Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI L IMITE D ’ UNE SUITE

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E N VRAC

1 Étudier la limite des suites de terme général :

1) a) sh n

p ch (2n) . b) p

n ² + n − p n ² − n.

c) p

e ⁿ + 2 ⁿ − p e ⁿ + 1.

d) p

n

n . e) 1 + 2 sin n

p n . f) n!

n ⁿ .

2) a) n ^α

n ^β + 1 (α, β ∈ R ).

b)

n

X

k=1

p 1 k . c)

n

X

k=1

1

n ² + k ² . d)

n

X

k=1

p 1 n ² + k .

3) a)

 1 + 1

n

‹ n

^α

(α ∈ R ).

b) X n

k=1

k!

n! . c) 1 n ²

X n

k=1

k x

(x ∈ R ).

————————————–

2

1) Montrer que la suite

‚ _n X

k=1

1 k ²

Œ

n ∈ N

∗

converge.

2) On pose pour tout n ∈ N ^∗ : H _n =

n

X

k=1

1 k . a) Montrer que pour tout n ∈ N ^∗ : H _2n − H _n ¾ 1

2 . b) En déduire que lim

n→ + ∞ H _n = + ∞ .

————————————–

3 Soient (u _n ) _{n ∈} N et (v _n ) _{n ∈} N deux suites à valeurs dans [0, 1]. Montrer que si lim

n → + ∞ u _n v _n = 1 :

n → lim + ∞ u _n = lim

n → + ∞ v _n = 1.

————————————–

4 On pose pour tout n ∈ N : u _n =

 2n n

‹ 2 ^{− 2n} . 1) Montrer que la suite €

(n + 1) u ² _n Š

n ∈ N converge.

2) En déduire lim

n → + ∞ u _n .

————————————–

5

1) On pose pour tout n ∈ N : I _n = Z e

1

(ln t) ⁿ dt.

a) Montrer que la suite (I _n ) _n∈ N converge.

b) Montrer que : I _n+1 = e − (n + 1) I _n pour tout n ∈ N . En déduire lim

n→ + ∞ I _n . 2) On pose pour tout n ∈ N : u _n = ( − 1) ⁿ I _n

n! .

a) Exprimer u _n+1 en fonction de u _n pour tout n ∈ N . b) En déduire

+ X ∞

k=0

( − 1) ^k k! .

————————————–

6 Soit (u _n ) _n∈ N une suite réelle de limite ℓ ∈ R . Étudier lim

n → + ∞ ⌊ u _n ⌋ dans chacun des cas suivants : 1) ℓ = + ∞ . 2) ℓ ∈ R \ Z . 3) ℓ ∈ Z .

————————————–

7 Soit (u _n ) _{n ∈} N une suite. Montrer que (u _n ) _{n ∈} N converge vers 0 si : 1) lim

n → + ∞

u _n 1 + u _n = 0.

2) (u _n ) _{n ∈} N est bornée et lim

n→ + ∞

u _n 1 + u ² _n = 0.

————————————–

8 Soient (a _n ) _n∈ N et (b _n ) _n∈ N deux suites strictement positives. Montrer que si a _n+1

a _n ¶ b _n+1

b _n pour tout n ∈ N avec lim

n → + ∞ b _n = 0, alors lim

n → + ∞ a _n = 0.

————————————–

9 Soit (u _n ) _{n ∈} N une suite strictement positive. On suppose

 u _n+1 u _n

‹

n∈ N

convergente de limite notée ℓ.

1) Étudier lim

n → + ∞ u _n dans le cas où ℓ < 1.

2) Même question dans le cas où ℓ > 1.

3) Pourquoi ne peut-on pas conclure si ℓ = 1 ?

————————————–

10 Étudier la nature des suites (u _n ) _{n ∈} N

∗

pour les- quelles pour tout n ∈ N ^∗ : u _n+1 = u _n

n + 1 n ² .

————————————–

S UITES EXTRAITES

11 Montrer que la suite de terme général u _n n’a pas de limite :

1) où pour tout n ¾ 2, u _n est l’inverse du nombre de diviseurs premiers de n.

2) où pour tout n ∈ N : u _n = sin n ² π 3 .

————————————–

12 Soit (u _n ) _n∈ N une suite réelle. Montrer que (u _n ) _n∈ N

est convergente dans les deux cas suivants : 1) (u _n ) _n∈ N est croissante et (u _2n ) _n∈ N converge.

2) (u _2n ) _{n ∈} N , (u _2n+1 ) _{n ∈} N et (u _3n ) _{n ∈} N convergent.

————————————–

13 On ^ADMET l’irrationalité de π. Le réel tan n est alors bien défini pour tout n ∈ N . Montrer que la suite (tan n) _{n ∈} N n’a pas de limite.

————————————–

14 Soit θ ∈ R \ π Z . Montrer qu’aucune des deux suites cos(nθ )

n ∈ N et sin(nθ )

n ∈ N n’a de limite.

————————————–

15 On pose pour tout n ∈ N : u _n = p n − p

n . 1) Étudier lim

n→+∞ u _n

2

+n . En déduire que la suite (u _n ) _{n ∈} N n’a pas de limite.

2) Montrer que lim

n → + ∞ u _n

2

b

²

+2an = a

b pour tous a ∈ N et b ∈ N ^∗ pour lesquels a < b.

3) Montrer que [0, 1] est l’ensemble des va- leurs d’adhérence de (u _n ) _n∈ N .

————————————–

1

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16 Montrer que [ − 1, 1] est l’ensemble des valeurs d’adhérence de la suite cos(ln n)

n ∈ N

∗

.

————————————–

17 Soit (u _n ) _{n ∈} N une suite réelle.

1) Soit x ∈ R . Montrer que x est une valeur d’adhérence de (u _n ) _{n ∈} N si et seulement si :

∀ ǫ > 0, ∀ N ∈ N , ∃ n ¾ N, | u _n − x | < ǫ.

2) On suppose que lim

n → + ∞ (u _n+1 − u _n ) = 0.

Montrer que l’ensemble des valeurs d’adhérence de (u _n ) _n∈ N est un intervalle.

————————————–

S UITES ADJACENTES

18 Montrer que les suites (u _n ) _{n ∈} N

∗

et (v _n ) _{n ∈} N

∗

sui- vantes sont adjacentes :

1) u _n = X 2n

k=n+1

1

k et v _n = X 2n

k=n

1 k . 2) u _n =

n

Y

k=1

 1 + 1

k ²

‹

et v _n = u _n

 1 + 1

n

‹ . 3) u _n =

X n

k=1

p 1 k − 2 p

n et v _n = X n

k=1

p 1 k − 2 p

n + 1.

————————————–

19 1) Soit (u _n ) _n∈ N une suite décroissante de limite nulle. On pose pour tout n ∈ N : S _n =

n

X

k=0

( − 1) ^k u _k . Montrer que les suites (S _2n ) _{n ∈} N et (S _2n+1 ) _{n ∈} N sont adjacentes, puis que la suite (S _n ) _{n ∈} N converge (cri- tère spécial des séries alternées).

2) a) Pour tout n ∈ N ^∗ , on pose : u _n =

X n

k=1

1

k − ln n et v _n = X n

k=1

1

k − ln(n+1).

Montrer que les suites (u _n ) _{n ∈} N

∗

et (v _n ) _{n ∈} N

∗

sont adjacentes. Leur limite commune est appelée la constante d’Euler.

b) En déduire

+ ∞

X

k=1

( − 1) ^{k − 1} k .

————————————–

S UITES RÉCURRENTES u _n+1 = f (u _n )

20 Dans chacune des situations suivantes, déterminer les variations de la fonction sous-jacente, la position de son graphe par rapport à la droite d’équation y = x ainsi que quelques domaines stables intéressants, puis étu- dier en fonction de u ₀ la nature de la suite (u _n ) _{n ∈} N dé- finie pour tout n ∈ N par :

1)

a) u _n+1 = u _n − ln u _n . b) u _n+1 = p

2u _n + 3.

c) u _n+1 = 1 + ln u _n . d) u _n+1 = 1 + u ² _n 4 . 4)

a) u _n+1 = u ² _n + u _n

2 . b) u _n+1 = u ² _n − 1

4 .

————————————–

21 On note f la fonction x 7−→ p

2 − x sur ] −∞ , 2].

1) Pour quelles valeurs de u ₀ peut-on définir une suite (u _n ) _n∈ N par la relation u _n+1 = f (u _n ) ? On suppose désormais que u ₀ a une telle valeur.

2) a) Déterminer les points fixes de f et montrer qu’ils sont points fixes de f ◦ f .

b) Montrer que les points fixes de f ◦ f sont ra- cines d’un polynôme P de degré 4.

c) Vérifier que P admet − 2 pour racine et en dé- duire les points fixes de f ◦ f .

3) Montrer que (u _n ) _{n ∈} N converge et préciser sa limite.

————————————–

22 Soit (u _n ) _n∈ N une suite. On suppose u ₀ > 0 et que pour tout n ∈ N : u _n+1 =

v u t

X n

k=0

u _k .

1) Exprimer u _n+1 en fonction de u _n pour tout n ∈ N . 2) Étudier lim

n → + ∞ u _n . 3) Étudier lim

n → + ∞ (u _n+1 − u _n ), puis lim

n → + ∞

u _n

n grâce au théorème de Cesàro.

————————————–

23 Soit (u _n ) _{n ∈} N une suite. On suppose u ₀ > 0 et que pour tout n ∈ N : u _n+1 = u _n + e ^{− u}

ⁿ

.

1) Étudier lim

n→ + ∞ u _n .

2) On pose pour tout n ∈ N : v _n = e ^u

ⁿ

. a) Montrer que lim

n → + ∞ (v _n+1 − v _n ) = 1.

b) En déduire lim

n → + ∞

u _n

ln n grâce au théorème de Cesàro.

————————————–

C OUPLES DE SUITES RÉCURRENTES 24 Soient (x _n ) _n∈ N et (y _n ) _n∈ N deux suites réelles. On

suppose que x ₀ < y ₀ et que pour tout n ∈ N : x _n+1 = 2x _n + y _n

3 et y _n+1 = x _n + 2 y _n

3 .

Montrer que les suites (x _n ) _n∈ N et (y _n ) _n∈ N sont conver- gentes de même limite — que l’on précisera.

————————————–

25 Soit x > 1. On définit deux suites (u _n ) _n∈ N et (v _n ) _n∈ N en posant : u ₀ = x, v ₀ = 1 et pour tout n ∈ N : u _n+1 = u _n + v _n

2 et v _n+1 = 2u _n v _n u _n + v _n . Montrer que les suites (u _n ) _{n ∈} N et (v _n ) _{n ∈} N sont conver- gentes de même limite — que l’on précisera.

————————————–

26 Soient a, b > 0. On définit deux suites (a _n ) _n∈ N et (b _n ) _n∈ N en posant : a ₀ = a, b ₀ = b et pour tout n ∈ N : a _n+1 = a _n + b _n

2 et b _n+1 = p a _n b _n . Montrer que (a _n ) _n∈ N

∗

et (b _n ) _n∈ N

∗

sont convergentes de même limite. Cette limite qu’on ne calculera pas est ap- pelée la moyenne arithmético-géométrique de a et b.

2

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S UITES DÉFINIES IMPLICITEMENT 27 Soient a, b ∈ R pour lesquels a < b et f ∈ C [a, b[, R

. On suppose que f est strictement croissante sur [a, b[

et que : f (a) ¶ 0 et lim

x→b f (x) = + ∞ .

1) Montrer que l’équation : f (x) = n d’incon- nue x ∈ [a, b[ possède une et une seule solution x _n pour tout n ∈ N .

2) Étudier la monotonie de la suite (x _n ) _{n ∈} N . 3) Étudier lim

n → + ∞ x _n .

————————————–

28 Soient I un intervalle et ( f _n ) _{n ∈} N une suite de fonctions de I dans R . On suppose que pour tout n ∈ N :

— l’équation : f _n (x) = 0 d’inconnue x ∈ I pos- sède une et une seule solution x _n ,

— la fonction f _n est strictement croissante sur I ,

— pour tout x ∈ I : f _n (x) ¶ f _n+1 (x).

1) Conjecturer, à partir d’un dessin, le sens de mono- tonie de la suite (x _n ) _{n ∈} N .

2) Prouver proprement cette conjecture.

————————————–

29 1) Montrer que l’équation : x + tan x = n d’in- connue x ∈ i

− π 2 , π

2 h

possède une et une seule solution x _n pour tout n ∈ N .

2) Montrer que (x _n ) _{n ∈} N converge et préciser sa limite.

————————————–

30 1) Montrer que l’équation : x ⁿ = cos x d’incon- nue x ∈ [0, 1] possède une et une seule solution x _n pour tout n ∈ N .

2) Montrer que (x _n ) _n∈ N converge et préciser sa limite.

————————————–

31 1) Montrer que pour tout n ∈ N ^∗ , l’équation : x ⁿ + x ^{n − 1} + . . . + x = 1

d’inconnue x ∈ R ₊ possède une et une seule solu- tion x _n .

2) Montrer que pour tout n ∈ N ^∗ : x ⁿ⁺¹ _n = 2x _n − 1.

3) Montrer que (x _n ) _{n ∈} N converge et préciser sa limite.

————————————–

32 1) a) Montrer que l’équation : ln x = − nx d’in- connue x ∈ R ^∗

+ possède une et une seule solu- tion x _n pour tout n ∈ N .

b) Étudier la monotonie de la suite (x _n ) _{n ∈} N . c) Étudier lim

n→+∞ x _n .

2) On pose pour tout n ∈ N ^∗ : y _n = nx _n . a) Étudier lim

n→+∞ y _n .

b) Montrer que : y _n + ln y _n = ln n pour tout n ∈ N ^∗ , puis que lim

n → + ∞

y _n ln n = 1.

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B ORNES SUPÉRIEURES / INFÉRIEURES

33 Déterminer les bornes inférieure et supérieure des parties suivantes : 1)

§

( − 1) ⁿ + 1 n

n ∈ N ^∗ ª

. 2)

§ 1 p − q

p, q ∈ Z et p 6 = q ª

. 3)

( − 1) ^k k k + 1

k ∈ N ^∗

. 4)

§ pq p ² + q ²

p, q ∈ N ^∗ ª

. 5)

p + p q p p + q

p,q ∈ N ^∗

.

————————————–

34 Soit A une partie non vide bornée de R . Montrer l’égalité : sup ¦

| x − y | | x, y ∈ A ©

= sup A − inf A.

————————————–

35 Soient A et B deux parties non vides de R . On suppose A et B adjacentes, i.e. que tout élément de A est inférieur ou égal à tout élément de B et que :

∀ ǫ > 0, ∃ (a, b) ∈ A × B, b − a < ǫ.

Montrer que sup A = inf B.

————————————–

36 Soit (a _n ) _{n ∈} N une suite de réels positifs ou nuls.

On suppose que la suite

‚ _n X

k=0

a _k

Œ

n ∈ N

converge. Montrer que :

+ ∞

X

n=0

a _n = sup

I ∈P

f

( N )

X

i ∈ I

a _i où P f ( N ) est l’ensemble des parties finies de N .

————————————–

E PSILONOMÉTRIE

ET THÉORÈMES DE TYPE C ESÀRO 37 Soient (u _n ) _n∈ N et (v _n ) _n∈ N deux suites réelles conver-

gentes. Étudier lim

n → + ∞ max u _n , v _n :

1) au moyen d’une expression simple de max x, y en fonction de x, y et | x − y | pour tous x , y ∈ R . 2) en revenant à la définition de la limite.

————————————–

38 1) Soit (u _n ) _n∈ N

∗

une suite réelle de limite ℓ.

Montrer que : lim

n → + ∞

1 n

X n

k=1

u _k = ℓ (théorème de Cesàro) en revenant à la définition de la limite : a) dans le cas où ℓ ∈ R .

b) dans les cas où ℓ = + ∞ , puis ℓ = −∞ . 2)

3

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a) Soit (u _n ) _n∈ N une suite réelle. Montrer que si

n → lim + ∞ (u _n+1 − u _n ) = ℓ ∈ R , alors lim

n → + ∞

u _n n = ℓ.

b) Soit (u _n ) _{n ∈} N une suite strictement positive. Mon- trer que si lim

n→ + ∞

u _n+1

u _n = ℓ ∈ R ₊ ∪

+ ∞ , alors :

n→ lim + ∞

p

n

u _n = ℓ.

c) En déduire lim

n → + ∞ n v t  2n

n

‹ et lim

n → + ∞

n p

n

n! .

————————————–

39 Soit (λ _n ) _{n ∈} N

∗

une suite strictement positive pour laquelle lim

n→ + ∞ λ ₁ + . . .+ λ _n

= + ∞ . Montrer que pour toute suite réelle (u _n ) _n∈ N

∗

de limite ℓ ∈ R :

n → lim + ∞

λ ₁ u ₁ + . . . + λ _n u _n λ ₁ + . . . + λ _n = ℓ.

————————————–

40 Soient (a _n ) _n∈ N et (b _n ) _n∈ N deux suites réelles convergentes de limites respectives a et b. Montrer que :

n → lim + ∞

1 n + 1

n

X

k=0

a _k b _{n − k} = a b.

————————————–

B OLZANO -W EIERSTRASS

41 Soit (u _n ) _n∈ N une suite complexe pour laquelle pour tout n ∈ N : u _n+2 = u _n+1 + u _n

2 ⁿ . On pose pour tout n ∈ N : m _n = max

| u _n | , | u _n+1 | . 1) Montrer que pour tout n ∈ N : m _n+1 ¶

 1 + 1

2 ⁿ

‹ m _n . 2) En déduire que m _n ¶ e ² m ₀ pour tout n ∈ N , puis

que la suite (u _n ) _n∈ N est bornée.

D’après le théorème de Bolzano-Weierstrass, il existe une fonction ϕ : N −→ N strictement croissante pour laquelle la suite u _ϕ(n)

n ∈ N converge.

3) Déterminer un réel a ¾ 0 pour lequel pour tout n ∈ N :

u _ϕ(n) − u _n ¶ a

2 ⁿ .

4) En déduire que la suite (u _n ) _{n ∈} N converge.

————————————–

42 1) Soit (u _n ) _{n ∈} N une suite complexe bornée. On sup- pose que (u _n ) _{n ∈} N possède au plus une valeur d’adhé- rence. Montrer que (u _n ) _n∈ N converge.

2) Soit (u _n ) _n∈ N une suite complexe bornée pour la- quelle lim

n → + ∞ 3u _n + u _2n

= 1.

a) Que vaut la limite de (u _n ) _{n ∈} N si elle converge ? b) Lire attentivement les questions qui suivent, re- lire la question 1), puis comprendre à l’avance le principe général de la question 2).

c) Soit ϕ : N −→ N une fonction strictement crois- sante. On suppose que la suite u _ϕ(n)

n ∈ N est convergente de limite ℓ ₀ ∈ C .

i) Montrer que la suite u ₂

k

ϕ(n)

n ∈ N possède une limite ℓ _k ∈ C pour tout k ∈ N .

ii) Déterminer une expression explicite de ℓ _k en fonction de k pour tout k ∈ N .

iii) Montrer que la suite (ℓ _k ) _k∈ N est bornée, puis en déduire ℓ ₀ .

d) En déduire que la suite (u _n ) _{n ∈} N converge.

————————————–

43 On appelle suite de Cauchy toute suite com- plexe (u _n ) _{n ∈} N pour laquelle :

∀ ǫ > 0, ∃ N ∈ N , ∀ p, q ¾ N , | u _p − u _q | < ǫ.

1) Montrer que toute suite de Cauchy est bornée.

2) a) Montrer que toute suite convergente est de Cau- chy.

b) Réciproquement, montrer que toute suite de Cauchy est convergente.

3) Soient a, b ∈ R avec a ¶ b et f : [a, b] −→ [a, b]

une fonction contractante, i.e. telle que :

∃ c ∈ [0, 1[, ∀ x, y ∈ [a, b],

f (x) − f (y)

¶ c | x − y | . On souhaite montrer que f possède alors un et un seul point fixe (théorème du point fixe de Banach).

a) Montrer l’unicité d’un tel point fixe.

b) Montrer que f est continue sur [a, b].

Soit (u _n ) _{n ∈} N une suite quelconque pour laquelle tout n ∈ N : u _n+1 = f (u _n ).

c) Montrer que : | u _p − u _q | ¶ c ^p | u ₁ − u ₀ | 1 − c pour tous p ∈ N et q ¾ p.

d) En déduire que f possède un point fixe.

e) Pourquoi le résultat demeure-t-il vrai si on rem- place [a, b] par [a, + ∞ [, ] −∞ , b] ou R mais pas par [a, b[, ]a, b], ]a, b[, ]a, + ∞ [ ou ] −∞ , b[ ?

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S UITES COMPLEXES

44 1) a) Soient (r _n ) _n∈ N et (θ _n ) _n∈ N deux suites réelles conver- gentes. Étudier lim

n→+∞ r _n e ^iθ

ⁿ

.

b) Soit (z _n ) _{n ∈} N une suite complexe convergente.

Étudier lim

n → + ∞ | z _n | .

2) Soit (z _n ) _{n ∈} N une suite complexe convergente de li- mite 1.

a) Montrer que pour tout x ∈ h

− π 2 , π

2 i

:

| sin x | ¾ 2 π | x | . b) En déduire lim

n → + ∞ arg(z _n ).

3) Soit (z _n ) _{n ∈} N une suite complexe convergente de li- mite non nulle. Étudier lim

n → + ∞ arg(z _n ).

————————————–

45 Soit (z _n ) _n∈ N une suite complexe pour laquelle pour tout n ∈ N : z _n+1 = z _n + | z _n |

2 . Étudier la conver- gence de (z _n ) _{n ∈} N et sa limite éventuelle.

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4