Lycée Louis-Le-Grand,Paris MPSI 4– Mathématiques A. Troesch
Problème n
o8 : Moyenne arithmético-géométrique
Problème 1– Autour de la moyenne arithmético-géométrique Soit a et b deux réels positifs. On définit ma(a, b) = a+b
2 la moyenne arithmétique de a et b, et mg(a, b) =√ ab la moyenne géométrique deaet b.
Question préliminaire : Comparaison des moyennes arithmétique et géométrique Montrer que pour tout couple(a, b)de réels positifs,mg(a, b)6ma(a, b).
Partie I – Définition de la moyenne arithmético-géométrique Soit (a, b)∈R2+. On définit deux suites(an)n∈Net(bn)n∈N par les relations :
a0=a,
b0=b , et∀n∈N,
an+1=an+bn
2 =ma(an, bn) bn+1=√
anbn=mg(an, bn)
1. Montrer que (an)n∈Net(bn)n∈Nsont convergentes. On noteαet β leur limite respective.
2. Montrer que α=β.
On appelle moyenne arithmético-géométriquede aetb la valeur de cette limite commune, et on la noteM(a, b).
3. ComparerM(a, b),ma(a, b)et mg(a, b).
Partie II – Expression intégrale de la moyenne arithmético-géométrique On pose, pour toutx∈[0,1[, et pour tout(λ, µ)∈R2 :
I(x) = Z π2
0
dt
p1−x2sin2t et J(λ, µ) = Z π2
0
dt q
λ2cos2(t) +µ2sin2(t) .
1. Montrer que pour toutx∈[0,1[,(1 +x)I(x) =I 2√x
1 +x
. Indication : changement de variableu= Arcsin
(1 +x) sin(t) 1 +xsin2(t)
2. En se ramenant à l’intégraleI, montrer que pour toutx∈]0,1],J(1, x) =J
1 +x 2 ,√
x
.
3. Soit aet b deux réels strictement positifs tels quea>b, et (an)n∈Net (bn)n∈Nles suites définies en début de partie I. Montrer que(J(an, bn))n∈Nest constante.
4. Soitε >0 tel queε < M(a, b). Justifier l’existence deN ∈Ntel que pour toutn>N, π
2 · 1
M(a, b) +ε 6J(an, bn)6 π
2 · 1
M(a, b)−ε. 5. En déduire une expression deM(a, b)en fonction deJ(a, b).
Partie III – Une variante de la moyenne arithmético-géométrique Soit toujours(a, b)∈(R∗+)2. On définit cette fois (an)et(bn) par :
a0=a
b0=b et ∀n∈N,
an+1=an+bn
2 bn+1=p
an+1bn
1
1. En étudiant leur monotonie, montrer que(an)et(bn)convergent vers une limite commune (on pourra distinguer les casa6bet b6a)
2. Soitαun réel de]0,π2[, et pour toutn∈N, Bn=
n
Y
k=1
cosα 2k
.
Montrer que pour toutn∈N,Bn= 1 2n
sin(α) sin 2αn. 3. On suppose quea6b, etα= Arccosa
b
. Montrer que
n→+∞lim bn=
b·sin(α)
α siα6= 0
b siα= 0.
4. On suppose de a>b. Montrer l’existence d’un unique réelαtel quea= ch(α)b, et montrer que
n→+∞lim bn=
b·sh(α)
α siα6= 0
b siα= 0.
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