C0. S UITES NUMÉRIQUES Julie Scholler - Bureau B246
janvier 2021
I. Généralités sur les suites réelles
Définition
Une suite réelle u = (un)n∈N est une fonction dont l’ensemble de départ est N (ou Jn0,+∞J avec n0 ∈ N)
u : N −→ R, n 7−→ un un est appelé le terme général de la suite.
Son indice ou rang est n.
Une suite peut être définie de différentes façons :
• de façon explicite : pour tout entier positif n, on a un = f(n)
• de façon récurrente : pour tout entier positif n, on a un+1 = f(un) ou un+k = f(un+k−1,un+k−2, . . . ,un)
• de façon implicite : pour tout entier positif n, on a un qui vaut la ne décimale de π
I. Généralités sur les suites réelles
Questions
• Sens de variations
• Comportement asymptotique
• Expression du terme général
I. Généralités sur les suites réelles
Variations d’une suite réelle
On dit qu’une suite réelle (un)n∈N est
• croissante (resp. strictement croissante) si
∀n ∈ N, un+1 > un (resp. un+1 > un)
• décroissante (resp. strictement décroissante) si
∀n ∈ N, un+1 6 un (resp. un+1 < un)
• monotone si elle est soit croissante soit décroissante
• strictement monotone si elle est soit strictement croissante soit strictement décroissante.
Une suite constante à partir d’un certain rang est dite stationnaire.
Exemples : étude de (an)n∈N, (bn)n∈N, (cn)n∈N telles que, pour tout n ∈ N : an = −n + 2, bn = e−n, cn = n!
Wooclap Q1, Q2 et Q3
I. Généralités sur les suites réelles
Suites majorées, minorées, bornées
On dit qu’une suite (un)n∈N est majorée si
∃M ∈ R, ∀n ∈ N, un 6 M. On dit qu’une suite (un)n∈N est minorée si
∃m ∈ R, ∀n ∈ N, un > m.
On dit qu’une suite (un)n∈N est bornée si elle est minorée et majorée :
∃m ∈ R, ∃M ∈ R, ∀n ∈ N, m 6 un 6 M. ou de manière équivalente ∃M ∈ R, ∀n ∈ N, |un| 6 M.
Exemples : étude de (an)n∈N, (bn)n∈N, (cn)n∈N telles que, pour tout n ∈ N : an = −n + 2, bn = e−n, cn = n!
Wooclap Q4 et Q5
II. Nature d’une suite
Suite convergente
Une suite (un)n∈N est dite convergente s’il existe un nombre
` ∈ R tel que, si on attend suffisamment (c’est-à-dire pour n assez grand), un va se rapprocher d’aussi près que l’on veut de
`.
`
` + ε
` − ε
n0 +
+ + + + + + +
+ + + + + + +
Propriétés
• Toute suite convergente est bornée.
• Quand une suite est convergente, sa limite est unique.
II. Nature d’une suite
Suite divergente
Une suite est divergente si elle n’est pas convergente.
Différents types de suites divergentes
• celles qui ont tendance à prendre des valeurs de plus en plus grandes : on dit qu’elles ont pour limite +∞;
• celles qui ont tendance à prendre des valeurs de plus en plus petites : on dit qu’elles ont pour limite −∞;
• celles qui ne convergent pas mais n’ont pas non plus pour limite +∞ ou −∞.
II. Nature d’une suite
Nature d’une suite
On appelle nature d’une suite son caractère convergent ou divergent.
Exemples : étude de (an)n∈N, (bn)n∈N, (cn)n∈N telles que, pour tout n ∈ N : an = −n + 2, bn = e−n, cn = n!
Wooclap Q6
III. Étude de la nature
Propriétés et résultats
• Opérations sur les limites
Exemple : (a + b), (a × c), (a +c)
• Croissances comparées
Soient a et b deux réels tel que a > 0 et b > 1. Alors
n→+∞lim na
bn = 0, lim
n→+∞
na
n! = 0, lim
n→+∞
bn
n! = 0
• Limite d’une suite image par une fonction Soit f une fonction continue. Si on a
• lim
n→+∞un = ` ∈ R∪ {−∞,+∞}
• lim
x→`f (x) = λ ∈ R∪ {−∞,+∞}
Alors la suite (f (un))n∈N converge et lim
n→+∞f (un) = λ.
En particulier, si f est une fonction continue au point `, alors lim
n→+∞f (un) = f (`).
Wooclap Q7, Q8, Q9, Q10 et Q11
III. Étude de la nature
Encadrements
Limite infinie par encadrement
Si la suite (un)n∈N tend vers +∞ (resp. −∞) et si
∀n ∈ N, un 6 vn (resp. vn 6 un) alors la suite (vn)n∈N tend vers +∞ (resp. −∞).
Convergence par encadrement
Si les suites (un)n∈N et (wn)n∈N admettent la même limite réelle
` et si
∀n ∈ N, un 6 vn 6 wn
alors la suite (vn)n∈N converge et admet pour limite `.
Wooclap Q12
III. Étude de la nature
Suites extraites
Soit (un)n∈N une suite.
• On appelle suite extraite des termes d’indices pairs la suite (u2n)n∈N.
• On appelle suite extraite des termes d’indices impairs la suite (u2n+1)n∈N.
Théorème des suites extraites
Soit (un)n∈N une suite. Soit ` un réel ou +∞ ou −∞.
La suite (un)n∈N admet pour limite ` si et seulement si les suites (u2n)n∈N et (u2n+1)n∈N admettent pour limite `.
III. Étude de la nature
Wooclap Q13 Théorème de la limite monotone
Toute suite réelle monotone admet une limite (finie ou infinie).
Différents cas
1. Soit (un)n∈N une suite croissante.
• Si la suite (un)n∈N est majorée par un réel M, alors elle converge vers un réel ` 6 M.
• Si la suite (un)n∈N n’est pas majorée, alors elle diverge vers +∞.
2. Soit (un)n∈N une suite décroissante.
• Si la suite (un)n∈N est minorée par un réel m, alors elle converge vers un réel ` > m.
• Si la suite (un)n∈N n’est pas minorée, alors elle diverge vers −∞.
Wooclap Q14
IV. Suites usuelles
Premiers exemples de suite récurrente
Suites arithmétiques
∀n ∈ N, un+1 = un +r avec r ∈ R Dans ce cas, on a un = u0 +nr, ∀n ∈ N.
Suites géométriques
∀n ∈ N, un+1 = qun avec q ∈ R Dans ce cas, on a un = u0 × qn, ∀n ∈ N.
Wooclap Q15 à Q21
IV. Suites usuelles
Étude du comportement asymptotique
Nature d’une suite arithmétique
Toute suite arithmétique (un)n∈N admet une limite, qui dépend du signe de sa raison r.
• Si r > 0, alors la limite de la suite (un)n∈N existe et vaut +∞.
• Si r < 0, alors la limite de la suite (un)n∈N existe et vaut
−∞.
• Si r = 0, alors la suite est constante égale à son premier terme.
IV. Suites usuelles
Étude du comportement asymptotique
Nature d’une suite géométrique
• Si |q| < 1, alors la suite (un)n∈N admet une limite, égale à 0.
• Si q = 1, alors la suite (un)n∈N est constante égale à son premier terme.
• Si q > 1, alors la suite (un)n∈N admet une limite, égale à +∞ ou −∞, selon le signe de u0.
• Si q 6 −1, alors la suite (un)n∈N n’admet pas de limite.
IV. Suites usuelles
Exemples croisés
• Investissement sur un compte épargne : un = 1000 × 1.05n
• Dépôt d’argent dans sa tirelire : vn = 100 + 10n
• wn = 1 1 + n
• xn = (−1)n
• (yn)n∈N tel que y0 = 0, y1 = 1, ∀n > 2, yn = 2
• zn = −n2
• tn = 5n × (−1)n
• sn = (−1)n
√n + 1
• (rn)n∈N tel que r0 = 16 et rn+1 = √ rn
• qn = cos(n)
• pn = cos(n) n
