I- Monotonie d’une suite

Sens de variation d’une suite

I- Monotonie d’une suite

1) Définitions

Une suite est une fonction particulière, on retrouve donc naturellement la notion de sens de variation pour une suite.

Soit (u_n) une suite,n₀un entier naturel. On dit que :

• la suite (u_n) estcroissanteà partir du rangn₀si, pour tout entiern>n₀ :u_n+1>u_n ;

• la suite (u_n) estdécroissanteà partir du rangn₀si, pour tout entiern>n₀ :u_n+1≤u_n ;

• la suite (u_n) eststationnaireà partir du rangn₀si, pour tout entiern>n₀,u_n=u_n+1. Définition

Soit (u_n) une suite,n₀un entier naturel. On dit que (u_n) estmonotoneà partir du rangn₀si son sens de variation ne change pas à partir du rangn₀(elle reste croissante à partir du rangn₀ou décroissante à partir du rangn₀)

Définition

Étudier la monotonie d’une suite c’est donc étudier ses variations.

Remarque :

• On obtient les définitions destrictementcroissante, décroissante ou monotone en remplaçant les inégalités larges par des inégalités strictes.

• Si la suite est définie et stationnaire à partir du rangn₀, alors la suite (u_n) estconstante

2) Méthodes

a) Signe de la différenceu_n+1−u_n

Pour étudier le sens de variation d’une suite, on peut étudier le signe de la différenceu_n+1−u_n. Cette méthode est très générale et fonctionne tout le temps.

Exemple 1 :

Soit(u_n)la suite définie, pour toutn∈N, paru_n=n²−n. On a, pour toutn∈N :

u_n+1−u_n= (n+ 1)²−(n+ 1)−n²+n=n²+ 2n+ 1−n−1−n²+n= 2n.

Pour toutn∈N,2n>0doncu_n+1−u_n>0doncu_n+1>u_n. La suite(u_n)est croissante.

b) Comparaison de ^u_uⁿ⁺¹

n à1

Pour étudier le sens de variation d’une suiteà termes strictement positifs, on peut comparer ^u_uⁿ⁺¹

n à 1.

Cette méthode est particulièrement adaptée aux suites dont le terme général contient une puissance ou un produit.

Exemple 2 :

Soit(u )la suite définie, pour toutn∈N^∗, paru =²ⁿ.

Or,n>1⇔n+n>n+ 1⇔2n>n+ 1, donc, pour toutn>1,_n+1²ⁿ >1⇔^un+1

u_n >1doncu_n+1>u_ncaru_n>0.

La suite(u_n)est croissante à partir du rang1.

c) Variations de la fonction associée

Pour étudier les variations d’une suite définie par une formule explicite, on peut étudier les variations de la fonction associée. On s’appuie alors sur le théorème suivant.

Soit (u_n) la suite définie par la relationu_n=f(n) oùf est une fonction définie au moins sur un intervalle de la forme [a; +∞[ (ou ]a; +∞[) aveca∈R⁺etn₀le premier entier supérieur àa.

Si la fonctionf est monotone sur [a; +∞[ (ou ]a; +∞[), alors la suite (u_n) est monotone à partir du rangn₀et a même sens de variation quef.

Théorème

Démonstration

Voyons le cas oùf est croissante sur [a; +∞[, les autres cas se démontrant de manière analogue.

Supposonsf croissante sur [a; +∞[. Pour toutn∈[n₀; +∞[, on an₀≤n < n+ 1 doncf(n)< f(n+ 1) doncu_n< u_n+1. La suite (u_n) est donc croissante à partir den₀.

Cette méthode concerne donc uniquement les suites définies par une formule explicite, elle est intéressante lorsque les variations de la fonction associée sont simples à déterminer.

Exemple 3 :

Soit(u_n)la suite définie, pour toutn∈Ntel quen>0paru_n= 2

√

n−1. On au_n=f(n)oùf :x7→2

√

x−1, définie sur[0; +∞[.

La fonctionf est une fonction associée à la fonction racine et, comme la fonction racine est croissante surR⁺, d’après les propriétés des fonctions asociées,f est croissante sur[0; +∞[.

D’après le théorème précédent, la suite(u_n)est strictement croissante.

Remarque :

La réciproque du théorème est fausse. En effet, considérons la suite (un) définie, pour tout n ∈ N, par u_n = n+ sin(2πn). On au_n=f(n) oùf :x7→x+ sin(2πx), définie sur [0; +∞[.

Étudions les variations de la suite (u_n). En remarquant que, pour toutndeN, sin(2πn) = 0, il vientu_n+1−u_n= 1>0, la suite (u_n) est donc strictement croissante.

Qu’en est-il des variations de la fonctionf sur [0; +∞[ ?

~i

~j

O 2 3 4

2 3 4

C_f

b b b b b

M₀ M₁

M₂ M₃

M₄

u0

u1

u2

u3

u4

Comme on peut le voir graphiquement, la fonctionf n’est pas monotone sur [0; +∞[. Moralité, pour étudier les variations d’une fonction, on ne pourra pas introduire une suite et s’appuyer sur les variations de cette dernière.

3) Cas des suites arithmétiques et géométriques a) Cas d’une suite arithmétique

Soit (u_n) une suite arithmétique de raisonr.

Sir >0 alorsuest strictement croissante.

Sir= 0 alorsuest constante.

Sir <0 alorsuest strictement décroissante.

Propriété

Démonstration

Pour toutn>0 on au_n+1−u_n=u_n+r−u_n=r, ce qui donne le résultat.

b) Cas d’une suite géométrique

Soit (u_n) une suite géométrique de raisonq,0.

Siq >1 alors

(siu₀>0,uest strictement croissante.

siu₀<0,uest strictement décroissante.

Siq= 1 alorsuest constante.

Si 0< q <1 alors

(siu₀>0,uest strictement décroissante.

siu₀<0,uest strictement croissante.

Siq <0 alorsun’est pas monotone.

Propriété

Démonstration

Pour toutn,u_n+1−u_n=u₀×qⁿ⁺¹−u₀×qⁿ=u₀×qⁿ(q−1)

Le signe deu_n+1−u_ns’obtient donc en fonction du signe deu₀, du signe deqⁿet du signe deq−1.

II- Notion de limite

1) Suite convergente Exemple 4 :

On a représenté ci-contre la suite de terme généralu_n= 2 +1 n. Compléter le tableau de valeurs :

n 1 2 3 . . . 10 11 . . . 100 1000

u_n . . . .

Que constate-t-on ?

Peut-on trouver un entiernà partir duquel2≤u_n≤2,00001 ?

b b b b b b b b b b

0 1 2 3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

u_n

n

On dit qu’une suite converge vers un réell (ouadmet pour limitel Définition

b b b b b b b b b b b b b b b b b b

l u_n

Lorsqu’elle existe, la limite d’une suite est unique Propriété

2) Suite divergente

Une suite qui ne converge pas est ditedivergente.

Définition

a) Suites ayant pour limite+∞(ou−∞)

Exemple 5 :

On a représenté ci-contre la suite de terme généralv_n= (n−2)². Compléter le tableau de valeurs :

n 0 1 2 3 4 5 6 10 50 100

v_n

Que constate-t-on ?

Peut-on trouver un entiernà partir duquelv_n>10⁶ ?

0 5 10 15 20

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

b b b b b b b b b b b

v_n

n

On dit qu’une suitediverge vers+∞, (ouadmet pour limite+∞quand ntend vers +∞) si ses termesu_nsont tous aussi grands que l’on veut, à condition de prendrensuffisamment grand.

On définit de même une suite divergente vers−∞(avecu_naussi petit que l’on veut)

Définition

b b b b b b b b b b b b b b b

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

A

b) Exemple de suite n’ayant pas de limite

Exemple 6 :

On a représenté ci-contre la suite de terme généralw_n= (−1)ⁿ×n². Compléter le tableau de valeurs :

n 0 1 2 3 4 5 6 50 51

w_n

Que constate-t-on ?

b b b b b b b b b

0 20 40

−20

−40

1 2 3 4 5 6 7 8

b

w_n

n

Remarque :

3) Limite d’une suite arithmétique

Soit (u_n) une suite arithmétique de raisonr. Alors

• sir >0, lim

n→+∞u_n= +∞ • sir <0, lim

n→+∞u_n=−∞ • sir= 0, lim

n→+∞u_n=u₀

Propriété Limite d’une suite arithmétique

4) Limite d’une suite géométrique

On a calculé et représenté sur un tableur les premiers termes de la suite géométriqueqⁿpour différentes valeurs deq.

Associer chaque suite à un graphique puis établir une conjecture sur la limite de qⁿ selon les valeurs de q.

• Si−1< q <1 alors lim

n→+∞qⁿ=

• Siq >1 alors lim

n→+∞qⁿ=

• Siq≤ −1 alors

• Siq= 1, alors (qⁿ) est

Propriété Limite d’une suite géométrique