Variations d’une suite réelle

C0. S

Julie Scholler - Bureau B246

janvier 2020

I. Généralités sur les suites réelles

Définition

Unesuite réelleu = (un)n∈N est une fonction dont l’ensemble de départ estN(ou Jn₀,+∞Javec n₀ ∈N)

u :N −→R, n7−→un

un est appelé le terme généralde la suite.

Sonindiceourang est n.

Kahoot Q1

Une suite peut être définie de différentes façons :

• de façon explicite: pour tout entier positif n, on au_n=f(n)

• de façon récurrente: pour tout entier positif n, on a u_n+1 =f(u_n) ou u_n+k =f(un+k−1,un+k−2, . . . ,u_n)

• de façonimplicite: pour tout entier positifn, on au_n qui vaut la n^e décimale deπ

I. Généralités sur les suites réelles

Définition

Unesuite réelleu = (un)n∈N est une fonction dont l’ensemble de départ estN(ou Jn₀,+∞Javec n₀ ∈N)

u :N −→R, n7−→un

un est appelé le terme généralde la suite.

Sonindiceourang est n.

Kahoot Q1 Une suite peut être définie de différentes façons :

• de façon explicite: pour tout entier positif n, on au_n=f(n)

• de façon récurrente: pour tout entier positif n, on a u_n+1 =f(u_n) ou u_n+k =f(un+k−1,un+k−2, . . . ,u_n)

• de façonimplicite: pour tout entier positifn, on au_n qui vaut lan^e décimale deπ

I. Généralités sur les suites réelles

Questions

• Sens de variations

• Comportement asymptotique

• Expression du terme générale

I. Généralités sur les suites réelles

Variations d’une suite réelle

On dit qu’une suite réelle (un)n∈N est

• croissante (resp.strictement croissante) si

∀n ∈N, un+1>un (resp.un+1 >un)

• décroissante (resp.strictement décroissante) si

∀n ∈N, un+16un (resp.un+1 <un)

• monotonesi elle est soit croissante soit décroissante

• strictement monotonesi elle est soit strictement croissante soit strictement décroissante.

Une suite constante à partir d’un certain rang est ditestationnaire.

Kahoot Q2, Q3 et Q4

I. Généralités sur les suites réelles

Suites majorées, minorées, bornées

On dit qu’une suite (u_n)n∈N est majoréesi

∃M ∈R, ∀n∈N, u_n6M.

On dit qu’une suite (un)n∈N est minoréesi

∃m∈R, ∀n∈N, un>m.

On dit qu’une suite (u_n)n∈N est bornée si elle est minorée et majorée :

∃m∈R, ∃M ∈R, ∀n∈N, m6un6M.

ou de manière équivalente

∃M ∈R, ∀n∈N, |u_n|6M.

Kahoot Q5 et Q6

II. Nature d’une suite

Suite convergente

Une suite (u_n)n∈N est diteconvergente s’il existe un nombre`∈R tel que, si on attend suffisamment (c’est-à-dire pourn assez grand), un va se rapprocher d’aussi près que l’on veut de `.

`

`+ε

`−ε

n0

+

+ + + + + +

+

+ + + + + +

+

Propriétés

• Toute suite convergente est bornée.

• Quand une suite est convergente, sa limite est unique.

Kahoot Q7

II. Nature d’une suite

Suite convergente

Une suite (u_n)n∈N est diteconvergente s’il existe un nombre`∈R tel que, si on attend suffisamment (c’est-à-dire pourn assez grand), un va se rapprocher d’aussi près que l’on veut de `.

`

`+ε

`−ε

n0

+

+ + + + + +

+

+ + + + + +

+

Propriétés

• Toute suite convergente est bornée.

• Quand une suite est convergente, sa limite est unique.

Kahoot Q7

II. Nature d’une suite

Suite divergente

Une suite estdivergentesi elle n’est pas convergente.

Différents types de suites divergentes

• celles qui ont tendance à prendre des valeurs de plus en plus grandes : on dit qu’elles ont pour limite +∞;

• celles qui ont tendance à prendre des valeurs de plus en plus petites : on dit qu’elles ont pour limite−∞;

• celles qui ne convergent pas mais n’ont pas non plus pour limite +∞ ou−∞.

II. Nature d’une suite

Nature d’une suite

On appellenatured’une suite son caractère convergent ou divergent.

III. Étude de la nature

Propriétés et résultats

• Opérations sur les limites

Kahoot Q8, Q9, Q10 et Q11

• Croissances comparées

Soient aet b deux réels tel que a>0 etb >1. Alors

n→+∞lim n^a

bⁿ = 0, lim

n→+∞

n^a

n! = 0, lim

n→+∞

bⁿ n! = 0

III. Étude de la nature

Encadrements

Limite infinie par encadrement

Si la suite (u_n)n∈N tend vers +∞(resp.−∞) et si

∀n∈N, u_n6v_n (resp.v_n6u_n) alors la suite (vn)n∈N tend vers +∞ (resp.−∞).

Convergence par encadrement

Si les suites (un)n∈N et (wn)n∈N admettent la même limite réelle ` et si

∀n∈N, u_n6v_n6w_n

alors la suite (v_n)n∈N converge et admet pour limite`.

Kahoot Q12

III. Étude de la nature

Suites extraites

Soit (un)n∈N une suite.

• On appelle suite extraite des termes d’indices pairsla suite (u_2n)n∈N.

• On appellesuite extraite des termes d’indices impairsla suite (u_2n+1)n∈N.

Théorème des suites extraites

Soit (un)n∈N une suite. Soit`un réel ou +∞ ou−∞.

La suite (u_n)n∈N admet pour limite `si et seulement si les suites (u<sub>2n</sub>)n∈N et (u<sub>2n+1</sub>)n∈N admettent pour limite`.

III. Étude de la nature

Suites extraites

Soit (un)n∈N une suite.

• On appelle suite extraite des termes d’indices pairsla suite (u_2n)n∈N.

• On appellesuite extraite des termes d’indices impairsla suite (u_2n+1)n∈N.

Théorème des suites extraites

Soit (un)n∈N une suite. Soit`un réel ou +∞ou −∞.

La suite (u_n)n∈N admet pour limite `si et seulement si les suites (u2n)n∈N et (u2n+1)n∈N admettent pour limite`.

III. Étude de la nature

Kahoot Q13

Théorème de la limite monotone

Toute suite réelle monotone admet une limite (finie ou infinie). Différents cas

1. Soit (u_n)n∈Nune suite croissante.

• Si la suite (un)_n∈Nest majorée par un réelM, alors elle converge vers un réel`6M.

• Si la suite (un)_n∈Nn’est pas majorée, alors elle diverge vers +∞. 2. Soit (u_n)n∈Nune suite décroissante.

• Si la suite (u_n)_n∈Nest minorée par un réelm, alors elle converge vers un réel`>m.

• Si la suite (un)_n∈Nn’est pas minorée, alors elle diverge vers−∞.

III. Étude de la nature

Kahoot Q13

Théorème de la limite monotone

Toute suite réelle monotone admet une limite (finie ou infinie).

Différents cas

1. Soit (u_n)n∈Nune suite croissante.

• Si la suite (un)_n∈Nest majorée par un réelM, alors elle converge vers un réel`6M.

• Si la suite (un)_n∈Nn’est pas majorée, alors elle diverge vers +∞. 2. Soit (u_n)n∈Nune suite décroissante.

• Si la suite (u_n)_n∈Nest minorée par un réelm, alors elle converge vers un réel`>m.

• Si la suite (un)_n∈Nn’est pas minorée, alors elle diverge vers−∞.

III. Étude de la nature

Kahoot Q13

Théorème de la limite monotone

Toute suite réelle monotone admet une limite (finie ou infinie).

Différents cas

1. Soit (u_n)n∈Nune suite croissante.

• Si la suite (un)_n∈N est majorée par un réelM, alors elle converge vers un réel`6M.

• Si la suite (un)_n∈Nn’est pas majorée, alors elle diverge vers +∞.

2. Soit (u_n)n∈Nune suite décroissante.

• Si la suite (u_n)_n∈Nest minorée par un réelm, alors elle converge vers un réel`>m.

• Si la suite (un)_n∈Nn’est pas minorée, alors elle diverge vers−∞.

IV. Suites usuelles

Exemples

• Investissement sur un compte épargne : u_n= 1000×1.05ⁿ

• Dépôt d’argent dans sa tirelire : v_n= 100 + 10n

• w_n= 1 1 +n

• xn= (−1)ⁿ

• (yn)n∈N tel quey0= 0, y1 = 1,∀n>2,yn= 2

• z_n=−n²

• t_n= 5n×(−1)ⁿ

• sn= (−1)ⁿ

√n+ 1

• (r_n)n∈N tel quer₀= 2 et r_n+1 =√ r_n

• q_n= cos(n)

• pn= cos(n) n

IV. Suites usuelles

Premiers exemples de suite récurrente

Suites arithmétiques

∀n ∈N, un+1=un+r avec r ∈R Dans ce cas, on aun=u0+nr,∀n ∈N.

Suites géométriques

∀n∈N, un+1 =qun avecq ∈R Dans ce cas, on aun=u0×qⁿ,∀n∈N.

Kahoot Q14 à Q18

IV. Suites usuelles

Premiers exemples de suite récurrente

Suites arithmétiques

∀n ∈N, un+1=un+r avec r ∈R Dans ce cas, on aun=u0+nr,∀n ∈N.

Suites géométriques

∀n∈N, un+1 =qun avecq ∈R Dans ce cas, on aun=u0×qⁿ,∀n∈N.

Kahoot Q14 à Q18

IV. Suites usuelles

Premiers exemples de suite récurrente

Suites arithmétiques

∀n ∈N, un+1=un+r avec r ∈R Dans ce cas, on aun=u0+nr,∀n ∈N.

Suites géométriques

∀n∈N, un+1 =qun avecq ∈R Dans ce cas, on aun=u0×qⁿ,∀n∈N.

Kahoot Q14 à Q18

IV. Suites usuelles

Premiers exemples de suite récurrente

Suites arithmétiques

∀n ∈N, un+1=un+r avec r ∈R Dans ce cas, on aun=u0+nr,∀n ∈N.

Suites géométriques

∀n∈N, un+1 =qun avecq ∈R Dans ce cas, on aun=u0×qⁿ,∀n∈N.

Kahoot Q14 à Q18