Colles de mathématiques en classes de MPSI & MP*

Colles de mathématiques en classes de MPSI & MP*

exercices et problèmes non corrigés pour la préparation des concours

Gaëtan Bisson

ancien élève de l’École normale supérieure agrégé de mathématiques

docteur ès sciences

Gaëtan Bisson

Colles de mathématiques en classes de MPSI & MP*

Copyright © 2006–2009, Gaëtan Bisson

Permission vous est donée de copier, distribuer et/ou modifier le contenu de ce document selon les termes de la licenceCreative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International : http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/

Site Web de l’auteur : http://gaati.org/bisson/

Préface

Ce document est l’aboutissement du travail de préparation des colles que j’ai assurées pendant l’année 2005–2006 en classes préparatoires MPSI et MP*. Il s’agit d’énoncés de problèmes mathématiques posés, pour la plupart, pendant ces colles; tous n’ont toutefois pas été « testés » et il se peut que, malgré mon attention, quelques coquilles demeurent.

Seuls sont proposés ici les exercices qui me semblent fructueux en colle; en particulier, aucun exercice de calcul n’est donné. Le calcul est certes indispensable à un élève de classe préparatoire, mais il est plus approprié en travaux dirigés ou à la maison : en colles, on y préfèrera les problèmes visant à développer la compréhension et l’intuition des élèves, mettant au mieux à profit la présence du colleur.

Prérequis

La connaissance du cours est indispensable; elle est, de toute façon, la moindre des choses qu’on puisse attendre d’un candidat aux concours.

Malgré mes efforts pour ordonnancer le contenu de ce recueil, c’est-à-dire de faire en sorte qu’un exercice ne fasse appel qu’aux connaissances des chapitres qui le précèdent, cela n’a pas toujours été possible et cette règle admet ainsi quelques exceptions.

Parfois, pour résoudre un problème, on pourra faire appel à des résultats obtenus par le biais d’autres exercices, en particulier ceux qui se trouvent dans la liste des résultats : y sont répertoriés les problèmes classiques ou importants qui font partie de la culture mathématique qu’il est souhaitable de posséder à l’issue des classes préparatoires. Il va sans dire que j’invite tout élève à la consulter et à s’assurer, avant les concours, de sa bonne compréhension des résultats qui y sont répertoriés.

i

Remerciements

Ma première pensée va tout naturellement à mes maîtres de classes préparatoires, Jérôme Isaïa et Henri Koen, qui m’ont enseigné de façons si différentes les mathématiques; je leur en suis très reconnaissant. On pourra par ailleurs remarquer l’influence qu’ils ont eu sur certaines parties de ce travail.

L’inspiration m’est par ailleurs venue de Sébastien Gouëzel, alors qu’il était caïman de géométrie différentielle à l’ÉNS, dont les travaux dirigés et les colles foisonnent de problèmes plaisants et enrichissants. Je me dois aussi de saluer Marc Sage et, à travers lui, toutes les personnes que je fréquentais en première année d’école, lors de la rédaction de cet ouvrage, avec lesquelles j’ai eu de si nombreux échanges et discussions, mathématiques ou non.

Alexis Museux, que j’ai eu le plaisir d’avoir comme colleur pendant mes deux années en classes préparatoires, m’a quant à lui transmit cette façon si agréable d’envisager les colles qui lui est propre, même si cela transparait difficilement dans le présent document.

Enfin, je ne pourrais trop remercier Michel Cognet et Jérôme Dégot qui m’ont permis de coller dans leurs classes, en MPSI au lycée Louis-le-Grand et en MP* au lycée Chaptal.

À tous, un grand merci.

G. Bisson Paris, juin 2006 Nancy, mai 2009

Notations usuelles

f :X �→Y la fonctionf est injective f :X �Y la fonctionf est surjective

P(E) l’ensemble des parties de l’ensembleE

�x� la partie entière du réelx v_p(n) la valuationp-adique den

C_n^k le coefficient binomial «kparmisn» δ_i^j le symbole de Kronecker

S_n len^egroupe symétrique A_n len^egroupe alterné

�n[X] les polynômes de degré au plusnà coefficients dans� Hom(X,Y) l’ensemble des morphismes deX dansY

End(X) l’ensemble des endomorphismes deX

tM la transposée de la matriceM

�n(�) l’algèbre des matrices carrées de taillenà coefficients dans�

� �_n(�) le groupe des matrices carrées inversibles de taillenà coefficients dans�

�n(�) le sous-groupe des matricesMorthogonales, c’est-à-dire vérifiant^tM M=id

� le segment[0; 1](à homéomorphisme près)

�^k la boule unité de l’espace euclidien�^k

�^k la sphère unité de l’espace euclidien�^k+1, c’est-à-dire∂�^k+1

iii

Liste des résultats

1.1 Prolongements d’un ordre partiel . . . 1

1.1 Théorème de Cantor–Bernstein . . . 1

1.1 Formule du crible . . . 2

1.2 Théorème chinois pour les groupes abéliens finis . . . 2

1.2 Inversion de Möbius . . . 3

1.3 Caractères complexes des permutations . . . 4

1.3 Critère de conjugaison des permutations . . . 4

1.4 Théorème de Wilson . . . 5

1.4 Dénombrement des fonctions croissantes . . . 5

1.5 Valeurs premières d’un polynome . . . 6

1.5 Cyclicité du groupe multiplicatif d’un corps commutatif . . . 6

1.5 Quasi-surjectivité des fonctions rationnelles complexes . . . 6

1.6 Continuité des racines d’un polynôme . . . 7

1.6 Sous-goupes discrets des réels . . . 7

2.1 Fonctions à variations bornées . . . 10

2.2 Cesàro en version continue . . . 10

2.3 Inégalités de Kronecker . . . 10

2.3 Théorème de Darboux . . . 11

2.4 Utilisation du théorème de Cesàro pour les suites itérées . . . 11

2.4 Formule de Faulhaber . . . 11

2.5 Moyennes d’une fonction réelle . . . 11

2.5 Inégalité de Jensen . . . 12

2.6 Lemme de Lebesgue . . . 12

2.6 Irrationnalité deπ . . . 13

2.7 Lemme de Gronwall . . . 13

2.7 Zéros d’une base de solutions d’une équation différentielle ordinaire . . . 14

3.1 Union finie de sous-espaces stricts . . . 15

3.1 Indépendance linéaire des caractères . . . 15 v

3.2 Somme de deux projecteurs . . . 16

3.3 Idéaux de matrices . . . 16

3.3 Formes linéaires des matrices . . . 17

3.3 Disques de Gerschgorin . . . 17

3.3 Hyperplans et groupe linéaire . . . 17

3.4 Résultant de deux polynômes . . . 18

3.4 Indépendance de familles de fonctions réelles . . . 18

3.5 Endomorphismes laissant stable les hyperplans . . . 19

4.1 Espace normaux et lemme d’Urysohn . . . 22

4.2 Compactification d’Alexandroff . . . 22

4.4 Théorème de Banach–Steinhaus . . . 23

5.3 Série des inverses des nombres premiers . . . 25

5.3 Permutations d’une série semi-convergente . . . 26

5.4 Théorème de Dini . . . 26

5.5 Fractions rationnelles et suites réccurentes . . . 27

5.5 Théorème de Liouville . . . 27

5.5 Calcul de l’intégrale Gaussienne . . . 28

5.6 Développement en série entière des fonctions holomorphes . . . 28

5.6 Fonction zêta de Riemann et nombres de Bernoulli . . . 29

6.1 Calcul fonctionnel en dimension finie . . . 31

6.2 Décomposition de Jordan . . . 32

6.4 Homéomorphicité de la décomposition polaire . . . 33

6.5 Groupes de matrices à un paramètre . . . 34

8.1 Polynômes orthogonaux . . . 39

8.1 Matrices de Gram et inégalité d’Hadamard . . . 39

8.2 Déterminant des matrices antisymétriques . . . 41

8.4 Diagonalisation des endomorphismes normaux . . . 41

A.0 Transcendence dee. . . 43

A.0 Théorème de Brouwer . . . 44

Table des matières

Préface i

Prérequis . . . i

Remerciements . . . ii

Notations usuelles iii Liste des résultats v 1 Concepts algébriques fondamentaux 1 1.1 Logique élémentaire . . . 1

1.2 Structures algébriques fondamentales . . . 2

1.3 Le groupe symétrique . . . 4

1.4 Arithmétique, combinatoire et dénombrement . . . 4

1.5 Polynômes et fractions rationnelles . . . 6

1.6 Topologie élémentaire . . . 7

2 Analyse des fonctions réelles 9 2.1 Continuité . . . 9

2.2 Relations de comparaison . . . 10

2.3 Dérivabilité . . . 10

2.4 Développements limités . . . 11

2.5 Convexité . . . 11

2.6 Intégration . . . 12

2.7 Équations différentielles ordinaires . . . 13

3 Algèbre linéaire élémentaire 15 3.1 Espaces vectoriels . . . 15

3.2 Applications linéaires . . . 16 vii

3.3 Algèbre matriciel . . . 16

3.4 Déterminants . . . 17

3.5 Dualité . . . 19

4 Quelques notions topologiques 21 4.1 Topologie générale . . . 21

4.2 Compacité . . . 22

4.3 Connexité . . . 23

4.4 Théorie de Baire . . . 23

5 Convergence des suites et séries 25 5.1 Espaces vectoriels normés . . . 25

5.2 Familles sommables . . . 25

5.3 Séries numériques . . . 25

5.4 Suites et séries de fonctions . . . 26

5.5 Séries entières . . . 27

5.6 Séries de Fourier . . . 28

5.7 Intégrales à paramètre . . . 29

6 Réduction des endomorphismes 31 6.1 Polynômes d’endomorphismes . . . 31

6.2 Valeurs propres et espaces caractéristiques . . . 32

6.3 Diagonalisabilité et trigonalisabilité . . . 32

6.4 Topologie de l’algèbre des matrices . . . 33

6.5 Exponentiation matricielle . . . 34

7 Calcul différentiel élémentaire 35 7.1 Différentiabilité . . . 35

7.2 Équations aux dérivées partielles . . . 36

7.3 Problèmes d’extrémums . . . 36

7.4 Théorèmes d’inversion locale et des fonctions implicites . . . 36

7.5 Intégrales multiples . . . 37

8 Algèbre euclidienne et hermitienne 39 8.1 Espaces euclidiens et hermitiens . . . 39

8.2 Formes quadratiques et hermitiennes . . . 40

8.3 Endomorphismes orthogonaux et unitaires . . . 41

8.4 Endomorphismes autoadjoints et normaux . . . 41

A Exercices et problèmes de révision 43

1 Concepts algébriques fondamentaux

1.1 Logique élémentaire

Injectivité des fonctions des parties

Soitf une application d’un ensembleX dans un ensembleY.

On définitf_∗:x∈P(X)�→{f(y):y∈x}etf^∗:y∈P(Y)�→{x:f(x)∈y}.

À quelle condition sur f l’applicationf_∗(resp.f^∗) est-elle injective? Et surjective?

Caractérisation ordinale de l’identité

Soitf :�^∗→�^∗une fonction vérifiantf(n+1)>f(f(n))pour toutn.

Montrer quef =id.

indication. Montrer par récurrence surnquef(m)≤n⇒m≤n.

Prolongements d’un ordre partiel

Montrer que tout ordre partiel peut se prolonger en un ordre total.

indication. Traîter d’abord le cas des ensembles finis.

Théorème de Cantor–Bernstein

Soientf :X �→Y etg :Y�→X deux applications injectives.

Construire une bijection entreXetY à partir de ces deux fonctions.

indication. Introduire deux suitesX etYdéfinies parX_k+1=g(Y_k)etY_k=f(X_k) avecX₀=X\g(Y)et montrer quef est une bijection de�

X_kdans� Y_k. 1

Formule du crible

SoitX une famille de parties d’un ensemble finiEindicée par un ensemble finiI. Montrer l’identité#�

i∈IX_i=�

J⊆I(−1)^#J+1#�

j∈JX_j.

indication. On pourra raisonner à l’aide de fonctions indicatrices.

Caractérisation fonctionelle des ensembles infinis

Montrer qu’un ensemble est infini si et seulement si, pour toute application de lui-même dans lui-même, il admet une partie stable autre que l’ensemble vide et lui-même.

Quelques exemples en dénombrabilité

Montrer que l’ensemble des nombres algébriques, c’est-à-dire des racines complexes de polynômes à coefficients rationnels, est dénombrable.

L’ensemble des bijections de�sur lui-même est-il dénombrable?

1.2 Structures algébriques fondamentales

Théorème chinois pour les groupes abéliens finis

SoitGun groupe abélien fini. On décompose son ordrenen produit de facteurs premiers

�p^αpet on définitG_p =im�

x�→x^n/pαp�

. Montrer queG est isomorphe au produit cartésien desG_pet que#G_p=p^αp.

indication. Montrer qu’il existe des entiersu_psatisfaisant1=�

u_pn/p^αpet qu’alors le morphismex∈G�→�

x^upn/pαp�

∈�

G_pest inversible.

Groupe de Prüfer

Soitpun nombre premier. Montrer que{z∈�:∃n∈�,z^pn=1}est un sous-groupe de

�^×qui n’est pas isomorphe au produit de deux groupes non triviaux.

indication. Montrer que tous ses sous-groupes stricts sont monogènes.

Groupe diédral

Montrer que le groupe des isométries du plan laissant stable un polygone régulier àncôtés ne dépend pas, à isomorphisme près, du polygone choisi.

Quel est son cardinal? Quels en sont les sous-groupes?

Sous-groupes finis de certains quotients

Considérons le groupe(�/�,+); il s’identifie au groupe des racines de l’unité.

Quels en sont les sous-groupes finis?

Montrer qu’il est isomorphe à son quotient par tout sous-groupe fini.

Faire de même pour le quotient du groupe des racines de l’unité par son sous-groupe formé des élements dont l’ordre est une puissance d’un nombre premier donné.

Inversion de Möbius

Munissons l’ensemble des fonctions de�^∗dans�de l’addition usuelle ainsi que du produit définit parf �g:n�→�

d|n f(d)g(_dⁿ); montrer que cela en fait un anneau commutatif.

En caractériser les éléments inversibles.

Soitµla fonction associant0aux multiples de carrés et(−1)^r à tout entier qui s’écrit comme produitp₁···p_roù lesp_ksont premiers et distincts. Calculerµ�(n�→1).

En déduire que, sif(n) =�

d|ng(d), alorsg(n) =�

d|nµ(_dⁿ)f(d).

Somme des puissances dans les corps premiers

Soitpun nombre premier etkun entier naturel. Que vaut la somme�

x∈�/p�x^k?

Somme d’un nilpotent et d’un inversible

Montrer que, dans un anneau quelconque, la somme d’un élément nilpotent et d’un élément inversible (par exemple, l’unité) qui commutent est inversible.

Anneaux connexes

Montrer qu’un anneau dont tous les éléments sont indempotents est commutatif.

Montrer qu’un anneau commutatif non nul possède au moins deux indempotents et qu’il en possède exactement deux si et seulement s’il n’est pas isomorphe au produit de deux anneaux non nuls.

Critère d’isomorphisme des corps quadratiques

Soientαetβdeux entiers non nuls. Montrer que les corps�(�α)et�(�

β)sont iso- morphes si et seulement si�

αβest un nombre entier.

1.3 Le groupe symétrique

Caractères complexes des permutations

Déterminer tous les morphismes de groupes deS_ndans�^×.

indication. Montrer que toutes les transpositions ont la même image.

Centre du groupe alterné

Déterminer le centre{x:∀y,x y=y x}du groupe alternéA_npourn≤3.

Faire ensuite de même pourn≥4.

indication. Montrer que tout élément du centre stabilise toute partie à trois éléments.

Critère de conjugaison des permutations

Montrer que deux permutations d’un ensemble fini sont conjuguées si et seulement si, pour tout entierk∈�, elles admettent le même nombre d’orbites d’ordrek.

Nombre moyen de points fixes des permutations

Quel est le nombre moyen de points fixes des permutations deS_n?

indication. Notantd_n^kle nombre de permutations deS_nadmettantkpoints fixes, on ak d_n^k=k C_n^kd_n−k⁰ =nC_n−1^k−1d(n−1)−(k−1)⁰ =nd_n−1^k−1; sommer alors cette quantitié.

Nombre de dérangements

Quel est le nombre de dérangements, c’est-à-dire de permutations sans points fixes, d’un ensemble ànéléments?

indication. Notantd_nce nombre, montrer qued_n+1=n(d_n+d_n−1)puis trouverd_n=

�_n

k=0(−1)^{k n!}_k!. On peut aussi appliquer la formule du crible aux ensembles{σ:σ(k) =k} pourk∈{1, . . . ,n}.

1.4 Arithmétique, combinatoire et dénombrement

Formule de Legendre

Soientnun entier naturel etpun nombre premier.

Montrer que la valuation den!en pvaut�

k∈�^∗�n/p^k�.

En déduire par combien de zéros l’écriture décimale du nombre10ⁿ!se termine.

Diviseurs communs dans la suite de Fibonacci

Notonsφla suite de Fibonacci définie parφ_n+2=φ_n+1+φ_navecφ₀=0etφ₁=1.

Montrer quepgcd(φ_m,φ_n) =φ_pgcd(m,n).

indication. Montrer par récurrence surmqueφ_n+m=φ_mφ_n+1+φ_m−1φ_n; alors, remarquant quepgcd(φ_n+1,φ_n) =1, déduirepgcd(φ_{k n+r},φ_n) =pgcd(φ_r,φ_n).

Nombres parfaits et nombres de Mersenne

Soitσla fonction qui à un entier associe la somme de ses diviseurs; par exempleσ(4) =7.

Montrer que simetnsont premiers entre eux alorsσ(mn) =σ(m)σ(n).

En déduire que les entiers pairsnvérifiantσ(n) =2nsont exactement ceux de la forme 2^k−1(2^k−1)où2^k−1premier. Prouver qu’alorskest premier.

Théorème de Wilson

Montrer qu’un entierpest premier si et seulement si(p−1)!=−1 mod p. Dénombrement dans un produit de groupes cycliques

Soitpun nombre premier etmetndeux entiers.

On considère le groupe(�/p²�)^m×(�/p�)ⁿ. Combien a-t-il d’éléments d’ordrep? Et d’ordrep²? Combien a-t-il de sous-groupes cycliques d’ordrep²? Et de sous-groupes non-cycliques d’ordrep²?

indication. Les deux dernières réponses sont^p_p−1^m−1p^m+n−1et ^pm+n_p2−1⁻¹ p^m+n−1−1 p−1 . Dénombrement des fonctions croissantes

Soientnetmdeux entiers.

Combien y a-t-il de fonctions strictement croissantes de{1, . . . ,n}dans{1, . . . ,m}? Et de fonctions croissantes au sens large?

Nombre de relations d’équivalence sur un ensemble fini

Montrer que le nombreR_nde relations d’équivalence sur un ensemble de cardinalnvérifie la relation de récurrenceR_n=�_n

k=0C_n^kR_k.

1.5 Polynômes et fractions rationnelles

Valeurs premières d’un polynome

Montrer qu’aucun polynômeP∈�[X]non constant ne peut prendre une infinité de valeurs premières en des entiers consécutifs. Étendre ce résultat à�[X].

indication. Montrer queP(n+k P(n))est divisible parP(n)pour toutk∈�.

Cyclicité du groupe multiplicatif d’un corps commutatif Établir l’égalitén=�

k|nφ(n)pour tout entier natureln, oùφdésigne la fonction indi- catrice d’Euler. En déduire que tout sous-groupe fini du groupe multiplicatif d’un corps commutatif est cyclique.

indication. On exploitera le fait que le polynômeX^k−1admet au pluskracines.

Irréductibilité de polynômes augmentés Soitxune famille finie d’entiers distincts.

Montrer que le polynôme�

i(X −x_i)−1est irréductible sur�[X].

indication. SiP=Q RavecQ,R∈�[X], trouver des zéros deQ +R.

Automorphismes des algèbres de polynômes

Déterminer tous les automorphismes de l’algèbre�[X]où�dénote un corps quelconque.

Polynômes de Hilbert

Considérons l’endomorphismΔ:P(X)∈�[X]�→P(X+1)−P(X).

Quel est son noyau? Quelle est son image?

NotonsH_k(X)le polynôme_k!¹X(X −1). . .(X−k+1).

Montrer l’égalitéP(X) =�

k∈�(Δ^kP)(0)H_k(X), quelque soit le polynômeP(X).

En déduire une méthode pour calculer�_n

k=0P(k).

Quasi-surjectivité des fonctions rationnelles complexes

SoitRune fonction rationnelle non constante à coefficients complexes.

Montrer que tous les nombres complexes, sauf peut-être un, sont dans son image.

À quelle conditionRest-elle bijective?

indication. SiR=P/Q etλ∈/imR, le polynômeP−λQ n’a pas de racines.

Racines d’un polynôme aux coefficients de signes fixés SoitP(X) =Xⁿ−�_n−1

k=0a_kX^kun polynôme avec(a_k)∈�ⁿ⁻¹₊ eta₀∈�^∗₊. En considérantP(X)/Xⁿ⁻¹, montrer qu’il admet un unique zéroρsur�^∗₊ Prouver que tous ses zéros complexes sont de module inférieur àρ.

Établir queρ≤max(1,�a_k)et queρ<1+maxa_k.

1.6 Topologie élémentaire

Continuité des racines d’un polynôme

Munissant�n[X]de la topologie produit découlant de son identification à�ⁿ⁺¹par les coefficients, montrer la continuité de l’application qui à un couple de polynômes associe le reste de la division euclidienne du premier par le second.

En déduire que si une suite de polynômesPadmet pour limiteµ�

(X−λⁱ)alors, à partir d’un certain rang, on peut écrireP_k(X) =µ_k�

(X −λⁱ_k)avecµ_k→µetλⁱ_k→λⁱpour touti.

Morphismes des suites entières convergentes

Déterminer tous les morphismes de l’anneau des suites convergentes d’entiers relatifs.

Valeurs d’adhérence d’une suite ralentissante Soituune suite réelle vérifiantlim(u_n+1−u_n) =0.

Montrer que l’ensemble de ses valeurs d’adhérence est un intervalle.

En déduire que la suite de terme généralsin(lnn)est dense dans[−1; 1].

Qu’en est-il de celle de terme généraln^1/3cos(π�n)?

Sous-goupes discrets des réels

Montrer que tous les sous-groupes discrets de�sont de la formex�pourx∈�.

En déduire que sipest un entier non carré alors la suite dont le terme général est la partie fractionnaire den�pest dense dans l’intervalle[0; 1].

indication. Voir que le sous-groupe engendré par�pet1ne peut pas être monogène.

Théorème de Beatty

On appelle densité d’une partieX de�^∗la limite, lorsquentend vers l’infini, de la quantité

#(X∩{1, . . . ,n})/n. Toutes les parties de�^∗admettent-elles une densité?

Montrer que la densité de l’union de deux parties disjointes est la somme de leurs densités.

Quelle est, en fonction dey∈�, la densité de l’ensembleX_y={�n y�:n∈�^∗}? En déduire queX_yetX_z partitionnent�^∗si et seulement siyetzsont des nombres irrationnels dont la somme des inverses vaut l’unité.

Dérivation topologique

Quels sont l’image et les points fixes de l’opérateur associant à une partie de�l’ensemble de ses points d’accumulation?

Partitions des ouverts réels en intervalles

Montrer que tout ouvert de�s’écrit de façon unique comme une réunion dénombrable d’intervalles ouverts disjoints. Existe-t-il une décomposition similaire en intervalles fermés?

2 Analyse des fonctions réelles

En l’absence d’indication contraire, les fonctions considérées ici seront supposées réelles d’une variable réelle.

2.1 Continuité

Version discrète du lemme de Lebesgue

Soit f une fonction continue. Que dire du comportement de la quantité

1 n

�_n

k=1(−1)^kf(^k_n)lorsque l’entierntend vers l’infini?

Fonctions à valeurs uniformément multiples

Pour quels entiers naturelsnexiste-t-il une fonction réelle continue prenant exactementn fois chaque valeur?

Égalité en des points à une distance fixée

Soitf une fonction continue définie sur[0; 1]prenant la même valeur en0et en1.

Montrer que pour toutn∈�^∗, l’équationf(x+¹_n) = f(x)admet une solution.

Et si l’on suppose seulementn∈�^∗?

indication. On pourra considérer l’exemple des fonctionsx�→x−^sin(nπx)_sin(nπ)2². Valeur identique au diamètre opposé

Soitf une fonction continue du cercle unité dans�.

Montrer qu’il existe un point en lequel elle prend la même valeur qu’en son opposé.

9

Croissance comme substitut de la continuité Soitf une fonction positive en0et négative en1.

On suppose qu’il existe une fonction continue dont la somme avecf est croissante.

Montrer que f admet un zéro sur[0; 1].

Fonctions à variations bornées

Pour toute fonctionf :�→�on définitσ_a^b(f) =sup{�

|f(x_i+1)−f(x_i)|}où la borne supérieure est prise sur l’ensemble des subdivisionsxde l’intervalle[a;b].

Montrer queb�→σ_a^b(f)etb�→σ_a^b(f)−f(b)sont des fonctions croissantes.

En déduire que l’ensemble des fonctions f pour lesquellesσ_a^b(f)est fini quelque soit l’intervalle[a;b]est exactement l’espace vectoriel engendré par les fonctions croissantes.

2.2 Relations de comparaison

Construction d’une fonction à croissance rapide Soitf une suite de fonctions.

Construire une fonctiongtelle qu’en l’infini on aitf_k=o(g)pour tout indicek.

Équivalence d’exponentielles

Trouver une condition nécessaire et suffisante sur des fonctions réelles f et gpour que les quantitése^f ete^g soient équivalentes en l’infini.

Cesàro en version continue

Soitf une fonction continue pour laquelle la quantitéf(x+1)−f(x)admet une limite lorsquextend vers l’infini. Montrer quef(x)/xtend vers cette même limite.

2.3 Dérivabilité

Inégalités de Kronecker

Pour toute fonctionf de�ⁿ([0; 1],�)on définitM_k=sup|f^(k)|.

Montrer l’inégalitéM_k≤2^12k(n−k)M₀^1−k/nM_n^k/n.

indication. On la montrera d’abord pourn=2puis raisonnera par récurrence.

Théorème de Darboux

Montrer que, sur tout intervalle de�, la dérivée de toute fonction dérivable vérifie la propriété des valeurs intermédiaires.

indication. On pourra montrer que l’image parf^�de l’intervalle[a;b]est recouverte par les images des deux fonctionsx�→ ^f(x)−f_x−a^(a)etx�→ ^f(b)−f_b−x^(x).

2.4 Développements limités

Utilisation du théorème de Cesàro pour les suites itérées

Soitf une fonction admettant un développement limité enx=0de la formef(x) = x−a x^b+o(x^b)aveca>0etb>1.

Lorsqueu₀est positif et suffisament petit, trouver un équivalent de la suite définie par u_n+1=f(u_n). Appliquer ce résultat aux fonctionsf(x) =x e^−x,f =sinetf =id·cos.

indication. Trouverαtel que0�=lim(u_n+1^α −u_n^α)puis penser à Cesàro.

Formule de Faulhaber

SoitB_kl’unique fonction telle que, pourx∈�, on ait_e^{t e}t−1^{t x} =�_n

k=0B_k(x)

k! t^k+o(tⁿ).

Montrer queB_k(x)est un polynôme enxde degrék.

On noteb_k=B_k(0). Montrer queB_n(x) =�_n

k=0C_n^kb_kx^n−k.

Que vautB_k(x+1)−B_k(x)? En déduire une relation de récurrence sur lesb_k. Montrer enfin la formule�_m−1

k=0 kⁿ=_n+1¹ �_n

k=0C_n+1^k b_km^n+1−k.

2.5 Convexité

Moyennes d’une fonction réelle

Soitf une fonction continue strictement positive sur[a;b].

Pour tout réelt, on définit la quantitéM_t(f) =� ₁

b−a

�b

a |f(x)|^td x�_1/t . Déterminer les limites de cette quantité lorsquet tends vers0,∞et−∞.

Minimum de fonctions convexes

Notonsm(f)l’ensemble sur lequelle une fonction réelle convexe atteint son minimum.

Montrer que c’est un intervalle et rappeler pourquoif est continue.

Soityune famille finie de réels. Pour toutp∈[1;∞[, on définitf_p:x�→�

|x−y_i|^p. Montrer que, sip>1, alorsm(f_p)est un singleton et le déterminer dans le casp=2.

Que dire dem(f₁)?

Inégalité de Jensen

Soitf une fonction continue sur[a,b]etφune fonction convexe sur son image.

Établir l’inégalitéφ� ₁

b−a

�_b

a f�

≤_b−a¹ �_b

a φ◦f.

2.6 Intégration

Lemme de Lebesgue

Soientf une fonction continue par morceaux sur[a;b]etg une fonction continueT- périodique sur�. Montrer l’identitélim_n→∞�b

a f(t)g(nt)d t= (_T¹ �T 0 g)�b

a f. Intégrabilité et uniforme continuité

Montrer qu’une fonction intégrable sur�₊qui ne tend pas vers0en l’infini n’est pas uniformément continue.

Intégrabilité de fonctions d’argument uniformément continu

Montrer que sif :�₊→�est uniformément continue alors l’intégrale�

exp(i f)ne converge pas en l’infini.

Donner un exemple de fonction pour laquelle cette intégrale converge.

Majoration de l’erreur des méthodes d’intégration numériques Soitf une fonction rélle de classe�¹.

Montrer que l’erreur commise par la méthode d’intégration numérique des rectangles, c’est- à-dire la quantité|�_b

a f −^b−a_n �_n−1

k=0f(a+k^b−a_n )|, est majorée par¹₂^(b−a)_n ²max|f^�|.

Établir une majoration similaire de l’erreur de la méthode d’intégration numérique des trapèzes lorsque la fonction est de calsse�².

Irrationnalité deπ

Supposons qu’il existe un couple(a,b) ∈ �×�^∗tel queπ = ^a_b. Montrer qu’alors

n!1

�π

0 xⁿ(b x−a)ⁿsin(x)d xest un nombre entier qui tend vers0lorsquentend vers l’infini. Qu’en déduire?

Relation de distribution des polynômes de Bernoulli

Montrer qu’il existe un unique polynôme,B_n, vérifiant�y+1

y B_n=yⁿpour touty.

Établir, pour toutm∈�^∗, l’identitéB_n(t) =mⁿ⁻¹�_m−1

r=0 B_n(^t+r_m ).

2.7 Équations différentielles ordinaires

Lemme de Gronwall

Soientφune fonction continue positive,aun réel positif etyune fonction réelle.

On suppose que l’inégalitéy(t)≤a+�t

0 yφest vérifiée pour toutt ∈�₊. Montrer quey(t)≤aexp�t

0φl’est alors aussi.

indication. Majorer la dérivée de la fonctiont �→(�_t

0 yφ)exp(−�_t

0φ)par une déri- vée parfaite et écrire que la différence de leurs deux primitives est croissante.

Asymptotique et dérivations multiples

NotonsDl’opérateur de dérivation des fonctions de�^∞(�,�).

Pour toutP∈�[X], montrer qu’il y a équivalence entre :

— les racines dePsont toutes de partie réelle strictement négative;

— pour toutf, siP(D)(f)→_∞0, alorsf →_∞0.

Pendule sans frottement

Pour toutα∈�, notonsx_αla solution maximale du problème différentielx^��=−sinx avec les conditions initialesx(0) =0etx^�(0) =α. Quel est son ensemble de définition?

Étudier la périodicité et le comportement en l’infini dex_α?

indication. La quantitéx_α^�2/2−cosx_αest constante; que représente-t-elle?

Petites oscillations d’un pendule sphérique

Considérons les petites oscillations d’un pendule dans l’espace usuel.

Notantxetyses déviations suivant les axes horizontaux, on a∂_t²x=−xet∂_t²y=−y.

Transformer ces équations en quatre équations du premier ordre en quatre variables.

Montrer que la somme des carrés de ces quatre variables est constante, c’est-à-dire que les trajectoires se dessinent sur des sphères centrées en0.

Montrer que les trajectoires sont des grands cercles de ces sphères.

Noter toutefois que tous les grands cercles ne sont pas des trajectoires.

Zéros d’une base de solutions d’une équation différentielle ordinaire

Soit(f,g)une base de l’espace vectoriel solution de l’équation différentielle homogène y^��+p y^�+q y=0oùpetqsont des fonctions continues sur un intervalleI.

Montrer que les zéros def sont isolés et qu’ils sont entrelacés avec ceux deg. indication. On pourra raisonner avec le Wronksien.

Théorie de Sturm

Soientq₁etq₂deux fonctions réelles continues sur un intervalleI vérifiantq₁≤q₂. Pouri ∈{1, 2}on noteE_ile problème différentiely^��+q_iy=0ety_il’une de ses solutions.

Siaetbsont deux zéros consécutifs dey₁, montrer quey₂s’annule sur]a;b].

Que cela signifie-t-il lorsqueq₁=q₂?

Siq₁admet un encadrement du type0<m<q₁<M, encadrer la distance entre deux zéros consécutifs dey₁. On trouveπ/�

M≤b−a≤π/�m.

Choix d’une base de solutions

Déterminer les fonctionsf pour lesquelles le problème différentiely^��+y^�+f y=0 admet une base de solutions de la forme(g,g²).

3 Algèbre linéaire élémentaire

En l’absence de précisions, nous travaillerons dans un espace vectoriel arbitraireEsur un corps fixé�.

3.1 Espaces vectoriels

Formules de Grassmann

Combien y a-t-il de familles libres àr éléments dans un espace vectoriel de dimensionn sur un corps fini àp^αéléments? Et de sous-espaces de dimensionr?

Union finie de sous-espaces stricts

Montrer qu’en caractéristique zéro aucun espace vectoriel n’est union finie de sous-espaces stricts.

Indépendance linéaire des caractères

Montrer que toute famille de morphismes distincts d’un groupeGdans le groupe multipli- catif�^×d’un corps�est�-linéairement indépendante.

15

3.2 Applications linéaires

Somme de deux projecteurs Soientpetqdeux projecteurs.

Montrer quep+qest un projecteur si et seulement sip◦q=q◦p=0.

Établir qu’alorsim(p+q) =imp⊕imqetker(p+q) =kerp∩kerq. Identification d’une somme de projecteurs

Soitf une famille finie d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimensionnvérifiant

�f_i=idet�rgf_i≤n. Montrer que lesf_isont des projecteurs.

Supplémentaire stable par un groupe fini d’automorphismes

Montrer que tout sous-espaceF stable par un groupe d’automorphismes d’ordrer fini admet un supplémentaire stable par ce même groupe.

indication. Sipest un projecteur surF, étudier ¹_r�

g∈G g p g⁻¹. Adjonction et nilpotence

On définit l’opérateurad : f ∈End(E)�→(g �→f g−g f)∈End(End(E)).

Montrer que sif est nilpotent alorsadf l’est aussi.

Déterminer dans ce cas son indice de nilpotence en fonction de celui def.

indication. Notantnl’indice de nilpotence def, établir quef⁽ⁿ⁻¹⁾∈im(adf)⁽²ⁿ⁻²⁾ et pour cela que, pour touta∈End(E), il existeb∈End(E)vérifianta b a=a.

Suite exacte

Soit(f_i :X_i →X_i+1)i∈{0,...,n}une suite exacte, c’est-à-dire qui vérifieX₀ =X_n+1=0et imf_i=kerf_i+1quel que soiti. Montrer l’identité0=�_n+1

i=0(−1)ⁱdimX_i.

3.3 Algèbre matriciel

Idéaux de matrices

Quels sont les idéaux à droite de l’anneau�n(�)?

Et à gauche? Et les idéaux bilatères?

Caractérisation exotique de l’inversibilité

Soit une applicationf :�n(�)→�non constante vérifiantf(AB) = f(A)f(B)pour tout couple(A,B)∈ �n(�)². Montrer que les matricesMinversibles sont exactement celles pour lesquellesf(M)�=0.

Formes linéaires des matrices

Montrer que toute forme linéaire sur�n(�)est de la formeM �→tr(M A)pour une unique matriceA. Lesquelles de ces formes linéairesf vérifientf(AB) = f(B A)?

Les endomorphismes de matrices préservent la trace

Montrer que si�est un corps commutatif, tout endomorphismeφde l’algèbre�n(�) préserve la trace, c’est à dire quetr◦φ=tr.

indication. On pourra déterminer les formes linéairesθde�n(�)pour lesquelles l’égalitéθ(AB) =θ(B A)est toujours vérifiée.

Matrices à diagonale nulle

Considérons l’espace�n(�)des matrices carrées réelles de taillen.

Montrer que toute matrice de trace nulle est semblable à une matrice à diagonale nulle.

Montrer que toute matriceMà diagonale nulle peut s’écrireX D−DXavecDdiagonale.

Conclure que les matrices de la formeX Y−Y Xsont exactement celles de trace nulle.

indication. On pourra considérer les matricesX = (_i−j¹ m_i,j)etD= (iδ_i,j).

Disques de Gerschgorin

Montrer qu’une matriceMà diagonale prépondérante, c’est-à-dire dont les coefficients vérifient|m_i,i|>�

j�=i|m_i,j|pour touti, est inversible.

En déduire une localisation du spectre d’une matrice dans l’union dendisques.

Hyperplans et groupe linéaire

Montrer que tout hyperplan de�n(�)contient au moins une matrice inversible.

3.4 Déterminants

Déterminant de sommes

Dans�n(�), montrer que sidet(A+X) =det(B+X)pour toutX alorsA=B.

indication. Commencer par le casB=0et réduireAen une matrice équivalente.

Déterminant de la transposition

Quel est le déterminant de l’opérateur de transposition sur�_n(�)?

Résultant de deux polynômes

SoientPetQ deux polynômes, de degrés respectifspetq.

Écrire la matrice du morphisme(U,V)∈�_q−1[X]×�_p−1[X]�→U P+Q V. À quelle condition est-il inversible?

En déduire tous les polynômes du typeX³+aX+badmettant une racine multiple.

Indépendance de familles de fonctions réelles

Montrer qu’une famille f denfonctions réelles est libre si et seulement s’il existe une famillex∈�ⁿtelle que le déterminant de la matrice(f_i(x_j))soit non nul.

Polynomialité en deux variables

Soit�un corps indénombrable etf une fonction de�²dans�qui est polynomiale en chacune de ses variables lorsque l’autre est fixée. Prouver quef est polynomiale.

indication. Montrer l’existence de fonctionsa_i telles quef(x,y) =�_n

i=0a_i(x)yⁱ pour une infinité dex. Choisir alorsnscalaires distincts et montrer en résolvant un système linéaire que lesa_isont elles aussi polynomialles.

Matrices inversibles à coefficients polynomiaux

SoitM :�→ � �n(�)une application dont toutes les composantes sont polynomiales.

Montrer que les composantes de l’applicationz�→M(z)⁻¹le sont aussi.

Première ligne des matrices entières inversibles

Caractériser les vecteurs de�ⁿqui forment la première colonne d’une matrice de� �n(�)?

indication. Montrer avec Bézout que les coefficients doivent être premiers entre eux.

Signe du déterminant d’une somme de puissances

SoientAetBdeux matrices réelles qui commutent. On suppose en outre le déterminant de leur somme positif. Montrer que, pour tout entier positifp, on adet(A^p+B^p)≥0.

indication. Penser à factoriserX^p+Y^pdans�[X,Y].

3.5 Dualité

Dual de l’espace des suites stagnantes

Quel est le dual de l’espace vectoriel des suites nulles à partir d’un certain rang?

Endomorphismes laissant stable les hyperplans

Quels sont les endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie qui laissent stable chacun de ses hyperplans?

4 Quelques notions topologiques

4.1 Topologie générale

La complétude n’est pas topologique

Montrer que l’espace]0; 1]muni de la distance(x,y)�→|¹_x−¹_y|est complet bien qu’ayant exactement les mêmes ouverts que muni de la distance usuelle.

Convergence locale des fractions rationnelles

Fixonsz∈�et notonsv_z(Q)l’ordre dezcomme racine d’une fraction rationnelleQ. Montrer que l’application(R,S)�→2^−vz(R−S)définit une distance sur�(X).

Donner des exemples non triviaux de suites convergeant pour cette distance.

Montrer que l’espace métrique�(X)muni de cette distance n’est pas complet.

Construction de distances topologiquement équivalentes

Soient(E,d)un espace métrique etφune application concave de�₊dans lui-même continue en zéro et vérifiant telle queφ⁻¹{0}={0}. Montrer queφ◦d est une distance définissant la même topologie qued.

21

Espace normaux et lemme d’Urysohn

Un espace topologique est dit normal s’il est séparé et que deux fermés disjoints sont toujours contenus dans deux ouverts disjoints.

Dans un tel espace, étant donnés deux fermés disjointsF etG, montrer qu’il existe une application réelle continue valant0surFet1surG; c’est le lemme d’Urysohn.

Montrer réciproquement qu’un espace séparé vérifiant le lemme d’Urysohn est normal.

Déduire que les espaces métriques sont de ce type.

indication. NotantU₁le complémentaire deG, prouver l’existence d’un ouvertU_1/2 tel queF ⊆U_1/2⊆U_1/2⊆U₁; itérer afin d’obtenir une famille indexée par les dyadiques.

4.2 Compacité

Subtil théorème de point fixe

Soit f une fonction continue d’un espace métrique compact dans lui-même telle que d(f(x),f(y))<d(x,y)pour tousx�=y. Montrer quef admet un point fixe.

Compactification d’Alexandroff

SoitEun espace topologique localement compact. Étant donné un élémentxextérieur à E, on munit l’ensembleE∪{x}de la topologie dont les ouverts sont ceux deEainsi que les complémentaires de compacts deE.

Montrer que l’espace ainsi construit est compact. Quel est-il dans le casE=�?

Compactification de Stone–Čech

Un espace est dit complètement régulier s’il est séparé et que, pour tout point extérieur à un fermé, il existe une application réelle continue valant0sur ce fermé et1en ce point.

SoitX un tel espace. NotonsβXl’adhérence de l’image de la fonction qui àx∈Xassocie la famille(λ(x))_λ∈�(X,�)dans�^�(X,�). Montrer que c’est un compact.

Montrer queX est homéomorphe à son image par cette fonction.

Montrer que toute fonction continue deX dans un espace compact se prolonge de façon unique surβX. C’est le seul espace compact possédant cette propriété.

indication. Montrer que, pourf ∈ �(X,Y), l’application qui à(tλ)λ∈�(X,�)associe (t_µ◦f)µ∈�(Y,�)est continue et peut être restreinte àβX →βY.

4.3 Connexité

Topologie lexicographique

Munissons[0; 1]²de la topologie induite par l’ordre lexicographique.

Montrer que cet espace est compact mais pas séparable, donc pas métrisable.

Montrer qu’il est connexe mais non connexe par arc.

indication. Voir qu’un chemin allant d’un point à un autre passe par tous les points qui sont (pour l’ordre) entre ces deux points.

Connexité et rationnalité dans le plan

Le sous-ensemble((�\�)×�)∪(�×(�\�))de�²est-il connexe?

Et(�×�)∪((�\�)×(�\�))?

Connexité par chemins continuement dérivables

Soit un cheminφ∈ �¹(�,�^d)de dérivée ne s’annullant pas.

Construire une fonction strictement croissantehde�dans lui-même tel queφ◦hsoit continue et injectif.

4.4 Théorie de Baire

Théorème de Banach–Steinhaus

Un espace est dit « de Baire » si toute intersection dénombrable d’ouverts denses est dense.

Montrer que c’est le cas des espaces métriques complets, ainsi que des espaces topologiques localement compacts.

SoitLune famille de morphismes continus entre deux espaces de Banach telle que, pour toutx, l’ensemble{ℓ(x):ℓ∈L}soit borné. Prouver queLest uniformément continue.

Résultat anti-Peano

Montrer qu’aucune fonction de�¹(�,�²)n’est surjective.

Qu’en est-il des fonctions de�¹(�,�²)?

5 Convergence des suites et séries

5.1 Espaces vectoriels normés

Convergence et paraboles

Étudier la convergence de la suite de fonctions définie par la récurrencef_n:x∈[0; 1]�→

1+�_x

0 f_n−1(t−t²)d tavecf₀=1.

Point fixe d’un opérateur d’intégration

Existe-t-il une fonction bornéef ∈ �⁰(�₊,�)pour laquelle on af(x) =�_x

0 e^−t2 1+f(t)²d t?

5.2 Familles sommables 5.3 Séries numériques

Série des inverses des nombres premiers

Quelle est la nature de la série de terme général1/p_noùp_ndénote len^enombre premier?

indication. On utilisera l’équivalencelog 1/(1−1/p)∼1/p. Étude asymptotique de la fonction indicatrice d’Euler

Étudier les limites inférieure et supérieure de la suiteφ(n)/n.

indication. Considérern=�_N

k=1p_koùp_kdésigne lek^enombre premier.

25

Permutations d’une série semi-convergente

Montrer que, si la série réelle de terme générala_iest semi-convergente, alors pour tout réel ℓ, il existe une permutationσde�pour laquelle�

n∈�a_σ(n)=ℓ. Sommes de séries alternées

Que vaut la somme de la série�_∞

n=1(−1)ⁿ n ?

On change à présent l’ordre de ses termes en alternantptermes positifs etqtermes négatifs;

par exemple, pourp=3etq=2cela donne¹₂+¹₄+¹₆−¹₁−¹₃+¹₈+₁₀¹ +₁₂¹ −¹₅−¹₇+···. Qu’en devient la somme?

Sommation dans une fonction continûment dérivable

Soitf :[1,∞[→�^∗₊une fonction de classe�¹pour laquellelim_∞ ^f_f^� =−∞.

Montrer que�_∞

n=1f(n)converge et donner un équivalent du reste.

5.4 Suites et séries de fonctions

Convergence uniforme d’une série de fonctions

Montrer que la série de fonctions de terme généralxⁿsin(nx)/nconverge uniformément sur[−1; 1]vers la sommearctan(_1−x^xsin_cos^x_x). En déduire l’identité�sin(n)/n=π/2−1/2.

Théorème de Dini

Montrer que si une suite croissante de fonctions continues d’un espace métrique compact vers�converge simplement vers une fonction continue, alors la convergence est uniforme.

indication. Pourε>0, considérer les ensembles{x: lim(f)(x)−f_n(x)<ε}.

Développement eulérien de la fonction sinus

PosonsP_n(x) = (1+i x/n)ⁿ−(1−i x/n)ⁿ; on sait quelimP_n(x)/2i=sin(x).

Déterminer les racines deP_2n(x)/x.

En déduire l’identitélim�_n−1

k=1(1−x²/(4n²tan(^kπ_2n)²)) =sin(x)/x.

Montrer que cette convergence est uniforme.

Théorie spectrale de fonctions réelles

Considérons l’opérateurH:h∈ �⁰([0; 1],�)�→(x�→h(^x₂) +h(^x+1₂ )).

Montrer que son spectre est inclu dans[−2; 2].

Montrer que les fonctionsf :x�→�

n∈� 1

(x−n)²etg:x�→(_sin^π_πx)²sont égales sur�\�.

indication. AppliquerHau prolongement par continuité de f −g.

5.5 Séries entières

Rayon de convergence et puissances

Soit�a_nzⁿune série entière complexe de rayon de convergenceρ>0.

Exprimer en fonction deρet dek∈�ceux de�a_n

n!zⁿ,�a_n^kzⁿ,�a_nz^{k n}et�a_nkzⁿ. Fractions rationnelles et suites réccurentes

Soit�

a_nzⁿ une série entière complexe. Montrer que, s’ilλ ∈ �^k vérifianta_n+k+1+

�_k

i=0λ_ia_n+i=0pour toutn, alors la série entière est celle d’une fraction rationnelle.

Ce résultat admet-il une réciproque?

Théorème de Liouville Soitf :z�→�

a_nzⁿune série entière complexe de rayon de convergenceρ.

Montrer que, quelque soitr <ρ, on a la relationa_n=_2πr¹n

�_2π

0 f(r e^iθ)e^{−i nθ}dθ.

Supposantρ=∞, en déduire que si f est bornée alors elle est constante.

Plus généralement, montrer que si elle est bornée en valeur absolue par un polynôme de degrénalors c’est elle-même un polynôme de degrén.

Nombres de mots bien parenthésés

Notonsa_nle nombre de bons parenthésages d’un mot de longueurn, c’est à dire utilisant n−2couples de parenthèses. Montrer la relation de récurrencea_n+1=�_n

k=1a_ka_n+1−k. Calculer le carré de la série entière�_∞

n=1a_nzⁿet en déduire une expression poura_n. Pseudo-sommation de Riemann

Soitφune fonction décroissante intégrable de�⁰(�^∗₊,�₊).

Montrer quelim_h→0+�_∞

n=1hφ(nh)existe et en déterminer la valeur.

En déduire un équivalent en1⁻de la série entière�_∞

n=1xⁿ/�n.

indication. Poserh=−ln(x)etφ:t �→e^−t/� t.

Calcul de l’intégrale Gaussienne

Montrer l’encadrement(1−x/n)ⁿ≤e^−x≤(1+x/n)⁻ⁿpour toutn∈�etx∈[0;n].

Posonsx=t²et intégrons-en les membres sur[0;�n].

Trouvant un équivalent de�_∞

0 (1+u²)⁻ⁿd u, montrer l’identité�_∞

0 e^−x2d x=�π/2.

5.6 Séries de Fourier

Annulation des coefficients de Fourier

Montrer que tout sous-espace vectorielEfermé pour la norme infinie et stable par trans- lation de l’espace�_2π⁰ (�,�)des fonctions2π-périodiques continues peut s’écrire sous la forme{f ∈ �2π⁰(�,�):∀k∈I,c_k(f) =0}pour un certain ensembleI ⊆�.

indication. En écrivant une somme de Riemann, voir que sif ∈Evérifitc₀(f)�=0 alors(t �→1)∈E.

Développement en série entière des fonctions holomorphes

Montrer que toute fonctionf de classe�¹au sens complexe sur le disqueD(0,ρ)⊆�y est développable en série entière.

indication. En dérivant par rapport àr la définition dec_n(θ�→f(r e^iθ)), montrer que ce coefficient s’écrit sous la formed_nrⁿavecd_n<0=0.

Phénomène de Gibbs

Calculer la série de Fourier de la fonction2π-périodiquef valant−1sur[−π; 0[et1sur [0;π[. Étudier alors les extrema de sa série partielle au voisinage de0.

Inégalité d’optimisation

Soit une fonctionf ∈ �¹([0; 1],�)vérifiantf(0) =f(1) =0.

Montrer l’inégalité�₁

0 f^�2≥π²�₁

0 f². Que dire du cas d’égalité?

indication. Écrire l’égalité de Parseval pourg etg^�oùgdénote la fonction impaire 2π-périodique égale àx�→f(x/π)sur[0;π].

Fonction zêta de Riemann et nombres de Bernoulli

SoitBla suite de polynômes définie parB_n^�=nB_n−1et�1

0B_n=0pourn>0etB₀=1.

Montrer l’identitéc_k(B�_n) = −_(2iπk)^n! n pour toutn >0, oùB�_n dénote la fonction2π- périodique coïncidant avecx→B_n(x/2π)sur[0; 2π].

Déduire la valeur deζ(2p)de la convergence en0de la série de Fourier deB�_2p.

5.7 Intégrales à paramètre

Généralisation des intégrales de Wallis

Quel est le domaine de définition et la classe de la fonctionf :x�→�^π₂

0 (sint)^xd t? Montrer qu’elle est décroissante et vérifitf(x+2) =^x+1_x+2f(x).

Étudier la periodicité et la classe deg :x�→(x+1)f(x)f(x+1).

Montrer quegest constante et en déduire un équivalent de f en l’infini.

indication. Commegest périodique, il suffit de montrer qu’elle admet une limite en l’infini; utiliser alors l’équivalent def(n)donné par les intégrales de Wallis.

Étude d’une intégrale à paramètre

Quel est le domaine de définition de la fonctiong :t �→�_∞

0 sin(x t)/(x+x³)d x? Montrer qu’elle est lipschitzienne puis bornée. En déterminer la limite en l’infini.

indication. Le lemme de Lebesgue donneg∼�ε

0sin(x t)/(x+x³)d x, ce qu’on peut ramener à l’intégrale de Dirichlet.

Intégration de fractions rationnelles On souhaite calculer l’intégrale�

�₊x^µ/(x^λ+1)d xpour tout paramètresλ∈]1;∞[et µ∈]−1;λ−1[. Considérons d’abord le casλ=2netµ=soù les entiersnetssatisfont n≥1et0≤s≤2n−2.

Décomposer la fraction rationnellez^s/(z²ⁿ+1)en éléments simples dans�.

Utiliser l’identité�_n−1

k=0cos(a+k h) =sin(^nh₂)sin(a+ (n−1)^h₂)/sin(^h₂)pour montrer l’égalité�_∞

0 x^s/(x²ⁿ+1)d x=_2n^π/sin((s+1)_2n^π).

En déduire la valeur de�_∞

0 x^s/(xⁿ+1)d x.

Généraliser cette approche aux nombres réelsλetµ, en commençant par le casµ=0.

6 Réduction des endomorphismes

6.1 Polynômes d’endomorphismes

Nullité de la trace des puissances

Montrer qu’une matrice carréeAà coefficients réels est nilpotente si et seulement si pour tout entier naturelnelle vérifittr(Aⁿ) =0.

Calcul fonctionnel en dimension finie

Soitf une fonction de�^∞(�,�)etxune matrice de�_n(�).

On noteψ_x(f)la matriceP(x)oùPest un polynôme interpolantf en les valeurs propres dex. Autrement dit, si�_m

j=1(X−λ_j)^rj dénote le polynôme minimal dex, alorsPvérifit P^(k)(λ_j) = f^(k)(λ_j)pour toutk∈{0, . . . ,r_j−1}et tout indicej. Montrer queψ_x(f)ne dépend pas du choix deP.

Montrer queψ_xest un morphisme d’algèbres.

Vérifier que, pourf =exp, cette construction coïncide avec l’exponentielle matricielle.

Sixest une matrice nilpotente etkun entier, établir l’existence d’une solutionyà l’équation (id+y)^k=id+x.

Adjonction et identité en dimension infinie

Montrer que, si deux endomorphismesuetvsatisfontu◦v−v◦u=id, ils n’admettent pas de polynôme minimal et sont de rang infini.

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