Variations d’une suite réelle

(1)

C0. S

UITES NUMÉRIQUES

Julie Scholler - Bureau B246

14 janvier 2019

I. Généralités sur les suites réelles

Définition

Une suite réelle u = (u_n)_n∈_N est une fonction dont l’ensemble de départ est N (ou Jn₀,+∞J avec n₀ ∈ N)

u : N −→ R, n 7−→ u_n u_n est appelé le terme général de la suite.

Son indice ou rang est n.

Une suite peut être définie de différentes façons :

• de façon explicite : pour tout entier positif n, on a u_n = f(n)

• de façon récurrente : pour tout entier positif n, on a u_n+1 = f (u_n) ou u_n+k = f(u_n+k₋₁,u_n+k−2, . . . ,u_n)

(2)

Exemples

• Investissement sur un compte épargne : u_n = 1000× 1.05ⁿ

• Dépôt d’argent dans sa tirelire : v_n = 100 + 10n

• w_n = 1 1 + n

• x_n = (−1)ⁿ

• (y_n)_n∈_N tel que y₀ = 0, y₁ = 1, ∀n > 2, y_n = 2

• z_n = −n²

• t_n = 5n ×(−1)ⁿ

• s_n = (−1)ⁿ

√n + 1

• (rn)_n∈_N tel que r0 = 2 et un+1 = √ un

Variations d’une suite réelle

On dit qu’une suite réelle (u_n)_n∈_N est

• croissante (resp. strictement croissante) si

∀n ∈ N, u_n+1 > u_n (resp. u_n+1 > u_n)

• décroissante (resp. strictement décroissante) si

∀n ∈ N, un+1 6 un (resp. un+1 < un)

• monotone si elle est soit croissante soit décroissante

• strictement monotone si elle est soit strictement croissante soit strictement décroissante.

Une suite constante à partir d’un certain rang est dite stationnaire.

(3)

Exemples

• w_n = 1 1 + n

• x_n = (−1)ⁿ

• z_n = −n²

• t_n = 5n ×(−1)ⁿ

• s_n = (−1)ⁿ

√n + 1

Suites majorées, minorées, bornées

On dit qu’une suite (u_n)_n∈_N est majorée si

∃M ∈ R, ∀n ∈ N, u_n 6 M.

On dit qu’une suite (u_n)_n∈_N est minorée si

∃m ∈ R, ∀n ∈ N, u_n > m.

On dit qu’une suite (u_n)_n∈_N est bornée si elle est minorée et majorée :

∃m ∈ R, ∃M ∈ R, ∀n ∈ N, m 6 u_n 6 M. ou de manière équivalente

∃M ∈ R, ∀n ∈ N, |u_n| 6 M.

(4)

Exemples

• w_n = 1 1 + n

• x_n = (−1)ⁿ

• z_n = −n²

• t_n = 5n ×(−1)ⁿ

• s_n = (−1)ⁿ

√n + 1

II. Nature d’une suite

Suite convergente

Une suite (u_n)_n∈_N est dite convergente s’il existe un nombre ` ∈ R tel que, si on attend suffisamment (c’est-à-dire pour n assez grand), u_n va se rapprocher d’aussi près que l’on veut de `.

`

` + ε

` − ε

n0

+

+ + + + + + +

+ + + + + + +

• Toute suite convergente est bornée.

• Quand une suite est convergente, sa limite est unique.

(5)

Exemples

• w_n = 1 1 + n

• x_n = (−1)ⁿ

• z_n = −n²

• t_n = 5n ×(−1)ⁿ

• s_n = (−1)ⁿ

√n + 1

Suite divergente

Une suite est divergente si elle n’est pas convergente.

Différents types de suites divergentes :

• celles qui ont tendance à prendre des valeurs de plus en plus grandes : on dit qu’elles ont pour limite +∞;

• celles qui ont tendance à prendre des valeurs de plus en plus petites : on dit qu’elles ont pour limite −∞;

• celles qui ne convergent pas mais n’ont pas non plus pour limite +∞ ou −∞.

(6)

Exemples

• w_n = 1 1 + n

• x_n = (−1)ⁿ

• z_n = −n²

• t_n = 5n ×(−1)ⁿ

• s_n = (−1)ⁿ

√n + 1

Nature d’une suite

On appelle nature d’une suite son caractère convergent ou divergent.

(7)

III. Étude de la nature

Propriétés et résultats

• Opérations sur les limites

• Croissances comparées

Soient a et b deux réels tel que a > 0 et b > 1. Alors

n→+∞lim n^a

bⁿ = 0, lim

n→+∞

n^a

n! = 0, lim

n→+∞

bⁿ n! = 0

• Encadrement

Si les suites (u_n)_n∈_N et (w_n)_n∈_N admettent la même limite réelle ` et si

∀n ∈ N, u_n 6 v_n 6 w_n

alors la suite (v_n)_n∈_N converge et admet pour limite `.

III. Étude de la nature

Suites extraites

Soit (u_n)_n∈_N une suite.

• On appelle suite extraite des termes d’indices pairs la suite (u_2n)_n∈_N.

• On appelle suite extraite des termes d’indices impairs la suite (u_2n+1)_n∈_N.

Théorème des suites extraites

Soit (u_n)_n∈_N une suite. Soit ` un réel ou +∞ ou −∞.

La suite (u_n)_n∈_N admet pour limite ` si et seulement si les suites (u_2n)_n∈_N et (u_2n+1)_n∈_N admettent pour limite `.

(8)

IV. Suites usuelles

Premiers exemples de suite récurrente

Suites arithmétiques

∀n ∈ N, u_n+1 = u_n +r avec r ∈ R Suites géométriques

∀n ∈ N, u_n+1 = qu_n avec q ∈ R

(9)

C1. S

UITES RÉCURRENTES D

’

ORDRE

1

OU

É

QUATIONS AUX DIFFÉRENCES FINIES D

’

ORDRE

1

janvier 2019

.

Suite récurrente

On dit qu’une suite (u_n)_n∈_N est une suite récurrente d’ordre p ∈ N^∗ s’il existe une fonction f telle que

∀n ∈ N, u_n+p = f (u_n+p₋₁,u_n+p−2, . . . ,u_n,n)

Suite récurrente linéaire à coefficients constants

On dit qu’une suite (u_n)_n∈_N est une suite récurrente linéaire à coefficients constants d’ordre p ∈ N^∗ s’il existe des réels

a₁, . . . ,a_p,b et une fonction f tels que

∀n ∈ N, u_n+p = a₁u_n+p−1 + a₂u_n+p₋₂ + · · ·+a_pu_n + f(n) u_n+p − a₁u_n+p₋₁ − a₂u_n+p−2 − · · · −a_pu_n = f(n)

(10)

I. SRLO1 à coefficients constants et à second membre constant

Suites récurrentes linéaire d’ordre 1 à coefficients constants et à second membre constant

∀n ∈ N, u_n+1 = au_n +b

Cas particuliers

• a = 0 : suite constante égale à b à partir du rang 1

• b = 0 : suite géométrique de raison a

• a = 1 et b = 0 : suite constante

• a = 1 et b 6= 0 : suite arithmétique de raison b

→ Suites arithmético-géométriques

Exemples

• Compte épargne :

u₀ = 100 et ∀n ∈ N, u_n+1 = (1 +t)u_n + 10

• Évolution de capital :

K_n+1 = (1− δ)K_n + I avec 0 < δ < 1

Questions

• Compte épargne :

• Combien d’argent aura-t-on sur le compte au bout d’un an (12 périodes) ?

• Au bout de combien de temps aura-t-on 1000 euros sur le compte ?

• Évolution de capital : comportement sur le long terme

(11)

Point d’équilibre

Un point d’équilibre ou une valeur stationnaire d’une équation aux différences finies est une valeur de u₀ pour laquelle le système est stationnaire, c’est-à-dire u_n+1 = u_n, pour tout entier positif n.

Point fixe

Un point d’équilibre est un point fixe de la fonction f définissant la relation de récurrence.

Terme général d’une suite arithmético-géométrique Soit (u_n)_n∈_N telle que ∀n ∈ N, u_n+1 = au_n +b, avec a 6= 1.

On pose ` l’unique solution de l’équation ` = a` +b.

Alors

• la suite de terme général u_n − ` est une suite géométrique de raison a

• pour tout entier n positif ou nul, on a

u_n = aⁿ(u₀ − `) +` = aⁿ⁻¹(u₁ − `) +`

(12)

Limite

Soit (u_n)_n∈_N telle que ∀n ∈ N, u_n+1 = au_n +b, avec a 6= 1.

La suite (u_n)_n∈_N converge si et seulement si |a| < 1.

Si elle converge, alors sa limite est ` = b 1− a. Point d’équilibre

Quand une suite arithmético-géométrique converge, sa limite est le point d’équilibre de l’équation aux différences finies vérifiée par la suite.

Exemples

• Compte épargne

u₀ = 100 et ∀n ∈ N, u_n+1 = (1 +t)u_n + 10

u_n = 1.01ⁿ(u₀ + 1000)−1000 = 1.01ⁿ×1100−1000 −−−−→

n→+∞ +∞

• Évolution de capital

K_n+1 = (1− δ)K_n + I avec 0 < δ < 1

(13)

Modèle de Cobweb

Demande : Q_t^d = α −βPt (α, β > 0) Offre : Q_t^s = −γ + δPt−1 (γ, δ > 0) Équilibre : Q_t^d = Q_t^s

Les différents comportements

Cas particuliers

Cas a = 1 :

divergence régulière

`

× × × × × ×

Cas a = −1 :

divergence oscillatoire,

oscillations entretenues `

× × ×

(14)

Les différents comportements : cas où a > 1

• a > 1 et u₀ > ` : divergence régulière

u₀ u₁

u₁ u₂

u₂ u₃

u₃ u₄

u₄ u₅

u₅ u₆

u₆

`× × ×

×

• a > 1 et u₀ < ` : divergence régulière

u₀ u₁

u₁ u₂

u₂ u₃

u₃ u₄

u₄ u₅

u₅ u₆

u₆

`× × ×

×

Les différents comportements : cas où 0 < a < 1

• 0 < a < 1 et u₀ < ` : convergence régulière

u₀ u₁

u₁ u₂

u₂ u₃

u₃ u₄

u₄ u₅

u₅ u₆

`

×

× × × ×

• 0 < a < 1 et u₀ > ` : convergence régulière

u₀ u₁

u₁ u₂

u₂ u3

u₃ u₄

u₄ u₅

u₅ u₆

`

×

× × × ×

(15)

Les différents comportements : cas où a < 0

• a < −1 : divergence oscillatoire, oscillations explosives

u₀ u₁

u₁ u₂

u₂ u₃

u₃ u₄

u₄ u₅

u₅ u₆

u₆ u₇

u₇ u₈

u₆

`× × ×

× ×

×

• −1 < a < 0 : convergence oscillatoire, oscillations amorties

u₀ u₁

u₁ u₂

u₂ u₃

u₃ u₄

u₄ u5

u₅ u₆

u₆

`

×

× ×

× × ×

II. Équations aux différences finies d’ordre 1 non linéaires

Équation aux différences finies non linéaire homogène du premier ordre

y_t+1 = f(y_t), ∀t ∈ N ou

u_n+1 = f(u_n), ∀n ∈ N avec f : I → R, I ⊂ R

On se limite au cas où f est continue sur I. Premiers exemples

• ∀n ∈ N, u_n+1 = u_n²

• ∀n ∈ N, v_n+1 = √ v_n

• ∀n ∈ N, w_n+1 = 1 1−w_n

(16)

Existence du processus

Intervalle stable par une fonction

Soit f une fonction telle que f : D → R avec D ⊂ R.

On dit qu’un intervalle I ⊂ D est stable par f si et seulement si f (I) ⊂ I.

Cas de bonne définition d’une suite

Si l’intervalle I est stable par f et si le premier terme u₀ appartient à l’intervalle I, alors pour tout entier naturel n, le terme u_n existe et appartient à I.

Point d’équilibre

valeur de u₀ telle que u_n+1 = u_n, ∀n ∈ N Point fixe de f

valeur x telle que f(x) = x

Les points d’équilibre de l’équation u_n+1 = f(u_n) correspondent aux points fixes de la fonction f .

Limite potentielle

Si la suite (u_n)_n∈_N converge, alors elle converge vers un point fixe de la fonction f , c’est-à-dire vers un de ses états d’équilibre.

(17)

Théorème de la limite monotone

Toute suite réelle monotone admet une limite (finie ou infinie).

1. Soit (u_n)_n∈_N une suite croissante.

• Si (un)n∈N est majorée par M, alors elle converge vers ` 6 M.

• Si (u_n)_n∈_N n’est pas majorée, alors elle diverge vers +∞.

2. Soit (u_n)_n∈_N une suite décroissante.

• Si (u_n)_n∈_N est minorée par m, alors elle converge vers ` > m.

• Si (un)n∈N n’est pas minorée, alors elle diverge vers −∞.

u

_n+1

= u

_n²

u₀ u₁

u₁ u₂

u₂ u₃

u₃ u₄

u₄ u₅

u₅

(18)

u

_n+1

= u

_n²

u₀ u₁

u₁ u₂

u₂ u₃

u₃ u₄

u₄ u₅

u₅

u

_n+1

= √ u

_n

u₀ u₁

u₁ u₂

u₂ u₃

u₃ u₄

u₄ u₅

u₅

(19)

u

_n+1

= √ u

_n

u0

u₁

u1

u₂

u2

u₃

u3

u₄

u4

u₅

Cas où f est croissante

Si f est croissante, alors la suite (u_n)_n∈_N est monotone.

Plus précisément on a :

1. si u₀ 6 u₁, la suite (u_n)_n∈_N est croissante ; 2. si u₀ > u₁, la suite (u_n)_n∈_N est décroissante.

(20)

Méthode quand f est croissante

• Si (u_n)_n∈_N est croissante et majorée par M, alors elle converge vers un point fixe ` de f tel que ` 6 M.

• Si (u_n)_n∈_N est décroissante et minorée par m, alors elle converge vers un point fixe ` de f tel que ` > m.

• Si (u_n)_n∈_N est croissante (resp. décroissante) et ne semble pas majorée (resp. minorée), on peut raisonner par l’absurde en supposant que la suite converge vers un réel ` et on essaie de trouver une contradiction concernant `.

Dans ce cas, la suite ne converge pas et puisqu’elle est croissante (resp. décroissante), elle diverge vers +∞ (resp.

−∞).

u

_n+1

= u

_n⁻²

u₀ u₁

u₁ u₂

u₂ u₃

u₃ u₄

u₄

(21)

Méthode quand f est décroissante

Sous-suites extraites des rangs pairs et impairs

∀n ∈ N, a_n = u_2n et b_n = u_2n+1. On a

a_n+1 = u_2(n+1) = u_2n+2 = f(u_2n+1) = f(f(u_2n)) = (f ◦f )(a_n) a_n+1 = (f ◦f)(a_n)

On remarque que la fonction f ◦f est croissante.

On peut étudier comme précédemment les suites (a_n)_n∈_N et (b_n)_n∈_N.

Puis on compare leurs limites.

Exemple de modèle de Cobweb non linéaire

Rappel : cas linéaire

Demande : Q_t^d = α− βP_t (α, β > 0) Offre : Q_t^s = −γ + δP_t−1 (γ, δ > 0) Équilibre : Q_t^d = Q_t^s

État initial : P₀ = p₀ (p₀ ∈ [0 ; 1]) Exemple de situation non linéaire

Demande : Q_t^d = 1− P_t

Offre : Q_t^s = P

1 2

t−1

Équilibre : Q_t^d = Q_t^s

État initial : P₀ = p₀ (p₀ ∈ [0 ; 1])

(22)

Cobweb non linéaire : u

_n+1

= 1 − √ u

_n

u₀ u₁

u₁ u₂

u₂ u₃

u₃ u₄

u₄ u₅

u₅ u₆

u₆ u₇

u₅

Si f n’est pas monotone

Exemple d’une population de poissons avec pêche : y_t+1 = 2y_t(1 −y_t) −H

= 2y_t −2y_t² − H

avec H prélèvement autorisé de poisson fixé par convention internationale (ici H = 0.08).

Points d’équilibre : ` = 2`² − `+H = 0 ⇔ ` = 0.4 ou ` = 0.1.

Représentation graphique :

f(x) = −2x² −2x −0.08, f⁰(x) = 2− 4x : f ⁰(x) = 0 ⇔ x = 0.5 f⁰(0.4) = 0.4, f⁰(0.1) = 1.4, f(0) = −0.08, f(0.5) = 0.42,

f(x) = 0 ⇒ x ' 0.98 ou 0.02

(23)

u

_n+1

= 2u

_n

(1 − u

_n

) − 0.08

0.1 0.4

u

_n+1

= 2u

_n

(1 − u

_n

) − 0.08 avec u

₀

< 0.1

0.1 0.4

(24)

u

_n+1

= 2u

_n

(1 − u

_n

) − 0.08 avec 0.1 < u

₀

< 0.4

u₀ u₁

u₁ u₂

u₂ u₃

u₃ u₄

u₄ u₅

u₅ u₆

u₆ u₇

0.1 0.4

u

_n+1

= 2u

_n

(1 − u

_n

) − 0.08 avec 0.4 < u

₀

< 0.6

u₀ u₁

u₂

u₂ u₃

u₃ u₄

u₄ u₅

u₅ u₆

u₆ u₇

0.6 0.4 0.5

(25)

u

_n+1

= 2u

_n

(1 − u

_n

) − 0.08 avec 0.6 < u

₀

< 0.9

u₀ u₁

u₂

u₂ u₃

u₃ u₄

u₄ u₅

u₅ u₆

u₆ u₇

u₇ u₈

0.1 0.4 0.6 0.9

u

_n+1

= 2u

_n

(1 − u

_n

) − 0.08 avec 0.9 < u

₀

< 0.958

u₀ u₁

u₂

u₂ u₃

u₃ u₄

u₄

u₅ 0.1 0.9

(26)

Suite logistique : u

_n+1

= ru

_n

(1 − u

_n

)

Exemple avec r = 2

0.5

Suite logistique avec r = 3

(27)

Suite logistique avec r qui varie de 1.2 à 4

r = 1.2

(28)

C2. S

UITES RÉCURRENTES LINÉAIRES D

’

ORDRE

2

février 2019

I. SRLO2 à coefficients constants sans second membre

Suites récurrentes linéaires d’ordre 2 à coefficients constants sans second membre

∀n ∈ N, u_n+2 + au_n+1 + bu_n = 0 (H) avec a ∈ R et b ∈ R^∗

Exemple : ∀n ∈ N, u_n+2−2u_n+1 −3u_n = 0, u₀ = 3,u₁ = 1

Recherche de suites usuelles solutions de (H)

• constantes ?

• arithmétiques ?

• géométriques ?

Équation caractéristique

équation du second degré : x² + ax +b = 0

(29)

∀n ∈ N, u_n+2 + au_n+1 + bu_n = 0 (H) Terme général d’une suite récurrente linéaire d’ordre 2

• Si l’équation caractéristique associée possède deux solutions distinctes r₁ et r₂, alors il existe un unique couple de réels (α, β) tels que

∀n ∈ N, u_n = αr₁ⁿ + βr₂ⁿ

• Si l’équation caractéristique associée possède une unique

solution r₀, alors il existe un unique couple de réels (α, β) tels que

∀n ∈ N, u_n = (α+ nβ)r₀ⁿ

Cas où le discriminant de l’équation caractéristique est négatif

Les racines r₁ et r₂ sont complexes non réelles.

Le terme général des suites vérifiant (R) peut s’écrire ρⁿ (αcos(nθ) +βsin(nθ))

avec α et β deux paramètres réels et ρ et θ sont entièrement déterminés par (R).

En particulier, on a ρ = s

b² − ∆ 4a² .

(30)

Structure de l’ensemble des solutions de (H)

L’ensemble des solutions de (H) est un espace vectoriel.

Plus précisément c’est un sous-espace vectoriel de dimension 2 de l’espace vectoriel des suites réelles R^N.

II. SRLO2 à coefficients constants avec second membre

Suites récurrentes linéaires d’ordre 2 à coefficients constants avec second membre

∀n ∈ N, u_n+2 + au_n+1 + bu_n = c_n (R) avec a ∈ R, b ∈ R^∗ et (c_n)_n∈_N suite à coefficients réels.

Équation homogène associée à (R)

∀n ∈ N, u_n+2 + au_n+1 + bu_n = 0 (H) avec a ∈ R et b ∈ R^∗

(31)

Solutions de (R)

Soit u^p est une suite solution particulière de (R).

Alors toute suite (u_n)_n∈_N vérifiant (R) peut s’écrire de la façon suivante :

∀n ∈ N, u_n = u_n^p +u_n^h où u^h est une suite vérifiant (H).

Exemple











∀n ∈ N, u_n+2 − 2u_n+1 − 3u_n = −4 u₀ = 4

u₁ = 2

Cas d’un second membre constant

∀n ∈ N, u_n+2 + au_n+1 +bu_n = c (R) avec a ∈ R, b ∈ R^∗ et c ∈ R^∗

Recherche de solutions particulières

• pour a + b 6= −1 : u_n^p = c 1 +a + b

• pour a + b = −1 et a 6= −2 : u_n^p = c a + 2n

• pour a = −2 et b = 1 : u^p_n = c 2n²

(32)

Cas d’un second membre constant

Comportement asymptotique quand a + b 6= −1

• pour ∆ > 0 : u_n = αr₁ⁿ +βr₂ⁿ + c 1 + a +b si α 6= 0 et β 6= 0 et

• si max (|r₁|,|r₂|) < 1, la suite converge vers ` = c 1 +a +b

• si max (|r₁|,|r₂|) > 1, la suite diverge.

• pour ∆ = 0 : u_n = (α+ βn)r₀ⁿ + c 1 + a + b si α 6= 0

• si |r₀| <1, la suite converge vers ` = c 1 +a +b

• si |r₀| >1, la suite diverge.

• pour ∆ < 0 : la suite oscille.

Exemple

∀n ∈ N, u_n+2 − 2βu_n+1 +βu_n = c (R) avec β > 0

(33)

Multiplieur-accélérateur de Samuelson

Avec retard

C_t = cY_t−1 0 < c < 1 I_t = v (Y_t−1 − Y_t−2) 0 < v Y_t = C_t +I_t + A

Sans retard

C_t = cY_t 0 < c < 1 I_t = v (Y_t−1 − Y_t−2) 0 < v Y_t = C_t +I_t + A

(34)

C3. É

QUATIONS DIFFÉRENTIELLES D

’

ORDRE

1

mars 2019

I. Introduction

Équation différentielle ordinaire

• les solutions sont des fonctions

• relation entre la fonction et un certain nombre de ses dérivées Exemple

K⁰(t) = I(t)− δK(t) avec 0 < δ < 1

(35)

II. Équation « primitive »

Équation « primitive »

Soient I un intervalle et g une fonction de I dans R.

∀t ∈ I, y⁰(t) = g(t) Les solutions sont les primitives de g sur I.

Exemples

• ∀t ∈ R^∗+, y⁰(t) = 1

t² ⇒ ∃C ∈ R, ∀t ∈ R^∗+, y(t) = −1 t + C

• Coût marginal : C⁰(Q) = 2e^−0.2Q et C(0) = 90

• Taux de formation du capital : ∀t ∈ R+, K⁰(t) = I(t) Par exemple avec I(t) = 3t¹² et K(0) = 0

III. Équation différentielle linéaire d’ordre 1

∀t ∈ R+, K⁰(t) = I(t)− δK(t) avec 0 < δ < 1

(36)

Équation différentielle linéaire d’ordre 1 Toute équation de la forme

∀t ∈ I, y⁰(t) +a(t)y(t) = b(t) (E) avec a et b deux fonctions continues sur I.

• b : second membre

• si a est constante, l’équation est dite à coefficients constants

Solution d’une équation différentielle linéaire

f : I → R est une solution de l’équation y⁰ +ay = b sur I si et seulement si

• la fonction f est dérivable sur I

• la fonction f vérifie

∀t ∈ I, f⁰(t) + a(t)f(t) = b(t).

Soient δ ∈]0; 1[ et I la fonction constante égale à i

∀t ∈ R+, K⁰(t) = I(t)− δK(t)

⇔ ∀t ∈ R+, K⁰(t) +δK(t) = i La fonction t 7→ e^−δt + i

δ est une solution.

Est-ce la seule solution ?

(37)

∀t ∈ I, y⁰(t) +a(t)y(t) = b(t) (E)

Équation homogène associée

∀t ∈ I, y⁰(t) +a(t)y(t) = 0 (E_H)

Solutions d’une équation différentielle homogène

L’ensemble des solutions de (E_H) : y⁰ + ay = 0 sur l’intervalle I est

S_H :=







I → R

t 7→ λe^−A(t)

; λ ∈ R







où A désigne une primitive sur I de la fonction a.

Exemple

Élasticité constante Soit α ∈ R.

∀x ∈ R^∗+, y⁰(x) x

y(x) = α

(38)

Cas d’une équation homogène à coefficient constant

(E_H) : y⁰ + ay = 0, avec a est un réel

S_H :=







R → R t 7→ λe^−at

; λ ∈ R





 .

Soit a > 0. Représentation graphique de courbes représentatives de différentes solutions de (E_H)

Résolution de l’équation avec second membre

∀t ∈ I, y⁰(t) +a(t)y(t) = b(t) (E)

Soit f₀ une solution de l’équation différentielle linéaire y⁰ + ay = b.

Alors l’ensemble S des solutions de l’équation y⁰ + ay = b est S = ⁿf₀ + f ; f ∈ S_H^o

où S_H désigne l’ensemble des solutions de l’équation différentielle linéaire homogène y⁰ +ay = 0.

(39)

Soient δ ∈]0; 1[ et I la fonction constante égale à i.

∀t ∈ R⁺, K⁰(t) +δK(t) = i (E)

∀t ∈ R⁺, K⁰(t) +δK(t) = 0 (E_H)

Solutions de (E_H) :







R → R t 7→ λe^−δt

; λ ∈ R







Une solution particulière : t 7→ i δ

Solutions de (E) :







R → R

t 7→ λe^−δt + i δ

; λ ∈ R







Cas à coefficient constant et second membre constant

Soient a et b dans R^∗.

∀t ∈ I, y⁰(t) +ay(t) = b (E) Alors l’ensemble des solutions de (E) est

S :=







R → R t 7→ b

a +λe^−at

; λ ∈ R







(40)

∀t ∈ R, y⁰(t) +y(t) = e^2t (E) La fonction t 7→ 1

3e^2t est une solution de (E).

Cas à coefficient constant et second membre exponentiel Soient a et m dans R^∗.

∀t ∈ I, y⁰(t) +ay(t) = e^mt

Alors la fonction







t 7→ 1

m+ ae^mt si m 6= −a t 7→ te^mt si m = −a

est une solution

particulière.

Exemple

∀t ∈ R^∗+, y⁰(t)− 1

ty(t) = 1

Cherchons une solution particulière f₀ de la forme f₀(t) = g(t)t.

(41)

Méthode de la variation de la constante

Consiste à rechercher une solution f₀ sous la forme f₀(t) = λ(t)e^−A(t),

où λ est une fonction dérivable sur I et où A désigne une primitive de a.

Principe de superposition Soient

• b₁ et b₂ deux fonctions continues sur I

• f₁ une solution de y⁰ + ay = b₁

• f₂ une solution de y⁰ + ay = b₂

Alors pour tout réel λ, la fonction λf₁ + f₂ est une solution de l’équation différentielle y⁰ + ay = λb₁ + b₂.

(42)

Problème de Cauchy

Soient t₀ et y₀ deux réels. On appelle problème de Cauchy de (E) de condition y(t₀) = y₀ le système

(E_t₀_,y₀) :







y⁰ +ay = b y(t₀) = y₀

Le problème de Cauchy (E_t₀_,y₀) admet une unique solution.

Exemple avec a constant

(t₀,y₀)×

Modèle d’ajustement du prix

Demande Q^d(t) = α− βP(t) (α, β > 0) Offre Q^s(t) = −γ +δP(t) (γ, δ > 0) Ajustement P⁰(t) = q(Q^d(t) −Q^s(t)) (0 < q < 1)

P⁰(t) +q(β +δ)P(t) = q(α +γ)

Solutions : S =







R+ → R

t 7→ λe^−q(β+γ)t + α+ γ β +δ

; λ ∈ R







Comportement asymptotique : lim

n→+∞P(t) = α+ γ β + δ

(43)

IV. ED non linéaire d’ordre 1 autonomes

ED non linéaire d’ordre 1 autonomes

Soient deux intervalles I et J, une fonction y : I → J et une fonction continue f : J → R.

y⁰(t) = f y(t), ∀t ∈ I

Exemples

y⁰(t) = 2 q

y(t) pour tout t ∈ R

• y⁰(t) = 2 q

y(t) pour tout t ∈ R y(t) = t² ×1[0;+∞[(t) est solution

y(t) = (t −k)² × 1[k;+∞[(t) est solution pour tout réel k

• y⁰(t) = 2 q

y(t) pour tout t ∈ R et y(0) = 0

Les fonctions t 7→ 0 et t 7→ t² × 1[0;+∞[(t) sont solutions y(t) = (t −k)² × 1[k;+∞[(t) est solution pour tout réel k > 0

• y⁰(t) = 2 q

y(t) pour tout t ∈ R et y(0) = 1 y(t) = (t + 1)² ×1[−1;+∞[(t) est solution

(44)

Problème de Cauchy

(P_t₀_,y₀) :







y⁰(t) = f (y(t)) y(t₀) = y₀

avec y₀ ∈ J, t₀ ∈ I

Unicité de la solution

Si f est de classe C¹ sur J, alors il existe un intervalle ouvert

contenant t₀ (]t₀ −ε;t₀ +ε[) tel qu’il existe une unique solution au problème de Cauchy (P) définie sur cet intervalle.

Conséquence

On considère le problème de Cauchy suivant

(P_t₀_,y₀) :







y⁰(t) = f (y(t)) y(t₀) = y₀

avec y₀ ∈ J, t₀ ∈ I

avec f est C¹ sur J.

Soient deux solutions de (P) : y et z.

S’il existe τ tel que y(τ) = z(τ), alors on a y(t) = z(t), pour tout réel t.

« Deux courbes de solutions ne peuvent pas s’intersecter. »