Complément : suite arithmético-géométrique.

Lycée Paul Rey Denis Augier

Complément : suite arithmético-géométrique.

Objectif : Étude des suites de la forme :

"

u0PR u<sub>n`1</sub>“au<sub>n</sub>`b

Pour tester les suites étudiées avec géobébra.

Voici un petit programme Python pour tes- ter les suites :

d e f r e c u ( a , b , n ,U ) :

f o r i i n r a n g e ( 0 , n + 1 ) : p r i n t ( "U" , i , " = " ,U) U=a∗U+b

r e t u r n

r e c u ( 0 . 3 , 1 . 4 , 1 0 ,´1 ) On a observéles résultats suivants :

• Si´1ăaă1 alors la suite pu_nq converge.

• Sia“1 alors la suitepunqest une suite arithmétique de raisonb. Donc lim

nÑ`8un“ `8ou´ 8 (sauf siu₀“ ´b

1´a où elle est constante)

• Si a ď ´1 alors la suite pu_nq diverge et n’a pas de limite (sauf si u₀ “ ´b

1´a où elle est constante)

Proposition 1 (Sur les limites. (Non exigible) )

Siu₀“ ´b

1´a alors la suitepu_nq est constante.

On suppose maintenant que u0 ‰ ´b 1´a :

• Si 0ăaă1 etu0 ą ´b

1´a alors la suitepunq est décroissante convergente.

• Siaą1 etu₀ ă ´b

1´a alors la suitepunq est croissante divergente de limite `8.

• Si 0ăaă1 etu₀ ă ´b

1´a alors la suitepu_nq est croissante convergente.

• Siaą1 etu₀ ą ´b

1´a alors la suitepu_nq est décroissante divergente de limite´8 . Proposition 2 (Sur les variations(Non exigible))

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Soit la suitepu_nq définie sur Npar :

"

u0“ ´1 u<sub>n`1</sub>“0.3u<sub>n</sub>`1,4

‚ 1^ière étape : On détermine l’intersection entre des droites d’équation y“0,3x`1,4 et y“x.

0,3x`1,4“xôx“ 1,4 0,7 “2

‚ 2^ième étape : On étudiepv_nq la suite définie parv_n“u_n´2(c’est-à-dire la distance de u_n à 2).

On montre que pvnq est une suite géométrique. (On devra utiliserun“vn`2)

v_{n`1</sub> “u<sub>n`1}´2“0,3u_n`1,4´2“0,3u<sub>n</sub>´0,6“0,3pv<sub>n</sub>`2q ´0,6“0,3v_n

On a donc v_n`1 “ 0,3v_n. Donc la suite pv_nq est une suite géométrique de raison 0,3 et de premier terme v₀“u₀´2“ ´1´2“ ´3

‚ 3^ième étape : Expression de vn en fonction den :

v_n“qⁿv₀ “ ´3ˆ0,3ⁿ

Remarque : Puisqueq“0,3Ps0,1retv₀“ ´3, on sait quepv_nqest croissante et commeu_n“v_n`2 la suite punq est croissante.

‚ 4^ième étape : Expression de un en fonction de n:

un“vn`2“q<sup>n</sup>v0 “ ´3ˆ0,3<sup>n</sup>`2

‚ 5^ième étape : Étude de la limite : q “0,3ă1 donc lim

nÑ`80,3ⁿ“0. Donc lim

nÑ`8un“ ´3ˆ0`2“2.

On retrouve le résultat observé soit avec géogébra soit à la calculatrice.

‚6^ième étape : Variation : Commeq “0,3Ps0,1r, on anÞÑ0,3ⁿest décroissante. Puis´3ˆqⁿ`2 est croissante (décomposition en fonction de référence avec -3x+2 décroissante)

Méthode-exemple 1

Exercice 1. Testez la méthode précédente avec les suites suivantes (Vous pourrez au préalable utiliser Géogébra ou le petit programme Python ou la calculatrice pour avoir une intuition de la limite et de la monotonie de la suite) :

a)

"

u0 “ ´1 u<sub>n`1</sub> “0.5u<sub>n</sub>`1,5 b)

"

u0“10 un`1 “0,5un`1,5

c)

"

u0“0 u_n`1 “2u_n´2 d)

"

u0“2 un`1 “2un´2

e)

"

u0 “4 u_n`1 “2u_n´2 f)

"

u0 “0 un`1 “ ´0,9un`19 Exercice 2. Vous pouvez construire l’exercice en choisissant vous même les valeur dea,b etu₀.

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On peut refaire cela de façon générale :

Soit la suitepu_nq définie sur Npar :

"

u0 PR u<sub>n`1</sub> “au<sub>n</sub>`b

Avec a ‰1. (En effet si a“ 1, la suite punq est simplement une suite arithmétique. On remarque d’ailleurs que sib“0 la suite est géométrique et la méthode est valable mais inutile.)

‚ 1^ière étape : On détermine l’intersection entre des droites d’équation y“ax`bet y“x.

ax`b“xôx“ b 1´a

‚ 2^ième étape : On étudie pvnq la suite définie parvn“un´ b

1´a (c’est-à-dire la distance de un

à b

1´a). On montre quepv_nq est une suite géométrique.

v_{n`1</sub> “u<sub>n`1}´ b

1´a “au_n`b´ b

1´a “au_n`b´ b

1´a “apv_n` b

1´aq `b´ b

1´a “av_n On a doncv_n`1“av_n. Donc la suitepv_nqest une suite géométrique de raison a et de premier terme v₀ “u₀´ b

1´a

‚ 3^ième étape : Expression de v_n en fonction den : v_n“qⁿv₀“

ˆ

u₀´ b 1´a

˙ ˆaⁿ

‚ 4^ième étape : Expression de un en fonction de n: un“vn` b

1´a “ ˆ

u0´ b 1´a

˙

ˆaⁿ` b 1´a

Remarque : On peut déterminer les variations et la limite depv_nq à partir des valeurs de v₀ et de a, puisque c’st une suite géométrique. On déduira ainsi les variations et la limite de punq.

‚ 5^ième étape : Étude de la limite : Par exemple, si´1 ăaă1. lim

nÑ`8aⁿ “0. Donc lim

nÑ`8u_n “ b

1´a.

‚ 6^ième étape : Variation : On fera au cas par cas.

Méthode-exemple 2

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