MÉTHODE POUR L ÉTUDE D UNE SUITE ARITHMÉTICO-GÉOMÉTRIQUE
Exemple : Soit la suite définie par et pour tout entier , . On considère la suite définie pour tout entier , par .
1) Montrer que la suite est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
2) Exprimer puis en fonction de .
Résolution
Soit n un entier naturel.
1) On peut utiliser un code couleur pour repérer les différentes informations : (1 ) ; (2) ; (3)
a) On commence par exprimer en fonction de . Pour cela, dans l'expression (3) de on remplace par : .
b) On remplace par sa valeur. On utilise (2) : . c) On réduit l'expression de : .
d) On cherche à faire apparaître l'expression (3) de . pour cela, on met le nombre devant en facteur :
e) On repère l expression (3) de : et on remplace : . f) On conclut : donc la suite est géométrique de raison 0,4.
g) On calcule . On utilise (3) en remplaçant par 0 : On utilise (1) :
2) a) On commence par exprimer en fonction de . Pour cela, on utilise les propriétés des suites géométriques.
La suite est géométrique de raison 0,4 et de premier terme donc pour tout entier (4)
b) On exprime en fonction de en utilisant (3).
Pour tout entier c'est-à-dire c) On exprime en fonction de en utilisant (4).
Pour tout entier
On conclut par une phrase : Pour tout n de , un 5 0,4n 2.
