Intégration
Exercice 1 :
Exercice 2 :
Exercice 3 :
Exercice 4 : Partie A
On considère la fonction définie sur l’intervalle ]0;+∞[ par : = 2− 1 + 2 ln 1. Étudier les variations de la fonction sur l’intervalle ]0;+∞[.
2. Justifier qu’il existe un unique réel tel que = 0. Donner une valeur approchée de , arrondie au centième.
3. En déduire le signe de la fonction sur l’intervalle ]0;+∞[.
Partie B
On considère la fonction définie sur l’intervalle ]0;+∞[ par : = 2 −ln
On note la courbe représentative de la fonction dans le plan, muni d’un repère orthogonal ; , .
1. [Compétence 1] Déterminer les limites de la fonction en 0 et en +∞.
2. On note ∆ la droite d’équation = 2. Étudier la position relative de la courbe et de la droite ∆.
3. Justifier que ′ a le même signe que . 4. En déduire le tableau de variations de la fonction . 5. Tracer la courbe dans le repère ; , .
On prendra comme unités : 2 cm sur l’axe des abscisses, 1 cm sur l’axe des ordonnées.
Partie C
Soit un entier naturel non nul. On considère l’aire du domaine du plan compris entre la courbe , la droite
∆ et les droites d’équations respectives = 1 et = . 1. Justifier que cette aire, exprimée en cm², est donnée par :
= 2 ln !
"
2. (a) Notons # la fonction définie sur ]0;+∞[ par :
# =$ ln + %
Déterminer les réels $ et % pour que # soit une primitive de la fonction ↦'( ))² sur ]0;+∞[.
(b) En déduire l’expression de en fonction de .
3. Calculer la limite de l’aire du domaine quand tend vers +∞.
Exercice 5 :
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et donner une justification de la réponse choisie.
1. +,-./é1232 24 Toute justification nécessitant seulement l'utilisation d'une calculatrice ne sera pas acceptée.
567879:;:7< = : cos B 3D !
E
FE = 0
2. [Compétence 3] Soient et deux fonctions définies et continues sur l’intervalle +0; 14. 567879:;:7< G ∶ Si !"
K = !"
K alors = sur l’intervalle +0; 14.
Exercice 6 :
On considère la fonction définie pour tout réel de l’intervalle [0 ; 1] par : = 1 + 2F). On admet que, pour tout réel de l’intervalle [0 ; 1], > 0.
On note la courbe représentative de la fonction dans un repère orthogonal, et le domaine plan compris d’une part entre l’axe des abscisses et la courbe , d’autre part entre les droites d’équation = 0 et = 1.
La courbe et le domaine sont représentés ci-contre.
Le but de cet exercice est de partager le domaine en deux domaines de même aire, d’abord par une droite parallèle à l’axe des ordonnées (partie A), puis par une droite parallèle à l’axe des abscisses (partie B).
Partie A
Soit $ un réel tel que 0 ≤ $ ≤ 1.
On note U" l’aire du domaine compris entre la courbe , l’axe , les droites d’équation = 0 et = $, puis U celle du domaine compris entre la courbe , et les droites d’équation = $ et = 1.
U" et U sont exprimées en unités d’aire.
1. a. Démontrer que U" = $ − 2FV + 1. b. Exprimer U en fonction de $.
2. Soit la fonction définie pour tout réel de l’intervalle [0 ; 1] par : = 2 − 22F)+1
a. Dresser le tableau de variation de la fonction sur l’intervalle [0 ; 1]. On précisera les valeurs 2.
exactes de 0 et 1.
b. Démontrer que la fonction s’annule une fois et une seule sur l’intervalle [0 ; 1] en un réel α.
Donner la valeur de α arrondie au centième.
3. En utilisant les questions précédentes, déterminer une valeur approchée du réel $ pour lequel les aires U" et U sont égales.
Partie B
Soit % un réel positif.
Dans cette partie, on se propose de partager le domaine en deux domaines de même aire par la droite d’équation = %.
On admet qu’il existe un unique réel % positif solution.
1. Justifier l’inégalité % < 1 +"X. On pourra utiliser un argument graphique.
2. Déterminer la valeur exacte du réel %.
