un=un0×qⁿ⁻ⁿ⁰. Démonstration. Raisonnement par récurrence.

Soit (un)n≥1une suite géométrique de raison 2. Donner une expression deun en fonction deu1, pour tout n∈N∗.

Théorème 7(Définition d’une suite géométrique par son premier terme et sa raison).

Soient deux nombres réelsαetq.

1. Il existe une unique suite géométrique (un)n≥n0de premier termeun0=αet de raisonq. On la nomme suite géométrique indicée parN_≥_n₀de premier termeαet de raisonq.

2. La suite géométrique (un)n≥n0de premier termeun0=αet de raisonqvérifie

∀n∈N_≥_n₀, un0=α×qⁿ⁻ⁿ⁰. Démonstration. Cf. prise de notes.

Étudier le sens de variation de la suite géométrique (un)n≥1de premier terme 6 et de raison1 3.

(8)

Théorème 8(Somme consécutif de termes en progression géométrique de référence).

Soitq∈R.

∀n∈N, Xn k=0

q^k=

¯¯

n+1 siq=1 1−qⁿ⁺¹

1−q siq6=1 Démonstration. Cf. prises de notes.

Exercice d’application 13(Somme de termes consécutifs d’une suite géométrique).

Soient deux nombres réelsαetq. Soit (un)n∈Nla suite géométrique indicée parNde premier termeαet de raisonq. Soientn1etn2des entiers naturels tels quen1≤n2. Calculer

n2

X

k=n1

uk.

4.3 Suites arithmético-géométriques

Définition 7(Suite arithmético-géométrique).

Soit (un)n≥n0une suite. Elle est dite arithmético-géométrique si

∃(a,b)∈R², ∀n∈N_≥_n₀, un+1=aun+b.

Remarque 6.

Soit (un)n≥n0une suite arithmético-géométrique. Alors

∃(a,b)∈R², ∀n∈N_≥_n₀, un+1=aun+b.

1. Sia=1, alors la suite est arithmétique.

2. Sib=0, alors la suite est géométrique.

Les suites arithmético-géométriques généralisent donc les suites arithmétiques et les suites géométriques.

La suite (un)n∈Ndéfinie paru0=2 et la relation de récurrence un+1=2un−3

valable pour toutn∈Nest une suite arithmético-géométrique. Calculeru1,u2,u3,u4. Théorème 9(Méthode pour expliciter le terme général d’une suite arithmético-géométrique).

Soitaun réel différent de 1 et soitbun réel. On considère la suite (u_n)_n≥n₀définie par la donnée de son premier termeu_n₀dansRet la relation de récurrence

un+1=aun+b

valable pour toutn∈N_≥n₀. La suite (u_n)_n≥n₀est bien définie et est arithmético-géométrique (par définition même). Pour obtenir une formule explicite deun(n∈N_≥_n₀), on peut procéder comme suit.

1. On calcule le point fixe de l’application affinex7→ax+b, i.e. on résout l’équationax+b=xd’inconnue x∈R. On notex0l’unique solution de cette équation.

2. On démontre que la suite (vn)n≥n0définie par

vn:=un−x0

pour toutn∈N

≥n0, est géométrique de raisona.

3. On applique le théorème 6 pour en déduire une expression devnen fonction den(n∈N

≥n0).

4. Devn=un−x0, pour toutn∈N_≥_n₀, et du résultat de l’étape 3., on déduit une formule explicite pourun

en fonction den(n∈N_≥_n₀).

Soit (un)n∈N∗la suite définie paru1=2 et la relation de récurrence un+1=1

3un+1 2

valable pour toutn∈N∗. Exprimeru_nen fonction den, pour toutn∈N∗.

(9)

4.4 Suites récurrentes linéaires d’ordre 2

Définition 8(Suite récurrente linéaire d’ordre 2).

Soit (un)n≥n0une suite. Elle est dite récurrente linéaire d’ordre 2 si

∃(a,b)∈R², ∀n∈N

≥n0, un+2=aun+1+bun. Exercice d’application 16.

La suite (u_n)_n_∈Ndéfinie paru₀=1,u₁= −2 et la relation de récurrence un+2=un+1+4un

valable pour toutn∈Nest une suite récurrente linéaire d’ordre 2. Calculeru2,u3,u4etu5. Théorème 10(Formule explicite pour le terme général d’une suite récurrente linéaire d’ordre 2).

Soientaetbdeux nombres réels. On considère la suite (un)n≥n0 définie par la donnée de ses deux premiers termesun0etun0+1dansRet la relation de récurrence

un+2=aun+1+bun

valable pour toutn∈N

≥n0. La suite (un)n≥n0est bien définie et est récurrente linéaire d’ordre 2 (par définition même). On introduit son équation caractéristique

(Ecar) :x²−ax−b=0 d’inconnuex∈C.

• Cas où(Ecar)possède deux solutions distinctes dansR

Si ((Ecar) possède deux solutions distinctesr1etr2dansR, alors il existe deux réelsλ1etλ2tels que

∀n∈N_≥_n₀, un=λ1r₁ⁿ+λ2r₂ⁿ.

• Cas où(Ecar)possède une unique solution dansR

Si (E_car) possède une unique solutionr₀dansR, alors il existe deux réelsλ₁etλ₂tels que

∀n∈N_≥_n₀, un=λ1r₀ⁿ+λ2n r₀ⁿ.

• Cas où(Ecar)possède deux solutions complexes conjuguées dansC

Si (Ecar) possède deux solutions complexes conjuguées dansC, alors celles-ci sont non nulles ; on peut donc les écrire sous la former e^iθetr e^−iθoùr∈R_>₀etθ∈R(forme exponentielle). Il existe deux réels λ1etλ2tels que

∀n∈N

≥n0, un=λ1rⁿcos(nθ)+λ2rⁿsin(nθ).

Éléments de démonstration.On amorce simplement une démonstration de ce résultat, en expliquant que le problème posé se réduit au calcul des puissances d’une matrice A∈M₂(R). En Spé, nous verrons comment calculer les puissances deAet nous donnerons une autre interprétation de l’équation caractéristique en termes

spectraux (cf. polynôme caractéristiqueχAde la matriceA). ✷

Remarque 7.

1. On conserve les notations du théorème 10. Les constantesλ1etλ2pourront être déterminées, quel que soit le cas, en utilisant les deux premiers termes de la suiteu_n₀etu_n₀₊₁(donnés) pour poser un systéme linéaire de deux équations à deux inconnues.

2. Le théorème 10 présente une forte analogie avec celui donnant l’ensemble solution d’une EDLCCH2 dans le cas oùK=R. Toutefois on prendra garde qu’ici, dans le troisième cas, on considère une forme exponentielle des deux solutions (et non une forme algébrique comme pour les EDLCCH2).

(10)

1. Expliciter le terme général de la suite (un)n≥0définieu0=1,u1=2 et la relation de récurrence un+2= −un+1+2un

valable pour toutn∈N.

2. Expliciter le terme général de la suite (un)n≥0définieu0=0,u1=1 et la relation de récurrence un+2=2un+1−2un

valable pour toutn∈N.

5 Limite éventuelle d’une suite réelle

5.1 Définition d’une suite convergente (resp. divergente)

Définition 9(Suite convergeant versℓ∈R).

Soit (un)n≥n0une suite. Soitℓ∈R. On dit queuntend versℓquandntend vers+∞, et on noteun→ℓ, si

∀ε∈R

>0, ∃N∈N

≥n0, ∀n∈N

≥n0, n≥N⇒ |un−ℓ| ≤ε.

−2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

−1 1 2 3 4 5

0

ℓ ℓ+ε

ℓ−ε

N

Démontrer :n−1

n+1→1 en revenant à la définition.

Définition 10(Convergence et divergence).

Soit (u_n)_n_≥_n₀une suite.

1. On dit que la suite (un)n≥n0est convergente s’il existe un réelℓtel queun→ℓ.

2. On dit que la suite (un)n≥n0est divergente si elle n’est pas convergente.

5.2 Définition d’une suite divergeant vers +∞ (resp. vers −∞ )

Définition 11(Suite divergeant vers+∞).

Soit (un)n≥n0une suite. On dit queuntend vers+∞quandntend vers+∞, et on noteun→ +∞, si

∀A∈R, ∃N∈N

≥n0, ∀n∈N

≥n0, n≥N⇒un≥A.

(11)

−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0

A

N

Définition 12(Suite divergeant vers−∞).

Soit (un)n≥n0une suite. On dit queuntend vers−∞quandntend vers+∞, et on noteun→ −∞, si

∀A∈R, ∃N∈N_≥n₀, ∀n∈N_≥n₀, n≥N⇒u_n≤A.

Démontrer : 2n−1→ +∞, en revenant à la définition.

Remarque 8.

1. Si une suite (un)n≥n0diverge vers+∞alors elle n’est pas majorée.

2. Si une suite (un)n≥n0diverge vers−∞alors elle n’est pas minorée.

Exercice d’application 20(Inverse d’une suite tendant vers 0⁺).

Soit (un)n≥n0une suite dont les termes sont tous strictement positifs et telle queun→0. Alors 1

un → +∞.

5.3 Définition de la limite éventuelle d’une suite

Théorème 11(Unicité de la limite).

Soit (un)n≥n0une suite. S’il existeℓ∈R∪{−∞,+∞} tel queun→ℓalors ceℓest unique. Il est appelé limite de la suite (un)n≥n0et est noté limun.

Remarque 9.

Une suite (un)n≥n0peut avoir quatre comportements asymptotiques.

1. La suite (un)n≥n0est convergente (i.e. elle admet une limite finie).

2. La suite (un) diverge vers+∞. 3. La suite (un) diverge vers−∞.

4. La suite (u_n) n’admet aucune limite, ni finie, ni infinie (cf. nous donnerons des exemples de telles suites dans la partie suivante).

(12)

6 Suites extraites

Définition 13(Suite extraite d’une suite).

Soitu=(un)n≥n0une suite. On appelle suite extraite de (un)n≥n0toute suiteu◦ϕ=¡ uϕ(n)¢

n≥n0où ϕ:N

≥n0→N

≥n0

est une application strictement croissante.

Exemple 5.

Soit (u_n)_n∈Nune suite. Alors les suites (u_2n)n∈N, (u_2n+1)_n∈N et (u_3n)n∈N sont des suites extraites de la suite (u_n)_n∈N.

Lemme 1.

Soitϕ:N_≥_n₀→N_≥_n₀une application strictement croissante.

∀n∈N_≥_n₀, ϕ(n)≥n.

Démonstration. Raisonnement par récurrence, en utilisant la propriété des entiers suivante. SiN1etN2sont des entiers tels queN1<N2alors :

N1+1≤N2.

Théorème 12(Limite d’une suite extraite d’une suite admettant une limite).

Soit (u_n)_n≥n₀une suite. Soit¡ u_ϕ(n)¢

n≥n0 une suite extraite de (u_n)_n≥n₀oùϕ:N_≥n₀→N_≥n₀est une application strictement croissante. Soitℓ∈R∪{−∞,+∞}.

un→ℓ ⇒ uϕ(n)→ℓ.

Démonstration. Dans le cas oùℓ∈R. Cf. prise de notes.

Remarque 10.

Le théorème 12 a de très nombreuses applications. Il permet, par exemple, d’établir que des suites n’ont pas de limite (cf. exemple suivant).

Exemple 6(Suite ne possédant aucune limite).

un=(−1)ⁿ

pour toutn∈N. Nous démontrons que la suite (un)n≥0n’a aucune limite, en raisonnant par l’absurde.

Supposons qu’il existeℓ∈R∪{−∞,+∞} tel queun→ℓ.

• La suite (u2n)n∈Nest constante : tous ses termes valent 1. Doncu2n→1. Par ailleurs (u2n)n∈Nest une suite extraite de (un)n≥0. Par le théorème 12, il vientu2n→ℓ. D’après l’unicité de la limite d’une suite (théorème 11),ℓ=1.

• La suite (u2n+1)n∈Nest constante : tous ses termes valent−1. Doncu2n→ −1. Par ailleurs (u2n+1)n∈N

est une suite extraite de (un)n≥0. Par le théorème 12, il vientu2n+1→ℓ. D’après l’unicité de la limite d’une suite (théorème 11),ℓ= −1.

Nous déduisons des deux points précédents 1= −1, ce qui est faux.

Démontrer que la suite ((−1)ⁿn)n≥0est non bornée et n’admet pas de limite.

Soit (un)n≥0une suite telle queun→0. Que dire du comportement asymptotique de la suite (un+1)n≥0? Théorème 13(Critère d’existence de limite via les suites extraites des termes d’indices pairs et impairs).

Soit (un)n≥n0. Soitℓ∈R∪{−∞,+∞}.

u2n→ℓ et u2n+1→ℓ

¯¯

¯¯ ⇒ un→ℓ.

Démonstration. Dans le cas oùℓ= +∞. Cf. prise de notes.

Remarque 11.

Ce théorème peut être utilisé pour établir la convergence d’une suite définie par récurrence dans le cas où la fonction sous-jacente est décroissante.

(13)

7 Limites usuelles

Théorème 14(Limite de (n^α)_n_≥₁oùα∈R).

Soitα∈R. Alors

n^α→

¯¯

0 siα<0 ; 1 siα=0 ; +∞ siα>0.

Théorème 15(Limite de¡ qⁿ¢

n≥1oùq∈R).

Soitq∈R. Alors

qⁿ→

¯¯

0 si−1<q<1 1 siq=1 +∞ siq>1.

Siq< −1 alors la suite (qⁿ)n≥0n’admet pas de limite.

Théorème 16(Limite de¡

(ln(n))^β¢

n≥1oùβ∈R).

Soitβ∈R. Alors

(ln(n))^β→

¯¯

0 siβ<0 ; 1 siβ=0 ; +∞ siβ>0.

Nous admettrons ce théorème.

8 Quelques propriétés élémentaires des suites convergentes

Théorème 17(Passage d’une convergence versℓ∈Rà une convergence vers 0).

Si une suite (un)n≥n0. Soitl∈R. Alors

un→l ⇐⇒ un−l→0.

Démonstration. Ce résultat découle immédiatement de l’écriture formelle des des deux assertions.

Théorème 18(Converger vers 0 versus converger vers 0 en valeur absolue).

Si une suite (un)n≥n0. Alors

un→0 ⇐⇒ |un| →0.

Démonstration. Ce résultat découle immédiatement de l’écriture formelle des des deux assertions et du fait que la valeur absolue de la valeur absolue d’un réel est simplement la valeur absolue de ce réel.

Remarque 12.

L’équivalence donnée dans le théorème précédent vaut pour une limite nulle, mais ne se généralise pas à d’autres valeurs de limite. En effet, si (un)n≥0est la suite définie par

un=(−1)ⁿ

pour toutn∈N, alors la suite (|un|)n≥0est constante : tous ses termes valent 1. Donc|un| →1. Or nous savons (exemple 6) que la suite (un)n≥0ne possède pas de limite.

Théorème 19(Une suite convergente est bornée).

Si une suite (un)n≥n0est convergente alors elle est bornée.

Remarque 13.

Il existe des suites bornées qui ne sont pas convergentes. Par exemple, la suite ((−1)ⁿ)n≥0est bornée puisque

¯¯(−1)ⁿ¯¯=1≤1 pour toutn∈N, mais elle n’admet aucune limite (exemple 6).

(14)

9 Opérations sur les limites

Théorème 20(Opérations sur les limites).

Soient (un)n≥n0et (vn)n≥n0deux suites. Soientℓ1etℓ2des réels.

• Addition de deux suites

Siun→ℓ1etvn→ℓ2alorsun+vn→ℓ1+ℓ2. Siun→ℓ1etvn→ +∞alorsun+vn→ +∞.

Siun→ℓ1etvn→ −∞alorsun+vn→ −∞.

Siu_n→ +∞etv_n→ +∞alorsu_n+v_n→ +∞. Siun→ −∞etvn→ −∞alorsun+vn→ −∞.

• Multiplication par un scalaire non nulλ Siun→ℓ1alorsλun→λℓ1.

Siun→ +∞alorsλun→sgn(λ)× +∞.

Siun→ −∞alorsλun→sgn(λ)× −∞.

• Multiplication de deux suites

Siun→ℓ1etvn→ℓ2alorsunvn→ℓ1ℓ2.

Siun→ℓ16=0 etvn→ +∞alorsunvn→sgn(ℓ1)× +∞. Siun→ℓ16=0 etvn→ −∞alorsunvn→sgn(ℓ1)× −∞. Siun→ +∞etvn→ +∞alorsunvn→ +∞.

Siun→ +∞etvn→ −∞alorsunvn→ −∞. Siun→ −∞etvn→ −∞alorsunvn→ +∞.

• Quotient de deux suites

Ici, on suppose qu’aucun des termes de la suite (v_n)_n≥n₀n’est nul.

Siu_n→ℓ₁etv_n→ℓ₂6=0 alorsun

v_n →ℓ1

ℓ2. Siun→ℓ1etvn→ +∞alorsun

vn →0.

Siun→ℓ1etvn→ −∞alorsun

vn →0.

Siun→ +∞etvn→ℓ26=0 alors alorsun

vn →sgn(ℓ2)× +∞.

Siun→ −∞etvn→ℓ26=0 alors alorsu_n

vn →sgn(ℓ2)× −∞.

(15)

Démonstration. Nous établissons le premier résultat concernant l’addition et le premier résultat concernant la multiplication. Les autres propriétés sont admises.

Étudier la limite éventuelle de la suite µn²+2

n+1

¶

n≥0.

10 Passage à la limite dans une inégalité large

Théorème 21(Passage à la limite dans une inégalité large).

Soient (un)n≥n0et (vn)n≥n0deux suites admettant chacune une limite (finie ou infinie). On suppose que u_n≤v_n

à partir d’un certain rang. Alors

limun≤limvn. Ce théorème est admis.

Soit (un)n≥0une suite à termes strictement positifs, i.e. telle que

∀n∈N

≥n0, un>0.

Si la suite (u_n)_n≥0est de plus convergente, que dire de l’ordre entre limu_net 0 ?

11 Théorèmes fondamentaux d’existence d’une limite

Théorème 22(Théorème des suites encadrées).

Soient trois suites (un)n∈N_≥n

0, (vn)n∈N_≥n

0 et (wn)n∈N_≥n

0. On suppose que (H1) un≤vn≤wnà partir d’un certain rang ;

(H2) les deux suites (un)n∈Net (wn)n∈Nconvergent vers le même réelℓ.

Alors

(R1) la suite (vn)n∈Nadmet une limite finie (i.e. converge) ; (R2) limvn=ℓ.

Étudier comportement asymptotique d’une suite (un)n∈Nvérifiant

|un+1−1| ≤2 5|un−1| pour toutn∈N.

Soit un réelx. Soit¡ x⁻_n¢

n∈Nla suite des valeurs approchées par défaut dexdéfinie par x⁻_n:=⌊10ⁿx⌋

10ⁿ pour toutn∈N. Démontrerx⁻_n→x.

Théorème 23(Théorème de divergence vers+∞par domination).

Soient (un)n∈N_≥_n

0et (vn)n∈N_≥_n

0 deux suites. On suppose que (H1) un≤vnà partir d’un certain rang ;

(H2) un→ +∞.

Alors

(R1) la suite (vn)n∈Nadmet une limite ; (R2) limvn= +∞.

(16)

Ce théorème est admis.

Étudier comportement asymptotique d’une suite (u_n)_n_∈Nvérifiant u_n+1≥u_n+1

2 pour toutn∈N.

Théorème 24(Théorème de divergence vers−∞par domination).

Soient (un)n∈N_≥n

0et (vn)n∈N_≥n

0 deux suites. On suppose que (H1) un≤vnà partir d’un certain rang ;

(H2) vn→ −∞.

Alors

(R1) la suite (un)n∈Nadmet une limite ; (R2) limun= +∞.

Ce théorème est admis.

Théorème 25(Théorème de la limite monotone).

Soit (u_n)_n_∈N_≥_n

0 une suite. Si (u_n)_n_∈N_≥_n

0 est monotone alors (u_n)_n_∈N_≥_n

0 admet une limite (finie ou infinie). Pré- cisément on a les résultats suivants.

1. Si (un)n∈N_≥n

0 est croissante alors un→

¯¯

¯

n≥nsup0

un ∈R si (un)n∈Nest majorée ;

+∞ si (un)n∈Nn’est pas majorée.

2. Si la suite (un)n∈N_≥n

0 est décroissante alors un→

¯¯

¯

ninf≥n0un ∈R si (un)n∈Nest minorée ;

+∞ si (un)n∈N_≥n

0 n’est pas minorée.

Pour toutn∈N∗, on poseSn= Xn k=1

1 k. 1. Démontrer queS2n−Sn≥1

2pour toutn∈N∗. 2. Étudier les variations de la suite (Sn)n∈N∗.

3. Déduire des deux questions précédentes queSn→ +∞.

12 Suites adjacentes

Définition 14(Suites adjacentes).

Deux suites (u_n)_n_∈N_≥_n

0 et (v_n)_n_∈N_≥_n

0 sont dites adjacentes si 1. l’une est croissante ;

2. l’autre est décroissante ; 3. u_n−v_n→0.

Remarque 14.

Soient (un)n∈Net (vn)n∈Ndeux suites. On peut avoirun−vn →0 sans qu’aucune des deux suites (un)n∈Net (vn)n∈Nn’admettent de limite ! Un contre-exemple est donné par les suites (un)n∈Net (vn)n∈Ndéfinies par

u_n=(−1)ⁿ+ 1

n+1 et v_n=(−1)ⁿ pour toutn∈N.

(17)

Théorème 26(Théorème des suites adjacentes).

Soient (un)n∈N_≥n

0et (vn)n∈N_≥n

0 deux suites adjacentes. Alors

(R1) les deux suites (un)n∈Net (vn)n∈Nadmettent une limite finie (i.e. convergent) ; (R2) limun=limvn.

En outre si (un)n∈N_≥n

0 est croissante et (vn)n∈N_≥n

0 est décroissante alors u0≤un≤vn≤v0

pour toutn∈N.

Démontrer que les suites (un)n∈N∗et (vn)n∈N∗définies par un=

Xn k=0

1

k! vn=un+ 1 n×n!

convergent et que limun=limvn.