Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI S OMMES , PRODUITS , COEFFI CIENTS BINOMIAUX

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI S OMMES , PRODUITS , COEFFI CIENTS BINOMIAUX

1 Dans les questions qui suivent, les a _k , les z _{i j} et λ sont des nombres complexes quelconques.

1) Sans justification, les relations suivantes sont-elles vraies ou fausses en général ?

X n

k=1

(a _k +b _k ) = X n

k=1

a _k + X n

k=1

b _k ,

X n

k=1

λ a _k = λ X n

k=1

a _k , X n

k=1

a _k b _k = X n

k=1

a _k X n

k=1

b _k ,

X n

k=1

a _k =

X n

k=1

|a _k |,

‚ X _n

k=1

a _k

Πp

= X n

k=1

a _k ^p .

2) Reprendre la question 1) en remplaçant les sommes par des produits.

3) Transformer X n

k=1

ln a _k pour a ₁ , . . . , a _n > 0.

4) Est-il vrai que : Y m

i=1

X n

j=1

z _{i j} = X n

j=1

Y m

i=1

z _{i j} ?

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S OMMES

2 Simplifier les sommes suivantes : 1)

X n

i=0

i(i − 1). 2) X n

j=1

(2 j − 1). 3) X n

k=1

(−1) ^k . 4)

X n

k=0

(k+n). 5) X n+1

i=1

2 ⁱ 3 ²ⁱ⁻¹ . 6)

X n

k=2

ln

 1 − 1

k ²

‹ . 7)

X n

k=0

1

(3k + 1)(3k + 4) en écrivant les termes som- més sous la forme 1

a − 1

b avec a, b > 0.

8) X

1 ¶ i ¶ j ¶ n

i. 9) X

1 ¶ i < j ¶ n

j. 10) X

1 ¶ i, j ¶ n

(i + j).

11) X

0 ¶ i,j ¶ n

x ^i+j . 12) X

1 ¶ i ¶ j ¶ n

i

j + 1 . 13) X

1 ¶ i ¶ j ¶ n

( j − i).

14) X

1 ¶ i ¶ j ¶ n

i ²

j . 15) X

1 ¶ i,j ¶ n

(i+ j) ² . 16) X

1 ¶ i,j ¶ n

max i, j .

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3 Montrer que pour tout n ∈ N : 1)

X n

k=0

k ³ =

 n(n + 1) 2

‹ 2

. 2)

X n

k=0

(−1) ^k k ² = (−1) ⁿ n(n + 1)

2 .

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4 1) Montrer que : 1 k ² ¶ 1

k − 1 − 1

k pour tout k ¾ 2.

2) En déduire que la suite

‚ X _n

k=1

1 k ²

Œ

n∈ N

∗

converge. Que dire de sa limite ?

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5 1) Déterminer une expression explicite de la suite (u _n ) _n∈ N

définie par u ₀ = 1 et pour tout n ∈ N :

a) u _n+1 = u _n + n. b) u _n+1 = u _n + n ² −1.

2) Déterminer une expression explicite de la famille (z _{i, j} ) _i,j∈ N définie pour tous i, j ∈ N par z _0,j = 1 et : z _{i+1, j} = 2 ⁱ j + z _i,j .

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6 Soit n ∈ N . 1) Calculer

X n

k=0

2 ^k k en suivant pas à pas les indica- tions suivantes :

— compléter d’abord l’égalité : X n

k=0

x ^k = . . .

— dériver des deux côtés,

— évaluer en 2 et conclure.

2) Retrouver le résultat de la question 1) en calculant de deux façons la somme X

0 ¶ i < j ¶ n

2 ^j . 3) Montrer que pour tout x ∈ ] − 1, 1[ :

+∞ X

k=0

k x ^k = x (1 − x ) ² .

4) Calculer

X n

k=0

k ² 3 ^k .

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7 Étudier la monotonie des suites (u _n ) _n∈ N

∗

et (v _n ) _n∈ N

∗

définies pour tout n ∈ N ^∗ par : u _n =

X 2n

k=n+1

1

k et v _n = X 2n

k=n

1 k .

————————————–

8 Montrer par récurrence que :

2

ⁿ

X

k=1

1 k ¾ n

2 pour tout n ∈ N .

————————————–

9 Montrer par récurrence que pour tout n ∈ N ^∗ : X 2n

k=1

(−1) ^k−1

k =

X n

k=1

1 n + k .

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P RODUITS

10 Simplifier les produits suivants en les exprimant le plus possible à l’aide de puissances et de factorielles :

1) Y n

k=1

Æ k(k + 1). 2) Y n

k=1

(−5) ^k

²

^−k . 3) Y n

k=1

4 ^k k ² . 4)

Y n

k=0

(2k + 1). 5) Y n

k=1

4k ² − 1

. 6) Y

1 ¶ i,j ¶ n

x ^i+j .

7) Y

1 ¶ i,j ¶ n

(2i). 8) Y

1 ¶ i,j ¶ n

i ^j . 9) Y

1 ¶ i,j ¶ n

i j.

10) Y n−1

p=0

X p

k=0

2 ^p!k .

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11 Montrer sans récurrence que : 2 ⁿ⁻¹ ¶ n! ¶ n ⁿ⁻¹ pour tout n ∈ N ^∗ .

1

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI S OMMES , PRODUITS , COEFFI CIENTS BINOMIAUX

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12 Soit z ∈ C . On pose P _n = Y n

k=0

€ 1 + z ²

^k

Š

pour tout n ∈ N . Calculer (1 − z) P _n pour tout n ∈ N et en déduire une expression simple de P _n .

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13 1)

a) Montrer que : 1+ 1

k ² ¶ k ²

(k − 1)(k + 1) pour tout k ¾ 2.

b) En déduire que : Y n

k=1

 1 + 1

k ²

‹

¶ 4 pour tout n ∈ N ^∗ .

2) Montrer que pour tout n ∈ N ^∗ : Y n

k=1

 1 + 1

k ³

‹

¶ 3 − 1 n .

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14 Montrer sans récurrence que pour tout n ∈ N ^∗ : Y n−1

k=0

n!

k! = Y n

k=1

k ^k .

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15 1) Montrer sans récurrence que pour tout n ∈ N : (2n + 1)!

(n + 1)! ¾ (n + 1) ⁿ . 2) En déduire que :

Y n−1

k=0

(2k + 1)! ¾ n! ⁿ pour tout n ∈ N ^∗ .

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16 1) Factoriser k ³ − 1 par k − 1 et k ³ + 1 par k + 1 pour tout k ¾ 2.

2) En déduire sans récurrence que pour tout n ¾ 2 : Y n

k=2

k ³ − 1 k ³ + 1 = 2

3 × n ² + n + 1 n(n + 1) . 3) En déduire l’existence et la valeur de

Y +∞

k=2

k ³ − 1 k ³ + 1 .

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17 Montrer que :

Y n

k=1

(1 − x _k ) ¾ 1 − X n

k=1

x _k pour tous n ∈ N ^∗ et x ₁ , . . . , x _n ∈ [0, 1].

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C OEFFICIENTS BINOMIAUX

18 On souhaite redémontrer par le calcul les formules du cours relatives aux coefficients binomiaux. On rap- pelle que pour tous n ∈ N et k ∈ Z :

 n k

‹

= n!

k!(n − k)!

si k ∈ ¹ 0, n º et :

 n k

‹

= 0 sinon.

1) Redémontrer la formule de symétrie.

2) Redémontrer la formule du capitaine.

3) Redémontrer la formule de Pascal.

4) Montrer que les coefficients binomiaux sont des entiers naturels.

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19 Montrer que

 2n n

‹

est pair pour tout n ∈ N ^∗ .

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20 Soit n ∈ N ^∗ fixé. On pose pour tout k ∈ ¹ 0, n º : u _k =

 n k

‹

. Étudier la monotonie de la famille (u ₀ , . . . , u _n ).

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21 En considérant (1+ 1) ⁿ et (1− 1) ⁿ , calculer pour tout n ∈ N ^∗ les sommes X

0 ¶ k ¶ n k pair

 n k

‹ et X

0 ¶ k ¶ n k impair

 n k

‹ , qu’on

note aussi respectivement X

0 ¶ 2k ¶ n

 n 2k

‹ et X

0 ¶ 2k+1 ¶ n

 n 2k + 1

‹ .

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22

1) Simplifier pour tout n ∈ N la somme X n

k=0

 n k

‹ k : a) grâce à la formule du capitaine.

b) en dérivant de deux façons différentes la fonc- tion x 7−→ (x + 1) ⁿ .

2) Simplifier pour tout n ∈ N la somme X n

k=0

 n k

‹ k ² .

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23 Montrer par récurrence — sur n ou sur p ? — que pour tous p ∈ N et n ¾ p :

X n

k=p

 k p

‹

=

 n + 1 p + 1

‹ .

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24 Simplifier pour tout n ∈ N la somme X n

k=0

(−1) ^k k + 1

 n k

‹ .

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25 Soit n ∈ N fixé. On pose pour tout r ∈ N : S _r = X n

k=0

k ^r . 1) Rappeler les valeurs de S ₀ , S ₁ et S ₂ .

2) Montrer que pour tout r ∈ N : X r

i=0

 r + 1 i

‹

S _i = (n + 1) ^r+1 .

On pourra s’intéresser à la quantité (k+1) ^r+1 −k ^r+1 pour tout k ∈ N et s’inspirer d’une preuve de cours.

3) En déduire que S ₃ = S ₁ ² .

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26 Soit (a _n ) _n∈ N une suite réelle. On pose pour tout n ∈ N : b _n =

X n

k=0

 n k

‹

a _k . Montrer que pour tout n ∈ N : a _n =

X n

k=0

(−1) ^n−k

 n k

‹ b _k .

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27 Montrer que pour tous a, b > 0 et n ∈ N :

1 + a b

n

+

 1 + b

a

‹ n

¾ 2 ⁿ⁺¹ .

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2