E689. A la manière du bonneteau
Sur chaque sommet d’un pentagone régulier on inscrit dans le sens horaire les entiers relatifs: ‒ 18153, ‒ 24204, 46391, ‒ 48408, 54459
Si sur trois sommets consécutifs se trouvent placés les entiers x, y et z avec y < 0, alors on peut remplacer respectivement x par x + y, y par ‒ y et z par z + y.
On poursuit le processus aussi longtemps qu'il y a au moins un nombre négatif parmi les cinq nombres.
Prouver si oui ou non le processus se termine en un nombre fini d'étapes. Si oui, quels sont les entiers finaux?
Solution proposée par Claudio Baiocchi
Si l’on choisit toujours comme élément le plus petit des 5 éléments, le processus se termine en 31 coup, laissant les entiers 0, 2017, 2017, 2017, 2017 .
La seule chose évidente est que la somme des 5 éléments ne varie pas ; en particulier, partant d’un quintuplet à somme , le processus ne peut pas s’arrêter.
Inversement, sur un grand nombre d’exemples à somme construits de façon aléatoire, la
stratégie indiquée ci-haut (choisir toujours comme élément le plus petit des 5 éléments) a toujours amené à la fin du processus.
