(1)Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI ARITHMÉTIQUE DES ENTIERS RELATIFS 1 Vrai ou faux ? Justifier

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI ARITHMÉTIQUE DES ENTIERS RELATIFS

1 Vrai ou faux ? Justifier. Soientd,n,a∈Z. 1) 45 possède 12 diviseurs.

2) Sin≡1[35], alorsnest impair.

3) Siaetbdivisentd, alorsa baussi.

4) Siddivisea b, alorsddiviseaouddiviseb.

5) L’intervalle d’entiers¹1, 1000ºcontient 140 entiers divisibles par 7.

6) Pour tous p,q ∈P, siq−p =11 : p= 2 et q=13.

7) Siddivisen², alorsddivisen.

8) Sia²≡1[n]: a≡ ±1[n].

9) Si 4a≡4b[13]: a≡b[13].

10) Si 4a≡4b[6]: a≡b[6].

11) Si tout diviseur premier denest congru à±1 mo- dulo 8 : n≡ ±1[8]. Et la réciproque ?

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DIVISIBILITÉ, DIVISION EUCLIDIENNE ET CONGRUENCES

2 1) Montrer que 2¹²³+3¹²¹est divisible par 11.

2) Calculer le reste de la division euclidienne : a) de 3²¹⁸⁹par 25. b) de 49⁹⁰⁰²¹par 13.

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3 1) Montrer quen(n+2)(7n−5)est divisible par 6 pour toutn∈Z.

2) Pour quels entiersn∈Zest-il vrai que n+1 divisen+7 ?

3) Pour quelles valeurs den∈Zl’entier : n²+ (n+1)²+ (n+3)² est-il divisible par 10 ?

4) Trouver tous les nombres premiers ppour lesquels 3p+4 est un carré parfait.

5) Pour quelsn∈Zle produitn(n+2)est-il une puissance de 2 ?

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4 Soit n ∈N. On note a₀, . . . ,a_r les chiffres de la décomposition denen base 10. Par exemple, pour n=156 : a₀=6, a₁=5 et a₂=1.

1) Montrer quen est divisible par 4 si et seulement si l’entier obtenu en ne conservant que les chiffres a₀eta₁l’est.

2) Montrer que n est divisible par 3 (resp. 9) si et seulement si la sommea₀+. . .+a_r l’est.

3) Déterminer une condition nécessaire et suffisante sura₀, . . . ,a_r pour quensoit divisible par 11.

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5 Soientx,y,z∈Z.

1) Montrer quex²+y²est divisible par 7 si et seule- ment sixet yle sont.

2) Montrer que six³+y³+z³est divisible par 7, l’un des entiersx,youzl’est aussi.

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6 Montrer que p²≡1[24]pour toutp∈Psupé- rieur ou égal à 5.

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7 Montrer que pour tousn ∈ N^∗ et a,b ∈ Z, si a≡b[n]: aⁿ≡bⁿ

n² .

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8 Montrer que a²ⁿ ≡ 1 2ⁿ⁺¹

pour tous a∈ Z impair etn∈N.

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9 1) Montrer que pour tout n¾5 pair, ndivise (n−1)!.

2) Soitp∈Psupérieur ou égal à 5. Montrer que(p−1)!+1 n’est pas une puissance dep.

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10 Soit(u_n)_n∈Nune suite réellesous-additive, i.e.

pour laquelle pour tousm,n∈N: u_m+n¶u_m+u_n. On pose : A=nu_n

n

n∈N^∗ o

.

1) On supposeAminoré et on posea=infA.

a) Soientn,N∈N^∗. La division euclidienne den parNs’écritn=N q+rpour certainsq∈Net r∈¹0,N−1º. Montrer que : u_n

n ¶u_N N +u_r

n. b) En déduire que lim

n→+∞

u_n n =a.

2) Montrer que lim

n→+∞

u_n

n = −∞ dans le cas où A n’est pas minoré.

En résumé, la suiteu_n n

n∈N^∗ possède toujours une li- mite (lemme sous-additif de Fekete).

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PGCD, PPCM

ET NOMBRES PREMIERS ENTRE EUX

11 Déterminer tous les couples(x,y)∈Z²d’entiers premiers entre eux pour lesquels x y=150.

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12 1) Montrer que n+1 et 2n+1 sont premiers entre eux pour toutn∈N.

2) En déduire, grâce à

2n+1 n+1

‹ , que

2n n

‹

est divi- sible parn+1 pour toutn∈N.

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13 Soitp∈P.

1) Montrer quepdivise

p k

‹

pour toutk∈¹1,p−1º. 2) En déduire que pour toutk∈¹0,p−1º:

p−1 k

‹

≡(−1)^k[p].

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14 Montrer que pour tous a,b¾2 premiers entre eux, lna

lnb est irrationnel.

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15 Soienta,b,n∈Z.

1) Montrer quen³+3n²−5 etn+2 sont premiers entre eux.

2) Montrer que sia∧n=1 : (a b)∧n=b∧n.

3) Montrer que : n⁴+3n²−n+2

∧ n²+n+1

= (n−2)∧7.

4) Simplifier : (a+b)∧(a∨b).

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16 Soitn∈Z. Montrer que 21n−3

4 et15n+2

4 ne

sont pas tous les deux entiers.

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17 Montrer queU_a∩U_b=U_a∧bpour tousa,b∈N^∗.

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18 Soienta,b∈N^∗premiers entre eux.

1) Pour tout k ∈ N, on note r_k le reste de la divi- sion euclidienne de a^k par b. Pourquoi l’applica- tionk7−→r_kn’est-elle pas injective surN? 2) En déduire queaⁿ≡1[b]pour un certainn∈N^∗.

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19 Soienta,b∈N^∗premiers entre eux. Montrer que l’application « produit »(x,y)7−→x yest bijective de div⁺(a)×div⁺(b)sur div⁺(a b), où l’on a noté div⁺(n) l’ensemble des diviseurs positifs denpour toutn∈N^∗.

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20 On dira qu’une partie non videEdeN^∗estsympathique si pour tousx,y∈E: x+ y

x∧y ∈E.

1) Montrer que toute partie sympathique contient 2 et que

2 est une partie sympathique.

2) Déterminer toutes les parties sympathiques qui contiennent 1.

3) Soit E une partie sympathique non ré- duite à

2 et ne contenant pas 1.

a) Montrer que le plus petit élément deE\

2 est impair.

b) Montrer queE=N\ 0, 1 .

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VALUATIONS p-^ADIQUES

21 Soienta,b∈Z. Montrer que sia²divise b², alors adiviseb.

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22 Soitn∈N. Montrer que sinest à la fois un carré parfait et un cube parfait, alors il est la puissance sixième d’un entier.

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23 Montrer que(a∧b)ⁿ=aⁿ∧bⁿpour tousa,b∈Z etn∈N.

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24 Le résultat de cet exercice est utile à la réso- lution de bon nombre d’équations diophantiennes, no- tamment de cette feuille d’exercices.

1) Soienta,b∈N^∗etk¾2 entier. Montrer que siaet bsont premiers entre eux et sia best la puissance k^èmed’un entier, alorsaetbsont eux-mêmes des puissancesk^èmesd’entiers.

2) Le résultat de la question 1) est-il vrai pour des entiersa,b∈Z?

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25 1) Montrer que pour tousp∈Petn∈N:

v_p n!

=

+∞X

k=1

›n p^k

ž

(formule de Legendre), où la somme est faussement infinie car pour tout k∈N^∗:

›n p^k

ž

=0 dès quep^k>n.

2) Par combien de zéros l’entier 100! s’achève-t-il ?

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26 Déterminer tous les entiers n∈N^∗pour les- quels 2ⁿdivise 3ⁿ−1.

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NOMBRES PREMIERS

27 Pour toutn∈N^∗, on notep_nlen^èmenombre pre- mier. Montrer que pour toutn¾2 : p_n+1<p₁. . .p_n.

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28 Soienta¾2 etn¾2. On supposeaⁿ−1 premier.

1) Montrer quea=2.

2) Montrer quenest premier.

Pour tout p ¾ 2, l’entier M_p = 2^p−1 est appelé le p^ème nombre de Mersenne. Tous ne sont pas premiers, par exemple : M₁₁=23×89.

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29 1) Montrer que pour toutn∈N^∗, si 2ⁿ+1 est premier, nest une puissance de 2.

Pour toutn∈N,F_n=2²ⁿ+1 est appelé len^èmenombre de Fermat. Les nombres de Fermat F₀, F₁,F₂, F₃et F₄ sont premiers et on conjecture que ce sont les seuls.

2) a) Montrer que : F_n+1=F₀. . .F_n+2 pour tout n∈N.

b) En déduire que F_m et F_n sont premiers entre eux pour tousm,n∈Ndistincts.

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30 2

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1) a) Montrer que tout entier naturel congru à 3 mo- dulo 4 possède au moins un diviseur premier congru à 3 modulo 4.

b) Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers congrus à 3 modulo 4.

2) Montrer qu’il existe une infinité de nombres pre- miers congrus à 5 modulo 6.

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ÉQUATIONS DIOPHANTIENNES

31 Résoudre les équations d’inconnue(x,y)∈N²: 1)

§ x∧y=3 x+y=21.

2) (x∧y) + (x∨y) =2x+3y.

3) x∨y=x+y−1.

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32 Résoudre les équations suivantes d’inconnue(x,y) ∈ N²: 1) x²−y²=7. 2) 9x²−y²=32.

3) x²−2y²=3 en raisonnant modulo 8.

4) 15x²−7y²=9 en raisonnant modulo 3.

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33 1) Soienta,b,n∈Zpour lesquelsa∧n=1.

a) Montrer queaa^′≡1[n]pour un certaina^′ ∈ Z.

b) En déduire, en fonction dea^′,betn, les solu- tions de l’équation : a x ≡ b [n] d’incon- nuex∈Z.

2) Résoudre les équations suivantes d’inconnue x∈Z: a) 5x≡3[28]. b) 14x≡6[34].

3) Résoudre l’équation : a x ≡b[n] d’in- connuex∈Zpour tousa,b,n∈Z.

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34 Soienta,b,c ∈Zavec(a,b)6= (0, 0). On s’in- téresse à l’équation : a x+b y=c Æ d’inconnue (x,y)∈Z².

1) Montrer queÆn’a pas de solution sicn’est pas un multiple dea∧b.

2) On suppose à présent quea∧bdivisec.

a) Montrer, grâce à une relation de Bézout deaet b, queÆpossède une solution(x₀,y₀).

b) RésoudreÆet interpréter le résultat géométri- quement.

3) Résoudre les équations d’inconnue(x,y)∈Z²: a) 7x−12y=3. b) 20x−53y=3.

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35 Résoudre le système :

§ x≡1 mod 5

x≡2 mod 11 d’in- connuex∈Z.

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36 Résoudre l’équation : x²+y²=3z² d’incon- nue(x,y,z)∈N³, notamment en raisonnant modulo 3.

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37 Montrer que l’équation : 2ⁿ+1=m³ d’in- connue(m,n)∈N²n’a pas de solution.

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38 1) Soit(x,y,z)∈ N^∗3

. On suppose que : x²+y²=z² et x∧y=1.

a) Montrer que y∧z=1.

b) Montrer quex ou y est pair. Quitte à les per- muter, on suppose désormais ypair.

c) Montrer quey+zetz−ysont premiers entre eux, puis que pour certainsa,b∈N^∗impairs et premiers entre eux : y+z=a² et z−y=b². d) En déduire la forme du triplet(x,y,z).

2) Résoudre l’équation : x²+y²=z² d’inconnue (x,y,z)∈ N^∗3

.

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39 Pour montrer que l’équation : y² = x³+7 d’inconnue(x,y)∈Z²n’a pas de solution, on suppose par l’absurde qu’elle en possède une(x,y).

1) Montrer quex≡1[4].

2) Montrer que x³+8 possède un facteur premierp congru à 3 modulo 4.

3) Calculer y^p−1 modulo p de deux manières diffé- rentes, puis conclure.

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40 On veut résoudre l’équation : x^y = y^x d’inconnue(x,y)∈N^∗.

1) Soientx,y∈N^∗deux entiers pour lesquels x¶y et x^y = y^x. Montrer que x divise y en étudiant leur PGCD.

2) Conclure.

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41 Résoudre l’équation : y³= x²+x d’in- connue(x,y)∈Z².

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42 Résoudre l’équation : x²+p x= y² d’in- connue(x,y)∈N²pour toutp∈P.

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